Probabilidades Pedro Godoy Gómez.

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1 Probabilidades Pedro Godoy Gómez

2 Definiciones previas Probabilidad: Mide todo aquello que esta regido por el azar (aleatorio). Lo fortuito, lo impensado. Todo lo que no se puede predecir su resultado. Experimento aleatorio Es toda acción cuyo resultado no es posible anticipar, ejemplo: quien ganará la próxima maratón de Santiago, cual es la carta que ocupa la posición 27 en un naipe español.

3 Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio. Ejemplo: Exp : lanzar un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) Exp: sacar una carta de un naipe ingles E={ 52 cartas}

4 Evento o suceso Es un caso particular de un espacio muestral, es un subconjunto. Ejemplo : Obtener un número primo al lanzar un dado Obtener una suma 9 al lanzar dos dados Sacar un 6 al sacar una carta en un naipe ingles Sacar un oro en un naipe español

5 SON AQUELLOS SUCESOS QUE SON SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL
Tipos de sucesos Los sucesos se clasifican en SIMPLES SON AQUELLOS SUCESOS QUE SON SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRAL EJEMPLO: Cuál es la probabilidad de que al sacar una carta esta se oro COMPUESTOS SON LA UNION DE DOS O MÁS SUCESOS SIMPLES, UNIDOS POR UNA CONJUNCIÓN «Y» O UNA DISYUNCIÓN «O» EJEMPLO: Cuál es la probabilidad de sacar dos oros de un naipe español P(1° oro y 2° oro) P( 1° oro o 2° oro)

6 Probabilidad clásica Está íntimamente ligada al concepto de azar y ayuda a comprender las posibilidades de los resultados de un experimento. Intuitivamente podemos observar que cuanto más probable es que ocurra el evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 1 ó 100%, y cuando menos probable, más se aproximará a 0 ó 0%. Si A representa un evento o suceso, se cumple que: 0  P(A)  1 o 0%  P(A)  100%

7 Una probabilidad se calcula utilizando la siguiente fórmula:
Regla de Laplace Una probabilidad se calcula utilizando la siguiente fórmula: Casos posibles Casos favorables P(A) = cardinalidad del evento o suceso. cardinalidad del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número primo? Solución: ½ , 50% A = que salga un número primo, entonces A = {2, 3, 5} Casos favorables: 3 = P(A) 3 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Casos posibles: 6

8 Si se tiene certeza absoluta de que un evento “A” NO ocurrirá:
Tipos de sucesos: Suceso imposible Si se tiene certeza absoluta de que un evento “A” NO ocurrirá: P(A) = 0 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado común es 0. {1,2,3,4,5,6} Casos posibles : 6 6 P(mayor que 6) = = 0 Casos favorables: 0

9 Si se tiene certeza absoluta de que un evento “A” ocurrirá:
Tipos de sucesos: Suceso seguro Si se tiene certeza absoluta de que un evento “A” ocurrirá: P(A) = 1 Ejemplo: La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común es 1. {1,2,3,4,5,6} Casos posibles : 6 6 P(natural) = = 1 Casos favorables : 6

10 Tipos de sucesos: Suceso contrario
Si A es un suceso o evento, la probabilidad del suceso contrario (A), o de que el suceso NO ocurra, se obtiene a través de: Ejemplo: Si la probabilidad de que llueva es , ¿cuál es la probabilidad de que no llueva? Solución: P(no llueva) = 1 – P(llueva) P(no llueva) = 1 – 2 5 3 5 P(no llueva) =

11 Estrategias Resolver problemas que involucren probabilidad clásica.
Si se elige al azar un número natural del 1 al 20, ¿cuál es la probabilidad de que ese número sea primo? Espacio muestral Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento o suceso Corresponde a un subconjunto del espacio muestral, determinado por una condición establecida.

12 El espacio muestral (E) al elegir al azar un número natural del 1 al 20, es:
Por otra parte, el evento (o suceso) A asociado al experimento es “Se obtiene un número primo”, es decir, A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Como el conjunto A se compone de 8 elementos, y el conjunto E se compone de 20 elementos, entonces

13 Probabilidades - Regla de Laplace
Una probabilidad se calcula utilizando la siguiente fórmula: Casos posibles Casos favorables P(A) = número de casos posibles números de casos favorables al evento A P(A) =

14 P(A) + P(B) P(A) + P(B) – P(A∩B) Suma de probabilidades
Si A y B son dos eventos, entonces la probabilidad de que ocurra A o B, es decir, P(A ∪ B) es igual a (Mutuamente excluyentes) (NO excluyentes) P(A) + P(B) P(A) + P(B) – P(A∩B)

15 TÉCNICAS DE CONTEO Principio Multiplicativo: Si un determinado suceso ocurre en k etapas diferentes, en donde la primera etapa puede ocurrir de n1 maneras diferentes, la segunda de n2 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número total de maneras en que ocurre el suceso está dado por n1 . N2. n3 . … . Nk Principio Aditivo: Si dado un determinado suceso que tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas puede realizarse de n1 maneras, la segunda alternativa puede realizarse de n2 maneras, y así sucesivamente, hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras, entonces el número total de maneras en que ocurre este suceso es n1 + n2 + n3 +… + nk

16 El siguiente gráfico muestra la cantidad de animales que tiene un zoológico, agrupados por clasificación. Si se escoge un animal del zoológico al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea ave o un reptil? A) B) C) D) E) En el zoológico hay ( ) = 240 animales en total. La probabilidad de que sea ave o reptil es: P(Ave o reptil) =

17 Problemas 18 12 6 10 18 8 22 14 36 Pelo liso Pelo rizado Pelo blanco
Pelo negro 10 18 8 22 14 36

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25 Diagrama de árbol 7 8 8 resultados posibles (casos posibles)
Al tercer lanzamiento… Al segundo lanzamiento… Primer lanzamiento, cara o sello 8 resultados posibles (casos posibles) CCC CC CCS Obtener “a lo más” 2 caras, significa “menor o igual que”, o “como máximo” 2 caras. CS CSC CSS El evento A : “obtener a lo más 2 caras”, tiene 7 casos favorables. SC SCC SCS Luego su probabilidad es: SS SSC P(A) = 7 8 SSS

26 . Triángulo de Pascal Construcción:
El triángulo de Pascal es un conjunto infinito de números enteros positivos ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. Construcción: nivel 0 1 Cada nivel comienza y termina con un 1. nivel 1 1 1 Los elementos intermedios resultan de la suma de los dos elementos superiores inmediatos. nivel 2 1 2 1 nivel 3 1 3 3 1 nivel 4 1 4 6 4 1 nivel 5 1 5 10 10 5 1 nivel 6 1 6 15 20 15 6 1

27 2. Triángulo de Pascal En probabilidades el Triángulo de Pascal se utiliza como una técnica de conteo en la resolución de problemas de iteración de experimentos sencillos, cuando el objeto considerado tiene solo dos resultados posibles, (experimento binario). Por ejemplo, una moneda o el sexo de un hijo por nacer. Entonces, si este tipo de experimento se repite n veces, el nivel n del triángulo de Pascal presenta los coeficientes de todas las combinaciones posibles. La suma de todos los coeficientes del nivel, corresponde al número total de combinaciones posibles. Ejemplo 1: Si se lanza 3 veces una moneda, observamos el nivel 3 del triángulo. 1 2 3 La suma de todos los coeficientes del nivel es 8 y corresponde al número total de combinaciones posibles. nivel 3

28 2. Triángulo de Pascal Si designamos por C al resultado “cara” y S al resultado “sello”, podremos expresar los resultados de la siguiente manera: 1 2 3 nivel 3 3 casos con 1 cara y 2 sellos 1 C3 S C2 S1 3 C1 S2 1 C0 S3 CSS SCS SSC

29 10 casos con 3 caras y 2 sellos
2. Triángulo de Pascal Ejemplo 2: Se lanza 5 veces una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sólo 3 caras? 1 2 3 4 6 5 10 15 20 nivel 5 10 casos con 3 caras y 2 sellos 1 C5 S C4S C3S C2S C1S4 1 C0S5 El total de las combinaciones posibles es la suma de los coeficientes del nivel, es decir, 32. P(3 caras) = 10 32 Por lo tanto, la probabilidad de obtener solo 3 caras es:

30 Tipos de probabilidades
Suma de probabilidades Eventos: Mutuamente excluyentes. Cuando A y B son eventos en que si ocurre uno, el otro no puede ocurrir, entonces la probabilidad está dada por: P(A U B) = P(A) + P(B) Donde A U B representa la suma de los elementos que cumplen alguna de las condiciones de los sucesos. Nota: Los ejercicios de suma de probabilidades es posible identificarlos, ya que aparece una “o” en el enunciado.

31 Suma de probabilidades
Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 2 o mayor que 5? Solución: 1 6 1 6 P(n < 2) = P(n > 5)= Desarrollando: P(n < 2 o n > 5) = P(n < 2) + P(n > 5) = 1 6 = 1 3 Nota: Si es menor que 2, no puede ser mayor que 5, son eventos mutuamente excluyentes.

32 3. Tipos de probabilidades
Suma de probabilidades Eventos que no son mutuamente excluyentes. Cuando A y B son eventos que pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces la probabilidad está dada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Donde A ∩ B representa la cantidad de elementos comunes entre los sucesos, es decir, los elementos que están en A “y” en B.

33 3. Tipos de probabilidades
Suma de probabilidades Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5 o un número par? Solución: P(n < 5) = 4 6 3 6 P(n par) = Al salir un 2 o un 4, ambos cumplen con ser simultáneamente menor que 5 y par, luego, los eventos no son mutuamente excluyentes. Por lo tanto: P(n < 5 o n par) = P(n < 5) + P(n par) – P(n < 5 y n par) = – 4 6 3 2 5 6 =

34 Producto de probabilidades
Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado se obtengan dos números pares? Solución: P(n par) = 3 6 Si en el primer lanzamiento sale número par, esto no influye en que en el segundo lanzamiento salga número par, por lo tanto son independientes. P(n par y n par) = P(n par) · P(n par) = 3 6 = 1 4

35 Producto de probabilidades
Ejemplo 2: Se tiene una bolsa con 30 bolitas entre blancas y rojas, de las cuales 12 son blancas, todas de igual peso y tamaño. Si se extraen 2 bolitas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas? 12 30 P(blanca) = Solución: Si en la primera extracción sale una bolita blanca, al extraer la segunda bolita no influye en su probabilidad, ya que se repone a la bolsa. Por lo tanto, son independientes. P(blanca y blanca) = P(blanca) · P(blanca) 30 = 12 = 4 25

36 Cantidad de veces que salió
Ley de los grandes números Dado un determinado experimento aleatorio, se pueden establecer algunas conclusiones relacionando la probabilidad con la frecuencia relativa de cada evento, es decir, entre lo teórico y lo experimental. Ejemplo: Mariela lanzó un dado 100 veces y registró los resultados en la siguiente tabla: Nº Cantidad de veces que salió Frecuencia relativa 1 15 0,15 2 17 0,17 3 20 0, 20 4 19 0,19 5 13 0,13 6 16 0,16 100

37 Cantidad de veces que salió
Ley de los grandes números Luego, volvió a lanzar veces el mismo dado y agregó los datos en una nueva tabla: Nº Cantidad de veces que salió Frecuencia relativa 1 158 0,158 2 161 0,161 3 168 0, 168 4 165 0,165 5 176 0,176 6 172 0,172 1.000 ¿Es posible establecer alguna relación entre las tablas y la probabilidad de que salga un 2?

38 Cantidad de veces que salió Cantidad de veces que salió
Ley de los grandes números La probabilidad de que salga un 2 al lanzar un dado es: P(2) = 1 6 , que es equivalente a decir P(2) = 0,16666… Frec. relativa del número 2, es 0,17 Frec. relativa del número 2, es 0,161 Nº Cantidad de veces que salió Frecuencia relativa 2 17 0,17 100 Nº Cantidad de veces que salió Frecuencia relativa 2 161 0,161 1.000 Si comparamos los resultados obtenidos con la probabilidad que salga el número 2, se puede concluir que a mayor cantidad de repeticiones del experimento, este siempre tenderá a la probabilidad calculada a priori. ¿Qué ocurrirá con la frecuencia relativa del evento, si el experimento se realiza un millón de veces?

39 Ley de los grandes números
La ley establece entonces que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima cada vez más a su probabilidad teórica. Ejemplo: En un salón hay personas y cada una de ellas lanza 3 monedas. La Ley de los Grandes Números permite afirmar que A) en cualquier grupo de 8 personas del salón, una de ellas obtuvo tres caras. B) en cualquier grupo de 16 personas del salón, cuatro de ellas obtuvieron tres caras. C) aproximadamente, el 12,5% de las personas del salón D) aproximadamente, el 25% de las personas del salón obtuvo tres caras. E) aproximadamente, la mitad de las personas del salón obtuvo Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016

40 4. Ley de los grandes números
Ejemplo: En un salón hay personas y cada una de ellas lanza 3 monedas. La Ley de los Grandes Números permite afirmar que La probabilidad de que al lanzar 3 monedas, las tres sean caras es: Por lo tanto, por la Ley de los grandes números, aproximadamente, un 12,5% de las personas del salón obtiene 3 caras al lanzar las monedas.

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43 La probabilidad de que un feriante venda frutas un día determinado
Pregunta oficial PSU La probabilidad de que un feriante venda frutas un día determinado dado que está lloviendo es Si la probabilidad de que venda y llueva ese día es , ¿cuál es la probabilidad de no llueva ese día? A) B) C) D) E) ALTERNATIVA CORRECTA E

44 1. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener menos de 12 puntos?
2. En el lanzamiento de una moneda de $ 100 y una de $ 50, la probabilidad de obtener cara en la de cien y cara en la de cincuenta es A)1/4 B)1/3 C)1/2 D)3/4 E) 1

45 3. La probabilidad de obtener 1 ó 2 al lanzar un dado es 1/3
3. La probabilidad de obtener 1 ó 2 al lanzar un dado es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó 4 ó 5 ó 6? A)1/3 B) 1/2 C)2/3 D)1/4 E) 4/5 4. Una caja contiene 20 esferas numeradas del 1 al 20. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una esfera al azar, ésta indique un número primo o un múltiplo de 20? A) 1/2 B) 1/10 C) 1/20 D) 9/20 E) 11/20

46 5. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,125, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? A) -0,125 B) -0,875 C) 0,125 D) 0,875 E) 0,850 6. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 5? A) 1/6 B) 5/6 C) 2/3 D) 1/2 E) 1/3

47 7. La probabilidad de sacar una ficha azul de una urna es 4/5
7. La probabilidad de sacar una ficha azul de una urna es 4/5 . ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea azul? A) 1 B) 1/5 C) 2/5 D) 3/5 E) Falta información

48 1. E 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 sellos si se lanza una moneda 4 veces? A) 1/3 B) 1/4 C) 2/3 D) 3/4 E) 1/64

49 2) En un test de 5 preguntas del tipo verdadero – falso, si un alumno contesta todas las preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que conteste incorrectamente cuatro de ellas? A) 1/5 B) 1/10 C) 1/20 D) 5/32 E) 5/64

50 3) Si se lanza una moneda 4 veces y dos dados una sola vez, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 sellos y una suma igual a 7? A) 1/9 B) 1/18 C) 1/24 D) 1/36 E) 1/72

51 Prob condicionada Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el suceso B ha ocurrido.

52 La siguiente tabla muestra los resultados de 4 grupos de personas que fueron a rendir el examen practico para obtener la licencia de conducir clase B: Basándose en los resultados de la tabla, si se selecciona una persona al azar:

53 1. ¿Cual es la probabilidad de que haya aprobado sabiendo que es del grupo 3?
2. ¿Cual es la probabilidad de que sea del grupo 1 si la persona escogida reprobó el examen? 3. ¿Cual es la probabilidad de que la persona escogida haya reprobado el examen si rindió la prueba con el grupo 1?

54 Dado el punto 3 anterior, se concluye que
𝑃 𝐴 𝐵 ≠𝑃(𝐵|𝐴)

55 3. Tipos de probabilidades
Probabilidad condicionada Una urna contiene 3 bolitas rojas numeradas del 1 al 3 y 6 bolitas amarillas numeradas del 1 al 6. Al extraer una bolita al azar resultó ser un número par, ¿cuál es la probabilidad que la bolita sea roja? 1 9 P(par y rojo) = Solución: Hacer ahora con diagrama de árbol 3 9 P(par y amarillo) = 1 9 P(par) = = 4 3 P(roja/par) = = P (par) P (par y roja)

56 Un negocio que vende cámaras digitales obtiene la mitad de sus productos en una fabrica chilena, otro 15% de sus productos los obtiene de una fabrica china y el resto en una fabrica inglesa. Se sabe además que las mujeres compran 30% de las cámaras provenientes de la fabrica chilenas, 60% de los productos provenientes de la fabrica china y un 40% de las cámaras de la fabrica inglesa. ¿Cual es la probabilidad de que un cliente masculino compre una cámara digital proveniente de la fabrica china?

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58 PAR 3/7 SI SALE CARA NO SALE SELLO POR LO QUE ES UN SUCESO SEPARADO CARA IMPAR 4/7 1/2 PAR 2/5 1/2 SELLO P(cara y par) = 1/2 x 3/7 = 3/14 3/5 IMPAR P( sello y par) = 1/2 x 2/5 = 1/5 P(par) = 3/ /5 = 29/70

59 Esto equivale a un teorema de Bayes, ya la ocurrencia de un suceso esta condicionado
Y peor aun, depende de la ocurrencia de otro. Con el diagrama sale muy sencillo CONDICION PAR 3/7 P(sea de A dado que salió par) = P(A|par) A CARA IMPAR 4/7 1/2 PAR 2/5 1/2 SELLO B 3/5 IMPAR

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61 Ejercicio En una curso de 60 alumnos, 12 aprobaron matemáticas, 36 aprobaron lenguaje y 6 aprobaron ambas y 18 ninguna Calcular P(solo M) P(solo L) P(L y M) P(no L y no M) P(L|M) P(M|L) P(no M| no L) M L 30 6 6 18 No olvidar que son 60 alumnos

62 A través de esta información es posible determinar si los sucesos
son independientes o dependientes

63 Esto nos lleva a pensar que aprobar matemática o lenguaje
Veamos P(L|M) no es igual a P(L) lo que no indica que existe dependencia P(M|L) no es igual P(M) lo indica nuevamente que existe dependencia Esto nos lleva a pensar que aprobar matemática o lenguaje no son suceso excluyentes

64 Ejercicio: La probabilidad de que un hombre casado vea cierto programa de televisión es de 0.4 y de que una mujer casada lo vea, es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea el programa dado que su esposa lo ve es 0.7. Encuentre la probabilidad de que: Una pareja de casados vea el programa. 2. Una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace. 3. Al menos uno de los integrantes del matrimonio ve el programa

65 En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? Pelo castaño Pelo no castaño total Ojos castaños 15 10 25% Ojos no castaños 25 50 75% 40% 60% 100%

66 Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

67 Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una
agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

68 Hallar la probabilidad de que salga cara
Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara

69 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B
Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B A continuación extraemos una bola. Se pide: Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B

70 Probabilidad de que la bola sea blanca

71 Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un
despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

72 Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

73 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

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