CIRCUNFERENCIA.

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1 CIRCUNFERENCIA

2 𝑑 𝐶, 𝑋 = 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 =𝑟 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2
CIRCUNFERENCIA: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de otro punto dado llamado centro. Sea X(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. X(x, y) Se llama radio (r) a la distancia entre cada punto de la circunferencia y el centro. r C(a, b) 𝑑 𝐶, 𝑋 = 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 2 =𝑟 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑎𝑥−2𝑏𝑦+ 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 =0 𝑥 2 −2𝑎𝑥+ 𝑎 2 + 𝑦 2 −2𝑏𝑦+ 𝑏 2 = 𝑟 2 𝐴=−2𝑎 𝐵=−2𝑏 𝐶= 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0

3 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥+1 2 + 𝑦−4 2 = 2 2 𝑥 2 +2𝑥+1+ 𝑦 2 −8𝑦+16=4
EJEMPLO 1. Halla la ecuación de una circunferencia de radio r = 2 y centro el punto P(–1, 4) 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥 𝑦−4 2 = 2 2 𝑥 2 +2𝑥+1+ 𝑦 2 −8𝑦+16=4 𝑥 2 + 𝑦 2 +2𝑥−8𝑦+13=0

4 𝑥−𝑎 2 + 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥−0 2 + 𝑦−4 2 = 2−0 2 + −1−4 2 𝑥 2 + 𝑦 2 −8𝑦+16=29
EJEMPLO 2. Halla la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto B(2, –1), y tiene su centro en el punto N(0, 4) 𝑥−𝑎 𝑦−𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥− 𝑦−4 2 = 2− −1−4 2 𝑥 2 + 𝑦 2 −8𝑦+16=29 𝑥 2 + 𝑦 2 −8𝑦−13=0

5 𝐴=−2𝑎 𝐵=−2𝑏 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 𝐶= 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑟 2
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑎, 𝑏 = − 𝐴 2 , − 𝐵 2 𝑟= 𝐴 2 + 𝐵 2 −4𝐶 2 𝐴 2 + 𝐵 2 −4𝐶 𝐶= 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 𝐴 𝐵 2 4 − 𝑟 2  ¡ > 0 !

6 EJEMPLO 3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 + y2 – 6x + 5 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 c) 3x2 + 3y2 + 2x – 8y = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 −6𝑥+5=0 a) A = 6 B = 0 C = 5 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜= − −6 2 , − 0 2 = 3, 0 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜=𝑟= (−6) −4·5 2 = =2

7 𝑥 2 + 𝑦 2 −4𝑥−2𝑦+4=0 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜= − −4 2 , − −2 2 = 2, 1
EJEMPLO 3. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) x2 + y2 – 6x + 5 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 c) 3x2 + 3y2 + 2x – 8y = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 −4𝑥−2𝑦+4=0 b) A = 4 B = 2 C = 4 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜= − −4 2 , − −2 2 = 2, 1 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜=𝑟= (−4) 2 + (−2) 2 −4·4 2 = =1

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9 FIN