Algebra de Boole. “ George Boole ( ) ” Lógico y matemático británico. En 1854, escribió Investigación sobre Las leyes del pensamiento An Investigation.

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1 Algebra de Boole

2 “ George Boole (1815-1864) ” Lógico y matemático británico. En 1854, escribió Investigación sobre Las leyes del pensamiento An Investigation of the Laws of Thought Historia En donde describe un sistema algebraico que más tarde se conoció como el Álgebra Booleana.

3 Claude E. Shanon Graduado en Michigan y fue a MIT donde escribió una tesis sobre el uso del Algebra de Boole para analizar y optimizar el intercambio en los circuitos. Estuvo en Telefonos Bell en 1941 como matemático investigador y permaneció allí hasta 1972.

4 las conexiones entre los teléfonos eran manuales, a través de las centrales por medio de una operadora

5 Gracias al algebra Booleana se automatizo la conexión

6 Una variable Booleana puede tomar solo dos valores Falso =0 Verdadero =1

7 Tablas de Verdad Una Variable Dos Variables Tres Variables

8 El numero de combinaciones m depende del numero de variables N m= 2 N 1 variable 2 combinaciones 2 variables 4 combinaciones 3 variables 8 combinaciones 4 variables 16 combinaciones 5 variables 32 combinaciones 6 variables 64 combinaciones

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34 Un mintermino es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana. Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada. MINTERMINO

35 Un maxitermino es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función. Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada. MAXITERMINO

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38 Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas. Ej. Una suma de productos es una forma canónica. FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES

39 Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica.

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46 Präsentat ion

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52 Dada la siguiente función, encontrar la función canónica en forma de suma de productos.

53 Obtener la función canónica en forma de producto normales de sumas.

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55 Es posible obtener un producto de maxiterminos a partir de una suma de minterminos o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función.

56 De la siguiente función, encontrar la función canónica en la forma de producto de maxitérminos.

57 De la siguiente función, encontrar la función canónica en la forma de suma de productos.

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65 F Funciones lógicas A B F A B F A F A B F A B F A B F A B G AND AB OR A+B NOT A’ NAND (AB)’ NOR (A+B)’ XOR XNOR A B 000 010 100 111 A B A B F A B 001 011 101 110 F A B 000 011 101 111 F A B 001 010 100 110 A 01 10 F F A B 000 011 101 110 G 1 0 0 1

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74 Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente. Los productos de literales son llamados cubos. CUBOS

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76 Esta representación gráfica de una función booleana ha sido utilizada desde 1953. Permite entender los principales conceptos sobre minimización de funciones, pero su uso práctico está limitado a un número relativamente bajo de variables, no más de 5 ó 6. Existe una relación uno a uno entre un mapa y una tabla de verdad. Una tabla tiene un renglón por cada mintérmino; y un mapa, como se verá, tiene un casillero o cuadro asociado a cada mintérmino. El mapa también puede ser considerado una extensión de los diagramas de Venn. Consideremos un diagrama de Venn para dos variables A y B:

77 Puede observarse que resultan áreas desiguales para cada mintérmino; y que el gráfico refleja las adyacencias entre mintérminos, pero no tan claramente como un 2-cubo A B F 0 0 1 1 0 1 10101010

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79 Nótese que m0 es adyacente a m1, m2 y m4. Puntos adjacentes difieren en un bit. Todos los puntos de la función están en una cara. Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión.

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88 Mapas de Karnaugh [ Algebra de Boole ]

89 Präsentat ion

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95 Criterios para la simplificación de funciones con mapas de Karnaugh Hay cinco reglas que debemos recordar para poder simplificar funciones representadas sobre mapas de Karnaugh: 1.Cada cuadrado (mintérmino) sobre una mapa de Karnaugh de dos variables tiene dos cuadrados (mintérminos) adyacentes lógicamente; cada cuadrado sobre un mapa de Karnaugh de tres variables, tiene tres cuadrados adyacentes, etc. En general, cada cuadrado en un mapa de Karnaugh de n variables tiene n cuadrados adyacentes lógicamente, de modo que cada par de cuadrados adyacentes difiere precisamente en una variable.

96 2.Al combinar los cuadrados en un mapa de Karnaugh, agruparemos un número de mintérminos que sea potencia de dos. Al agrupar dos cuadrados eliminamos una variable, al agrupar cuatro cuadrados eliminamos dos variables, etc. En general, al agrupar 2 n cuadrados eliminamos n variables.

97 3.Debemos agrupar tantos cuadrados como sea posible; cuanto mayor sea el grupo, habrá un número menor de literales en el término producto resultante. 4.Debemos formar el menor número posible de grupos que cubran todos los cuadrados (mintérminos) de la función. Un mintérmino está cubierto si está incluido al menos en un grupo. Si hay menos grupos, será menor el número de términos de la función minimizada. Podemos utilizar cada término tantas veces como sea necesario en los pasos 4 y 5; sin embargo, debemos usarlo al menos una vez. Tan pronto hayamos utilizado todos los mintérminos al menos una vez nos detenemos. 5.La combinación de cuadrados en el mapa se hará siempre empezando por los mintérminos que tienen menor número de cuadrados adyacentes (los más solitarios en el mapa). Los mintérminos con varios términos adyacentes ofrecen más combinaciones posibles y, por tanto, deben combinarse más adelante en el proceso de minimización.

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104 Conceptos Básicos Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido) Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un mintermino que no está contenido en ningún otro implicante de la función.

105 Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterminos de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función.

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124 Codificaciones sin importancia en los mapas Las condiciones cuyo valor es irrelevante en un mapa de Karnaugh se les conoce como “No Importa” (algunos textos se refieren a ellas por su equivalente en inglés “Don`t -Care”), y se representan por una X. Estas condiciones pueden tomar el valor lógico cero o uno según convenga y de esta manera se pueden extender los grupos. En el siguiente ejemplo se muestra un mapa en donde existen condiciones “No-Importa” y “unos”, con esto se forman dos grupos, un grupo de dos elementos (donde cada elemento es un “uno”) y otro grupo de cuatro elementos con dos “unos” y dos “No-Importa”.

125 Lo anterior nos conviene ya que al formar un grupo de cuatro elementos mezclando “unos” y condiciones “No- Importa”, (en lugar de formar otro grupo de dos elementos con puros “unos”), estamos eliminando variables. Nota: Siempre es recomendable que cuando se “agrupe” se empiece por el grupo más pequeño (aquel que cuenta con un solo elemento) y se termine por el grupo más grande.

126 Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh. Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función. MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES

127 Ejemplo

128 Continuación Ejemplo

129 EJEMPLOS

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132 Expresar las siguientes funciones en sus dos formas canónicas (maxterms y minterms):

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