Presentación P. Point del curso de Introducción a la Computación dictado por el Prof. Juan Gallo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo.

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1 Presentación P. Point del curso de Introducción a la Computación dictado por el Prof. Juan Gallo
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2 Introducción a la Computación
Introducción a la Teoría de Conjuntos 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

3 “Definición” básica de conjuntos
Conjunto.- Concepto fundamental en todas las ramas de las Matemáticas Definición Intuitiva: Es una lista colección de entidades u objetos bien definidos grupo Objetos o entidades .- Personas, libros, números, ríos, animales, etc Elementos del conjunto Bien definido.- Es posible determinar en forma objetiva y sin ningún tipo de ambigüedad, si un elemento pertenece o no al conjunto 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

4 Representación de Conjuntos Ejemplos
Los Números 1, 3, 7, 10 Las soluciones de la ecuación x2-3x+2= 0 Las vocales de nuestro alfabeto a, e, i, o , u Las personas que habitan en la tierra * Los estudiantes Juan, Pedro y José * Los estudiantes ausentes hoy Los países Uruguay, Argentina, Brasil Las capitales de los países del MERCOSUR Los departamentos Artigas, Rivera y Paysandú Los ríos del departamento de Florida * Los 5 mejores jugadores de fútbol 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

5 Conjuntos Notación { Representación del conjunto }
Conjuntos: A, B, C, D, Mayúsculas Elementos: a, b, c, d, Pertenencia: c  A, b  A, d  B { Representación del conjunto } Extensiva Comprensiva 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

6 Forma de representación
Extensiva Se mencionan cada uno de los integrantes (elementos), SIN IMPORTAR EL ORDEN Relativamente pocos En la lista los elementos se mencionan UNA SOLA VEZ Nombre del conjunto = {lista de elementos separados entre sí por comas} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

7 Forma de Representación
Extensiva A = { 1, 3, 7, 10 } 1  A B = { a, e, i, o, u } a B d  B C = { Biguá, Malvín, Defensor Sporting } Biguá  C Trouville  C D = { Uruguay, Argentina, Brasil } Uruguay  D Perú  D Malvín  A 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

8 Forma de Representación Comprensiva
Se establecen la propiedad o propiedades que cumplen todos los elementos del conjunto A = {x | x cumple la propiedad P} A = { x | P(x) } M = {x | x solución de x – 3 = 0} N = {y | y alumno que asiste este año a TDB} P = {w | w capitales de los países del Mercosur } 3  M Buenos Aires  P 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

9 Conjunto Vacío o Nulo No existen objetos (elementos) que pertenezcan al conjunto Ejemplos: A = x | x es estudiante de Intr. a la Comp. en Don Bosco y sabe griego = Ø B = x | x solución de 2x+1= 0, y x  Enteros = Ø C = x | 2 < x y x < 3, y x  Naturales = Ø 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

10 Conjuntos especiales Notación
N = Conjunto de los números naturales ½  N, 1  N, -5  N,  N, √2  N, 328  N, ¶  N Z = Conjunto de los números enteros ½  Z, 1  Z, -1  Z, √2  Z, ¶  Z, 6750  Z Q = Conjunto de los números racionales √2  Q, ½  Q, ¶  Q, R = Conjunto de los números reales ½  R, -5  R, √2  R, ¶  R, 534, 23  R, 0,33333  R 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

11 Conjunto Universal A = {x | 1  x  5}
¿Está bien definido? ¿Cuál es la representación extensiva de A? Se debe especificar en que contexto se está definiendo A Universo del Discurso Conjunto Universal Notación: U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

12 Conjunto Universal Ejemplos
A = {x | 1  x  5} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x | x es par} B = { 2, 4, 6, } C = {x | x es par, x  5} C = {2, 4} D = {x | x = 2*k, k  N, k  5} D = {2, 4, 6, 8, 10} U = N pares K = {x | 1  x  5} K = {2, 4} L = {x | x es impar} L = Ø M = {x | x > 16} M = {18, 20, ....} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

13 Diagramas de Venn Es la representación gráfica de conjuntos mediante puntos del plano El conjunto universal se representa por el interior de un rectángulo Un conjunto A definido en U, se representa por un “círculo” dentro del rectángulo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

14 Subconjuntos Definición
Dados los conjuntos A y B  U, si para todo elemento x  B, también x  A, se dice que B es un subconjunto de A o que B  A (B contenido en A) A B x U B  A B A 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

15 Subconjuntos Todo conjunto es subconjunto de sí mismo
A  A El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto   X Cualquier conjunto A es un subconjunto de su universo U A  U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

16 Igualdad de Conjuntos A = B, si B  A y A  B Definición 1
A = B, si para todo elemento x  A, también x  B e inversamente si para todo elemento x  B, también x  A Definición 2 A = B, si B  A y A  B Si dos conjuntos son iguales card(A) = Card(b) Si dos conjuntos tienen cardinales iguales NO NECESARIAMENTE son iguales 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

17 Definiciones Cardinal de un Conjunto
Cantidad de elementos distintos en el conjunto Conjuntos finitos Tienen un cardinal determinado (fijo, específico) Conjuntos infinitos Contables o Numerables N = x | x = 1, 2, 3, ... D = x | x = 2*i, i N E = x | x = , -4, ...,4, 5, ... No numerables E = x | x  R, 0  x  1 F = x | x son puntos de un segmento de recta A B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

18 Cardinal de un Subconjunto
Dados 2 conjuntos A y B  U, con card(A) y card(B) finitos Si B  A card(B) < card(A) Si B = A card (B) = card(A) 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

19 Operaciones de Conjuntos Unión Definiciones
Definición 1.- C = A  B = {x | x  A y/o x  B) U A B Definición 2.- A = {x | x cumple P1} B = {x | cumple P2} C = A  B = {x | x cumple P1 y/o x cumple P2} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

20 Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 1
Sea A ={1, 2, 3, 4} y B={3,4,5,6} X = A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n, p} A  B = {a, b, c, d, g} A  C = {a, b, c, d, g, m, n, p} B  C = {a, c, g, m, n, p} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

21 Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 2
U = Enteros positivos menor o igual a 15 P1 = x es múltiplo de 2 P2 = x es múltiplo de 5 A = {x | x cumple P1} B = {x | x cumple P2} K = {x | x cumple P1 y/o P2} Sea K ={x | x es múltiplo de 2 y/o x es múltiplo de 5} K = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 5, 10, 15} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

22 Operaciones de Conjuntos Unión Ejemplo 3
U = Enteros positivos menor o igual a 15 P1 = x es múltiplo de 2 P2 = x es múltiplo de 3 A = {x | x cumple P1} B = {x | x cumple P2} Sea A ={x | x es múltiplo de 2 y/o x es múltiplo de 3} A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 3, 6, 9, 12, 15} = { 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

23 Operaciones de Conjuntos Intersección
Def. 1 - C = A  B = {z | z  A ^ z  B} Def. 2 – A = {x | x  U, x cumple la propiedad P1} B = {y | y  U, y cumple la propiedad P2} C = A  B = {z | z  U, z cumple P1 y P2 simultáneamente} U A B P2 P1 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

24 Operaciones de Conjuntos Intersección
Ejemplos U = N, Sea A ={1, 2, 3, 4} y B={3,4,5,6} X = A  B = {3, 4} U = {u : u  alfabeto español} A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}, C = {c, g, m, n, p} A  B = {a,c} A  C = {c} B  C = {c, g} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

25 Los conjuntos A y B son disjuntos
Conjuntos disjuntos Def. 1 - C = A  B = {z | z  A  z  B} =  Def. 2 - A = {x | x  U, x cumple la propiedad P1} B = {y | y  U, y cumple la propiedad P2} C = A  B = {z | z cumple P1 y P2 simultáneamente}=  Los conjuntos A y B son disjuntos U A B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

26 Conjuntos disjuntos Ejemplos
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {a, e, i, o , u} A  B =  A = {x | x es estudiante de Intr. a la Comp.} B = {x | x sabe griego} A = {x | x es un número impar} B = {x | x es un número divisible entre 2} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

27 Operaciones de Conjuntos Unión Aplicación
Unión asociada a procedimiento de Altas Antig. alumnos = {x | x  D.B hace 1 o más años} Nuevos alumnos = {x | x  D.B por 1ra. vez en este año} Alumnos actuales = Antig. alumnos  Nuevos alumnos = {x | x  D.B hace 1 o más años y/o x  D.B por 1ra. vez en este año} U Nuevos Antig. Antig. Alum. Nuevos Alum =  Correcto ? 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

28 Operaciones de Conjuntos Intersección Aplicación
C = A  B = {z | zU, z cumple P1  z cumple P2} Intersección asociada a procedimiento de búsqueda por dos condiciones (o más) Se desea determinar de los Alumnos actuales aquéllos que viven en Tacuarembó y tienen menos de 18 años C = {x | x nació en Tacuarembó  x tiene  18 años} U Tbó.  18 años 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

29 Operaciones de Conjuntos Complemento
A = {x : x  U, x cumple la propiedad P1} A’ o Ac = {x | x  U, xA} U A AC 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

30 Operaciones de Conjuntos Complemento
Ejemplos U = {x : x  N, x  10} K = {2, 4, 6, 8}, L = {1, 2, 3, 4}, M = {3, 4, 5, 6, 8} KC = {1, 3, 5, 7, 9, 10} LC = {5, 6, 7, 8, 9, 10} MC = {1, 2, 7, 9, 10} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

31 Operaciones de Conjuntos Diferencia
Def. 1.- C = A \ B = {x | x  A ^ x  B} Def. 2.- A = {x | x cumple la propiedad P1} B = {y | y cumple la propiedad P2} C = {z | z cumple P1 ^ z no cumple P2} A U B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

32 Operaciones de Conjuntos Diferencia
A = {1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6} A\B = A-B ={1, 3} C\A = C-A ={5, 6} B\C = B-C ={2, 8} B\A = B-A ={6, 8} B\B = B-B =  22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

33 Diferencia simétrica entre dos conjuntos
A  B = AB = {x : x  A o x B, x  A B} A  B = A B = (A  B) \ (A  B) A U B 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

34 Diferencia simétrica entre dos conjuntos Ejemplos
B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {7, 8, 9} A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 6, 7} A  C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 } B  C = {3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9} = {3, 4, 5, 6, 8, 9} C  B = {7, 8, 9, 3, 4, 5, 6, 7} = {8, 9, 3, 4, 5, 6} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

35 Conjunto Potencia de un Conjunto
Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de ese conjunto A = {a, b, c} Card(A) = 3 Potencia(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b} {a,c} {b, c} {a, b, c}} Card(Pot(A)) = 8 = 23 B = {1,2} Card(B) = 2 Pot(B) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Card(Pot(B)) = 4 = 22 C={x} Card(C) = 1 Pot(C) = {, {x}} Card(Pot(C)) = 21 Si Card(A) = k Card(Pot(A)) = 2k 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

36 Proposiciones, afirmaciones declaraciones, premisas
Es una frase declarativa que es verdadera o falsa Ejemplos: Diego es alto Hoy llueve Margarita es rubia Hoy es 15 de junio del 2004 Las rosas que están sobre la mesa son todas rojas Roberto estudia todas las mañanas 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

37 Proposiciones, afirmaciones declaraciones, premisas
No son afirmaciones: ¿Es temprano? (interrogación) ¡Qué hermoso día! (exclamación) Por favor mande el informe (solicitud) Levántate y haz tus ejercicios (mandato) 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

38 Proposiciones, afirmaciones, declaraciones o premisas
Las afirmaciones solamente pueden tener dos valores, Verdadero o Falso Existen afirmaciones compuestas que están formadas por más de una afirmación simple y conectores Conjunción:  Disyunción:  Negación:   22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

39 Conjunción Dos afirmaciones cualesquiera pueden combinarse mediante la palabra “y” Ejemp: Hoy está lloviendo y Hoy hace frío Representemos cada afirmación simple con las letras: p, q, r, ..... p = Hoy está lloviendo q = Hoy hace frío Hoy está lloviendo y hoy hace frío = p  q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

40 Valores de la proposición Conjunción
p q p q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Falso Falso Verdadero Falso Falso Falso Falso 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

41 Valores de la proposición Conjunción
p q p q París está en Francia 2+2= V París está en Francia 2+2= F París está en Italia 2+2= F París está en Italia 2+2= F 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

42 Valores de la proposición Conjunción
p q p q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

43 Analogía entre Conjunción e Intersección
A  B = {x : x  A  x B} A = {x : x cumple p} B = {x : x cumple q} A  B = {x : x cumple p  q} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

44 Disyunción Dos afirmaciones cualesquiera pueden combinarse mediante la palabra “o” Ejemp: Está lloviendo o Hace frío Se simboliza p  q Se lee p o q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

45 Valores de la proposición Disyunción
p q p  q Verdadero Verdadero Verdadero Verdadero Falso Verdadero Falso Verdadero Verdadero Falso Falso Falso 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

46 Valores de la proposición Disyunción
p q p  q París está en Francia 2+2= V París está en Francia 2+2= V París está en Italia 2+2= V París está en Italia 2+2= F 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

47 Valores de la proposición Disyunción
p q p  q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

48 Analogía entre Disyunción y Unión
A  B = {x : x  A  x B} A = {x : x cumple p} B = {x : x cumple q} A  B = {x : x cumplen p  q} 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

49 Negación Dada una afirmación p cualquiera, otra afirmación llamada la negación de p, puede formarse escribiendo “es falso que...” antes de p o si es posible insertando en p la palabra “no” Ejemp. p = Está lloviendo ~ p =  p = p’= Es falso que está lloviendo ~ p =  p = p’ = No está lloviendo 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

50 Valores de la proposición Negación
p  p Verdadero Falso Falso Verdadero Simbología p  p 1 0 0 1 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

51 Regiones del Universo Comprensión: A = {x | P(x)}
A es el conjunto de elementos x, para los cuales la proposición P es cierta Un enunciado o aseveración tiene 2 valores (cierto o falso) Un enunciado divide al Universo en dos regiones donde se cumple el enunciado donde no se cumple el enunciado U 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

52 Regiones del Universo Un enunciado puede ser compuesto
Varias aseveraciones unidas entre sí por conectivas u operadores lógicos , , ¬ (~ ) Genera varias regiones Ejemp. A = {x | P(x)  Q(x) } P U 2 3 1 Q 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

53 Igualdad de Tablas, Expresiones, Conjuntos
Aplicando tablas de pertenencia (tablas de verdad) Si se comparan sus tablas y éstas toman los mismos valores, para las mismas regiones que lo originan, los conjuntos son iguales Ejercicio.- Determinar todas las regiones que determinan 3 conjuntos 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo

54 Igualdad de conjuntos Ejemplo: A(BC) = (AB)  (AC)
Reg A B C BC A (BC) AB AC (AB)  (AC) 1 2 3 4 5 6 7 22/11/2018 8:37 Prof. Ing.S.C. J. Gallo