CURSO DE ESPECIALIZACIÓN FINANZAS CORPORATIVAS I MBA. Rafael Bustamante Romaní.

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2 CURSO DE ESPECIALIZACIÓN FINANZAS CORPORATIVAS I MBA. Rafael Bustamante

3 SESIÓN 6: ANÁLISIS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO. MBA. Rafael Bustamante

4 Sesión 6 : ANÁLISIS DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CLÁSICO. MBA. Rafael Bustamante 6.1 Violación de los supuestos del CLRM Recuerde que asumimos de los términos de la perturbación CLRM: 1. E(u t ) = 0 2. Var(u t ) =  2 <  3. Cov (u i,u j ) = 0 4. The X Matriz no estocástica o fija en repetidas muestras 5. u t  N(0,  2 )

5 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante  A menudo, están disponibles una versión F y una versión 2 de la prueba.  La versión F-test implica estimar una versión restringida y no restringida de una regresión de prueba y comparar el RSS.  La versión 2 se llama a veces prueba "LM", y solo tiene un parámetro de grado de libertad: la cantidad de restricciones que se están probando, m.  Asintóticamente, las 2 pruebas son equivalentes, ya que 2 es un caso especial de la distribución F:  A menudo, una versión F y una versión 2 de la prueba están disponibles.  La versión F-test implica una versión restringida y no restringida de una prueba de prueba y comparar el RSS.  La versión 2 veces se llama prueba "LM", y solo tiene un parámetro de grado de libertad: la cantidad de restricciones que se encuentran probando, m.  Asintóticamente, las 2 pruebas son equivalentes, ya que 2 es un caso especial de la distribución F:  Para muestras pequeñas, la versión F es preferible. 6.1. Aspectos previos

6 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.3. Investigación de las violaciones de los supuestos del CLRM Ahora estudiaremos más a fondo estas supuestos y, en particular, analizaremos: Cómo comprobamos las violaciones.  Causas  Consecuencias: En general podríamos encontrar cualquier combinación de 3 problemas:  Las estimaciones del coeficiente son incorrectas.  Los errores estándar asociados son incorrectos.  La distribución que asumimos para la las estadísticas de prueba serán inapropiadas  Soluciones Las suposiciones ya no son violadas.  Trabajamos alrededor del problema para que podamos  Utilizar técnicas alternativas que siguen siendo válidas.

7 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante Si se conoce la forma (es decir, la causa) de la heterocedasticidad, entonces podemos usar un método de estimación que tenga esto en cuenta (llamado mínimos cuadrados generalizados, GLS). Una ilustración simple de GLS es la siguiente: Supongamos que la varianza del error está relacionada con otra variable zt por: Para eliminar la heterocedasticidad, divida la ecuación de regresión por zt Donde es el nuevo término de error. Ahora Donde por lo conocido es. 6.4 Investigación de las violaciones de los supuestos del CLRM

8 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.5 Otros enfoques para tratar con la heteroscedasticidad Así que los disturbios de la nueva ecuación de regresión serán homoscedásticos. Otras soluciones incluyen: 1.Transformar las variables en registros o reducirlas en alguna otra medida de "tamaño". 2. Utilice las estimaciones de error estándar consistentes de heteroscedasticidad de White. El efecto de usar la corrección de White es que, en general, los errores estándar para los coeficientes de pendiente aumentan en relación con los errores estándar OLS habituales. Esto nos hace más "conservadores" en la prueba de hipótesis, por lo que necesitaríamos más evidencia contra la hipótesis nula antes de rechazarla.

9 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.6.Detección de heteroscedasticidad: la prueba GQ Métodos gráficos:  Pruebas formales: hay muchas de ellas: discutiremos la prueba de Goldfeld-Quandt y la prueba de White  La prueba de Goldfeld-Quandt (GQ) se lleva a cabo de la siguiente manera.  Divida la muestra total de longitud T en dos submuestras de longitud T1 y T2. El modelo de regresión se estima en cada submuestra y se calculan las dos varianzas residuales.  La hipótesis nula es que las variaciones de las perturbaciones son iguales, Ho:

10 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.7 Detección de heteroscedasticidad: la prueba GQ 3. El estadístico de prueba, denotado GQ, es simplemente la relación de las dos varianzas residuales donde la mayor de las dos varianzas se debe colocar en el numerador. 4. El estadístico de prueba se distribuye como una F (T1-k, T2-k) bajo el nulo de homoscedasticidad. 5. Un problema con la prueba es que la elección de dónde dividir la muestra es que generalmente es arbitraria y puede afectar de manera crucial el resultado de la prueba.

11 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.8 Detección de heteroscedasticidad mediante la prueba de White La prueba general de White para la heteroscedasticidad es uno de los mejores enfoques porque hace pocas suposiciones sobre la forma de la heteroscedasticidad. La prueba se realiza de la siguiente manera: 1.Supongamos que la regresión que llevamos a cabo es la siguiente. y t =  1 +  2 x 2t +  3 x 3t + u t Y queremos probar Var (ut) =  2. Estimamos el modelo, obteniendo los residuos, 2. A continuación, ejecute la regresión auxiliar

12 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante Dada la regression auxiliar, como se indicó anteriormente, la prueba se puede realizar utilizando dos enfoques diferentes. Primero, es posible usar el marco de prueba F. Esto implicaría estimar (3) como la regresión no restringida y luego ejecutar una regresión restringida de Sólo en una constante. El RSS de cada especificación se usaría entonces como entradas para la fórmula estándar de F-test. Con muchas pruebas de diagnóstico, se puede adoptar un enfoque alternativo que no requiere la estimación de una segunda regresión (restringida). Este enfoque se conoce como una prueba de multiplicador de Lagrange (LM), que se centra alrededor del valor de R2 para la regresión auxiliar. Si uno o más coeficientes en (3) es estadísticamente significativo, el valor de R2 para esa ecuación será relativamente alto, mientras que si ninguna de las variables es significativa, R2 será relativamente bajo. 6.8 Detección de heteroscedasticidad mediante la prueba de White

13 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante La prueba LM operaría de este modo obteniendo R2 de la regresión auxiliar y multiplicándola por el número de observaciones, T. Se puede demostrar que TR2 ∼ χ2 (m) donde m es el número de regresores en la regresión auxiliar (excluyendo el término constante), equivalente al número de restricciones que deberían colocarse bajo el enfoque de la prueba F. La prueba es una de las hipótesis nulas conjuntas de que. Para la prueba LM, si la estadística de la prueba 2 del paso 3 es mayor que el valor correspondiente de la tabla estadística y luego rechaza la hipótesis nula de que los errores son homocedásticos. 6.8 Detección de heteroscedasticidad mediante la prueba de White

14 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante donde es un término de perturbación distribuido normalmente independiente de. Esta regresión es de los residuales al cuadrado en una constante, las variables explicativas originales, los cuadrados de las variables explicativas y sus productos cruzados. Para ver por qué los residuales al cuadrado son la cantidad de interés, recuerde que para una variable aleatoria, la varianza se puede escribir Una vez más, no es posible conocer los cuadrados de las perturbaciones de la población,, por lo que se utilizan sus contrapartes de muestra, los residuos al cuadrado, en su lugar. La razón por la que la regresión auxiliar toma esta forma es que es deseable investigar si la varianza de los residuos (incorporada en ) varía sistemáticamente con cualquier variable conocida relevante para el modelo. Las variables relevantes incluirán las variables explicativas originales, sus valores cuadrados y sus productos cruzados. Tenga en cuenta también que esta regresión debe incluir un término constante, incluso si la regresión original no lo hizo. Esto se debe al hecho de que siempre tendrá una media distinta de cero, incluso si has ut tiene una media cero. 6.8 Detección de heteroscedasticidad mediante la prueba de White

15 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.9. Consecuencias de usar OLS en presencia de heteroscedasticidad  La estimación de MCO aún proporciona estimaciones de coeficientes no sesgados, pero ya no son BLUE.  Esto implica que si aún usamos OLS en presencia de heterocedasticidad, nuestros errores estándar podrían ser inapropiados y, por lo tanto, cualquier conclusión que hagamos podría ser engañosa.  Si los errores estándar calculados utilizando las fórmulas habituales son demasiado grandes o demasiado pequeños, dependerá de la forma de la heterocedasticidad.

16 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.10. Otros enfoques para tratar con la heteroscedasticidad Así que los disturbios de la nueva ecuación de regresión serán homoscedásticos. Otras soluciones incluyen: 1.Transformar las variables en registros o reducirlas en alguna otra medida de "tamaño". 2. Utilice las estimaciones de error estándar consistentes de heteroscedasticidad de White. El efecto de usar la corrección de White es que, en general, los errores estándar para los coeficientes de pendiente aumentan en relación con los errores estándar OLS habituales. Esto nos hace más "conservadores" en la prueba de hipótesis, por lo que necesitaríamos más evidencia contra la hipótesis nula antes de rechazarla.

17 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.11. Pruebas de heterocedasticidad utilizando EViews. La variabilidad cambiante sobre la muestra, que es un signo de heterocedasticidad. En este caso, es difícil ver un patrón claro (aunque es interesante observar la considerable reducción de la volatilidad posterior a 2003), por lo que necesitamos ejecutar la estadística formal prueba. Para probar la heterocedasticidad usando la prueba de White, haga clic en el botón Ver en la ventana de regresión y seleccione Diagnóstico residual / Heteroscedasticidad Pruebas... Verá una gran cantidad de pruebas diferentes disponibles, incluida la prueba de heteroscedasticidad condicional autorregresiva (ARCH) que se discutirá en. Por ahora, seleccione la especificación de blanco. También puede seleccionar si desea Incluya los términos del producto cruzado o no (es decir, cada variable multiplicada entre sí). variable) o incluir solo los cuadrados de las variables en la regresión auxiliar. Desmarque la casilla 'Incluir términos de la cruz blanca', dado el número relativamente grande de variables en esta regresión y luego haga clic en Aceptar. Aparecerán los resultados de la prueba. como sigue.

18 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.11. Pruebas de heterocedasticidad utilizando EViews.

19 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.11. Pruebas de heterocedasticidad utilizando EViews.

20 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.12.Autocorrelación  Asumimos de los errores de CLRM que Cov (ui, uj) = 0 para i≠j, es decir, esto es esencialmente lo mismo que decir que no hay un patrón en los errores.  Obviamente, nunca tenemos las u reales, por lo que usamos su contraparte de muestra, los residuos (los ’).  Si hay patrones en los residuos de un modelo, decimos que están autocorrelacionados.  Algunos de los patrones estereotipados que podemos encontrar en los residuos se dan en las siguientes 3 diapositivas.

21 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.13 Autocorrelación Positiva La autocorrelación positiva se indica mediante un gráfico cíclico residual a lo largo del tiempo.

22 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.14. Autocorrelación Positiva La autocorrelación negativa se indica mediante un patrón alterno donde los residuos cruza el eje del tiempo con más frecuencia que si estuvieran distribuidos al azar.

23 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.15. No hay patrón en los residuos - No hay autocorrelación No hay patrón de residuos en absoluto: esto es lo que nos gustaría ver

24 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.16. Detección de autocorrelación: la prueba de Durbin-Watson El Durbin-Watson (DW) es una prueba de autocorrelación de primer orden, es decir, supone que la relación es entre un error y el anterior. Donde: u t =  u t-1 + v t (1) La estadística de prueba DW realmente prueba H 0 :  =0 and H 1 :  0 (2)

25 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.17. La prueba de Durbin-Watson: valores críticos La prueba de Durbin-Watson: valores críticos (2) donde se encuentra el coeficiente de correlación estimado Dado que es una correlación, implica que Si = 0, DW = 2. En términos generales, no rechace la hipótesis nula si DW está cerca de  2, es decir, hay poca evidencia de autocorrelación. Desafortunadamente, DW tiene 2 valores críticos, un valor crítico superior (du) y un valor crítico inferior (dL), y también hay una región intermedia donde no podemos rechazar ni rechazar H0.

26 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.18. Prueba de Durbin-Watson: Interpretación de los resultados Condiciones que deben cumplirse para que DW sea una prueba válida 1.Término constante en regresión. 2. Los regresores son no estocásticos. 3. No hay rezagos de la variable dependiente.

27 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.18. Prueba de Durbin-Watson: Interpretación de los resultados Es una prueba más general para la autocorrelación de orden r:  N(0, ) Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 :  1 = 0 and  2 = 0 and... and  r = 0 H 1 :  1  0 or  2  0 or... or  r  0 La prueba se realiza de la siguiente manera: 1. Estime la regresión lineal utilizando OLS y obtenga los residuales,. 2. Regresa a todos los regresores de la etapa 1 (las x) más Obtener R2 de esta regresión. 3. Se puede mostrar que (T-r)R 2   2 (r) Si el estadístico de prueba excede el valor crítico de las tablas estadísticas, rechace la hipótesis nula de no autocorrelación.

28 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.19. Condiciones para que DW sea una prueba válida. (1) Debe haber un término constante en la regresión. (2) Los regresores deben ser no estocásticos, como el supuesto 4 del CLRM (3) No debe haber retrasos de la variable dependiente en la regresión.

29 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.20. Autocorrelación y modelos dinámicos en EViews.  En EViews, los valores retrasados ​​ de las variables se pueden usar como regresores o para otros fines mediante el uso de la notación x (−1) para un período de un período, x (−5) para un período de cinco períodos, y así sucesivamente, donde x es el nombre de la variable EViews ajustará automáticamente el período de muestra utilizado para la estimación para tener en cuenta las observaciones que se pierden en la construcción de los retrasos. Por ejemplo, si la regresión contiene cinco rezagos de la variable dependiente, se perderán cinco observaciones y la estimación comenzará con la observación seis.  En EViews, la estadística DW se calcula automáticamente, y se dio en las pantallas de salida de estimación general que resultan de la estimación de cualquier modelo de regresión.

30 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.20. Autocorrelación y modelos dinámicos en EViews.  Para volver a ver la pantalla de resultados, haga clic en el botón Ver en la ventana de regresión y seleccione el resultado de Estimación. Para la regresión macroeconómica de Microsoft que incluyó todas las variables explicativas, el valor de la estadística DW fue 2.165.  ¿Cuál es la conclusión apropiada con respecto a la presencia o no de autocorrelación de primer orden en este caso?  La prueba de Breusch-Godfrey se puede realizar seleccionando Ver / Diagnóstico residual / Prueba de correlación serial LM... En la nueva ventana, escriba nuevamente el número de residuos retrasados ​​ que desea incluir en la prueba y haga clic en Aceptar.  Suponiendo que seleccionó emplear diez retrasos en la prueba, los resultados serían los que figuran en la siguiente tabla.

31 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.20. Autocorrelación y modelos dinámicos en EViews.

32 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.21. Autocorrelación y modelos dinámicos en EViews. En la primera tabla de resultados, Vista general de las versiones de la prueba: una versión Fversion y una versión 2, mientras que la segunda tabla presenta los resultados de la regresión auxiliar. La conclusión de las versiones de la prueba en este caso es la hipótesis de que la autocorrelación debe ser rechazada, y que los valores de los valores están por debajo de 0.05. ¿Esto es de acuerdo con el resultado de la prueba DW? Por lo tanto, podríamos considerar las medidas correctivas de acuerdo con las líneas descritas anteriormente para pensar en las posibilidades.

33 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.22. Autocorrelación en datos de corte transversal.  La posibilidad de que la autocorrelación pueda ocurrir en el contexto de una regresión de series de tiempo es bastante intuitiva. Sin embargo, también es plausible que la autocorrelación pueda estar presente en ciertos tipos de datos de corte transversal.  Por ejemplo, si los datos de la sección transversal comprenden la rentabilidad de los bancos en diferentes regiones de los EE. UU., La autocorrelación puede surgir en un sentido espacial, si existe una dimensión regional de la rentabilidad de los bancos que no está capturada por el modelo.  Por lo tanto, los residuos de bancos de la misma región o en regiones vecinas pueden estar correlacionados. Las pruebas de autocorrelación en este caso serían bastante más complejas que en el contexto de series de tiempo e involucrarían la construcción de una "matriz de contigüidad espacial" simétrica, cuadrada o una "matriz de distancia".

34 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.22. Autocorrelación en datos de corte transversal.  Ambas matrices serían N × N, donde N es el tamaño de la muestra. La primera sería una matriz de ceros y unos, con uno para el elemento i, j cuando ocurriera la observación i para un banco en la misma región, o lo suficientemente cerca de la región j y cero de otro modo (i, j = 1,...., N).  La matriz de distancia comprendería elementos que midieron la distancia (o la inversa de la distancia) entre el banco i y el banco j. Una solución potencial a un hallazgo de residuos autocorrelacionados en tal modelo sería nuevamente usar un modelo que contenga una estructura de retardo, en este caso conocido como un "retardo espacial". Más detalles se encuentran en Anselin (1988).

35 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante 6.23. Consecuencias de ignorar la autocorrelación si está presente  Las estimaciones de los coeficientes que se obtienen utilizando OLS aún son insesgadas, pero son ineficientes, es decir, no son BLUE, incluso en tamaños de muestra grandes.  Por lo tanto, si las estimaciones de error estándar son inapropiadas, existe la posibilidad de que podamos hacer inferencias erróneas.  Es probable que R2 esté inflado en relación con su valor "correcto" para los residuos positivamente correlacionados.

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38 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante Probando el supuesto de normalid a d ¿Por qué necesitamos asumir la normalidad para la prueba de hipótesis? Pruebas para Salidas de Normalidad  El test de normalidad de Bera Jarque.  Una distribución normal no está sesgada y se define para tener un coeficiente de curtosis de 3.  La curtosis de la distribución normal es 3, por lo que su exceso de curtosis (b2-3) es cero.  La asimetría y la curtosis son el tercer y cuarto momento (estandarizado) de una distribución.

39 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante Distribuciones normales versus sesgadas Distribuciones normales Versus sesgadas

40 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante  Bera y Jarque formalizan esto probando la normalidad de los residuos probando si el coeficiente de sesgo y el coeficiente de exceso de curtosis son conjuntamente cero.  Se puede demostrar que los coeficientes de asimetría y curtosis se pueden expresar respectivamente como: Distribución Leptokurtica versus normal

41 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante La prueba estadística de Bera Jarque está dada por Estimamos b1 y b2 utilizando los residuos de la regresión OLS,

42 Sesión 6 :Análisis del modelo de regresión lineal clásico. MBA. Rafael Bustamante ¿Qué hacemos si encontramos evidencia de no normalidad?  ¡No es obvio lo que debemos hacer! ¿Se podría usar un método que no asuma normalidad, sino difícil y cuáles son sus propiedades?  A menudo, el caso de que uno o dos residuos muy extremos nos haga rechazar el supuesto de normalidad.  Una alternativa es utilizar variables ficticias. p.ej. digamos que estimamos un modelo mensual de rendimientos de activos de 1980 a 1990, trazamos los residuos y encontramos un valor atípico particularmente grande para octubre de 1987:

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