Antiderivada.

Presentación del tema: "Antiderivada."— Transcripción de la presentación:

1 Antiderivada

2

3 Ejemplos

4 Antiderivada En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f. Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo. Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

5 El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

6 Teorema Fundamental del Cálculo Integral
El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona un método abreviado para calcular integrales definidas, sin necesidad de tener que calcular los límites de las sumas de Riemann. Conceptualmente, dicho teorema unifica los estudios de la derivación e integración, mostrando que ambos procesos son mutuamente inversos.

7 Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Enunciado Sea f  una función integrable en el intervalo [a, b], entonces: i) F es continua en [a, b] ii) En todo punto c de [a, b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho punto, y F'(c) = f(c).

8 Teorema Fundamental del Cálculo Integral

9 Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente. Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

10 El Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos muestra que F(x) es precisamente el área limitada por la gráfica de una función continua f(x).

11 A cada punto c en [a, b] se le hace corresponder el área Tc.
Si calculamos la derivada de esa función: Luego F'(c) = f(c), para todo c en [a, b]

12 Aparentemente, diferenciación e integración son dos procesos completamente diferentes. La diferenciación corresponde a un proceso de obtención de la tangente a una curva en un punto (o también el cambio en la velocidad), mientras que la integración corresponde a un proceso encaminado a encontrar el área bajo una curva. El Teorema Fundamental afirma que ambos procesos son inversos el uno del otro.

13 Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

14 Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, entonces, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

15 ∫ es el signo de integración.
Integral indefinida La Integral indefinida es el conjunto de todas las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de f de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

16 Integral indefinida

17 Integración ∫ f(x) dx = F(x) + C
Por lo que integrar una función es hallar el conjunto de infinitas primitivas de dicha función. Para ello se debe encontrar la antiderivada general, que surge de agregar una constante esencial y arbitraria a una antiderivada particular, porque como se vió antes esto representa el proceso inverso a la derivación. ∫ f(x) dx = F(x) + C Donde c es la contante arbitraria y pertenece al conjunto de los números reales y f(x) = F’(x).

18 Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

19 Ejemplos Obtenga 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥𝑑𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥

20 Integrales inmediatas
Integral de una constante La integral de una constante es la constante por la variable de integración. 𝑘 𝑑𝑥=𝑘 𝑥+𝐶 Integral de cero 0 𝑑𝑥=𝐶

21 Integrales inmediatas
Integral de una potencia de x 𝑥 𝑛 𝑑𝑥= 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 +𝐶 Siempre y cuando n≠-1.

22 Ejemplos 9𝑑𝑥 𝑥 6 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 7 𝑥 4 𝑑𝑥

23 Integrales inmediatas con cambio de variable
Método de sustitución El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta, está relacionado con la regla de la cadena utilizada en la derivación de funciones. 𝑓 ′ 𝑢 𝑢 ′ 𝑑𝑥=𝐹 𝑢 +𝐶

24 Cambio de variable Para cambiar de variable identificamos primero en el integrando una parte que pueda ponerse en términos de una nueva variable, de modo que lo que se obtenga sea una integral inmediata.

25 Ejemplos 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥

26 Propiedades de la Integral definida
1. 2.

27 Ejemplos 1. 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥 1 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

28 Formulario básico de Integrales indefinidas

29 Ejemplos 𝑐𝑠𝑐3𝑥 𝑐𝑜𝑡3𝑥 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 𝑑𝑥