Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica

Presentación del tema: "Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica"— Transcripción de la presentación:

1 Problemas geométricos: Una visión sintética y analítica
Alfonsa García López Universidad Politécnica de Madrid Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar Universidad Internacional Menéndez Pelayo Santander. Septiembre 2006

2 Dibujo técnico y matemáticas.
Contenido Introducción El enfoque sintético-analítico Una caja de herramientas Los triángulos Polígonos regulares Proyectos para el aula Bibliografía Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

3 Pintores y Matemáticas …
Si tú, músico me dices que tan sólo las ciencias de la mente no son mecánicas, te replicaré que la pintura es de la mente, y que, así como la geometría y la música consideran proporciones de las cantidades continuas y la aritmética de las discontinuas, aquélla considera todas las cantidades continuas y cualidades de las proporciones, las sombras, la luz y las distancias según perspectivas. Leonardo da Vinci (Tratado de Pintura) Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

4 Dibujo técnico y matemáticas.
Hablamos de geometría Estudio de las propiedades y medidas de las figuras en el plano y en el espacio. Herramienta para explicar la realidad. Íntima relación entre el razonamiento intuitivo y el método deductivo. Métodos sintéticos. Métodos analíticos. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

5 Realidad del aula: figuras y ecuaciones
Dibujo técnico: Construcciones geométricas con regla y compás. Software de dibujo y de geometría dinámica. Matemáticas: Métodos de la geometría analítica. Software de cálculo simbólico. Búsqueda de conexiones. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

6 El enfoque sintético analítico
Arco capaz de 90º P=(x,y) verifica x2+y2=a2 PA=(x+a,y) PB=(x-a,y) El p. escalar de los vectores PA y PB es x2 - a2+y2=0 Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

7 Pero si las cuentas y los dibujos se complican, viene bien un ayudante
que haga las cuentas y los dibujos, que nos ayude a experimentar, a elaborar conjeturas, a demostrar resultados. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

8 Un sistema de cálculo simbólico
Tiene menos prestaciones gráficas que un programa de dibujo geométrico. Pero permite trabajar simultáneamente con las ecuaciones y las figuras correspondientes. Permite definir funciones para usarlas con distintos datos. Permite abordar problemas desde el punto de vista sintético-analítico. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

9 Dibujo técnico y matemáticas.
Operaciones básicas Las herramientas básicas del dibujo son la regla y el compás. Las operaciones básicas, trazar segmentos y circunferencias. Estas dos operaciones se pueden hacer automáticamente con Derive y obtener ecuaciones y dibujos. Pero además se pueden medir ángulos distancias y áreas. Se pueden hacer cálculos numéricos y simbólicos. Ejemplo Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

10 La caja de herramientas
Distancia(P,Q):=|P-Q| Punto_medio(P,Q):=(P+Q)/2 Circunferencia(P,Q):=(x-P1)2+(y-P2)2=|P-Q|2 Recta(P,Q):=(Q1-P1)(y-P2)=(Q2-P2)(x-P1) Paralela(P,Q,R):=(Q1-P1)(y-R2)=(Q2-P2)(x-R1) Perpendicular(P,Q,R):=([x,y]-R) • (Q-P)=0 Angulo(u,v):=acos(u•v/|u| |v|) area_triangulo(P,Q,R):= |det([[1,P1,P2],[1,Q1,Q2],[1,R1,R2]])| Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

11 Mediatriz de un segmento. VER
Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

12 Dibujo técnico y matemáticas.
Teorema de Vangnon Si en cuadrilátero convexo cualquiera, se unen los puntos medios en el orden dado la figura es un paralelogramo y su área es la mitad que la del cuadrilátero original. Demostración Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

13 Dibujo técnico y matemáticas.
La divina proporción A TI, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro. Alberti Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

14 Dibujo técnico y matemáticas.
Razón áurea La corrección de la construcción clásica se prueba con el teorema de Pitágoras (el segmento NM mide sqrt(5))/2). En la práctica, conviene incluir en la caja de herramientas el segmento [A,A+(B-A)(1+sqrt(5))/2)] Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

15 Dibujo técnico y matemáticas.
Triángulos Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto (circuncentro). Las alturas también se cortan (ortocento). Las medianas también (baricentro). Las bisectrices en el incentro. Las coordenadas de estos puntos se pueden obtener analíticamente. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

16 Experimento-Conjetura-Prueba
Dibuja un triángulo con los vértices sobre la hipérbola y=1/x Determina su ortocentro Modifica el triángulo, haz una conjetura y pruébala. Experimento Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

17 Dibujo técnico y matemáticas.
Polígonos regulares Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

18 ¿Cuál de los dos pentágonos es regular? (construir)
Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

19 La alternativa de los números complejos (ver función)
Se puede definir una función que determine los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio r Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

20 Dibujo técnico y matemáticas.
Proyectos para el aula Taller de matemáticas y dibujo con herramientas informáticas. Ejercicios compartidos o al menos desde la clase de matemáticas. Conocer otras experiencias. Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

21 ¿Sabrías dibujar esta figura?
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22 Dibujo técnico y matemáticas.
Teorema de Napoleón Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.

23 Algunas páginas interesantes
: Santander, 2006 Dibujo técnico y matemáticas.