AFF – 411 FÍSICA DE FLUIDOS Ing. J. Alemán Dpto. de Astronomía y Astrofísica.

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1 AFF – 411 FÍSICA DE FLUIDOS Ing. J. Alemán Dpto. de Astronomía y Astrofísica

2 3.4. ECUACIONES CONSTITUTIVAS

3 3.4. Ecuaciones constitutivas Las ecuaciones desarrolladas hasta ahora son aplicables en general, pero para aplicarlas a un problema específico, habrá que introducir la información relacionada con la naturaleza del material en estudio. esta relación que se busca es la ecuación constitutiva del material. Se busca entonces, ecuaciones constitutivas que relacionen:

4 3.4. Ecuaciones constitutivas

5 3.4.1. ECUACIÓN DE FOURIER Si q i es debido solo a la conducción, la ecuación de Fourier establece:

6 3.4.2. FLUIDO IDEAL Es aquel en el cual el tensor de esfuerzos es isotrópico. Su viscosidad es nula y es incompresible

7 3.4.2. Fluido ideal La ecuación de conservación de momento se reduce a: Ecuación de Euler La ecuación de la energía queda: …pasar al ejercicio: estrella estática

8 3.4.3. FLUIDO NEWTONIANO En un fluido viscoso además de los esfuerzos normales existen esfuerzos cortantes debidos a la viscosidad. la ecuación constitutiva para el fluido newtoniano toma la forma: Esta ecuación constitutiva satisface las siguientes restricciones: 1. Cuando el fluido está en reposo el esfuerzo es debido solamente a la presión ejercida por el mismo 2. τ ij está linealmente relacionado con e ij y no depende de la rotación Ωij 3. El fluido es isotrópico. λ y µ, son coeficientes de viscosidad y son propiedades del fluido. El coeficiente de viscosidad λ es difícil de determinar. La siguiente consideración simplifica el problema y permite poner el valor de λ en función de µ. La suma de los esfuerzos normales es:

9 3.4.3. Fluido newtoniano La suma de los esfuerzos normales es: Si se considera que el promedio de los esfuerzos normales τ ii/ 3 no depende de la viscosidad 3 λ + 2µ = 0 Un fluido que satisface esta relación se llama fluido de Stokes e incluye gases mono atómicos. Esta relación se aproxima al comportamiento de otros gases. Para un fluido incompresible usando la ecuación de continuidad la ecuación constitutiva se reduce a: tr τ = − 3p + (3 λ + 2µ) ∇ · U

10 3.4.3. Fluido newtoniano Conservación de masa: Conservación de momentum (ecuaciones de Navier-Stokes): 3.5. Ecuaciones de movimiento de un fluido newtoniano El sistema de las ecuaciones que describen la magnetohidrodinámica son una combinación de las ecuaciones de Navier-Stokes de dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo.ecuaciones de Navier-Stokes

11 3.4.3. Fluido newtoniano Ecuación de la Energía: Conservación de momentum (ecuaciones de Navier-Stokes): Condiciones de frontera Para resolver estas ecuaciones diferenciales parciales se necesitan establecer las condiciones de frontera. Las condiciones de frontera mas usuales para la velocidad son: (a)La condición de no resbalamiento que implica que el fluido tiene la misma velocidad de la frontera que confina el flujo. (b)Para un flujo no confinado, la velocidad del fluido muy lejos de la región de perturbación del flujo es la velocidad de la corriente libre. Ecuaciones de movimiento de un fluido newtoniano

12 3.4.3. Fluido newtoniano Cuando se incluyen efectos térmicos es necesario especificar la temperatura en las fronteras o bien el flujo de calor. Condiciones iniciales En el caso de flujo no permanente se necesitan especificar las condiciones iniciales (t = 0) del fluido, tales como la distribución de velocidad y temperatura. Ecuaciones de movimiento de un fluido newtoniano

13 TEOREMAS ESPECIALES 4.1. Teorema de Helmholtz 4.2. Teorema de Kelvin 4.3. Ecuación de Vorticidad 4.4. Ecuación de Bernoulli

14 TEOREMAS ESPECIALES 4.1. Teorema de Helmholtz 4.2. Teorema de Kelvin 4.3. Ecuación de Vorticidad 4.4. Ecuación de Bernoulli Teoremas especiales

15 4.1. Teorema de Helmholtz Considerando el tubo de vórtice mostrado en la fígura, ω · n es cero en las paredes, debido a que las forman líneas de vórtice. Por lo tanto implica Si ω 1 y ω 2 representan el promedio de vorticidad sobre las áreas A 1 y A 2 respectivamente, se puede escribir ω 1 A 1 = ω 2 A 2 “La circulación alrededor del contorno limitado por A 1 es igual a la que está alrededor de A 2. También significa que la circulación en cada sección transversal de un tubo vorticoso es la misma”. Teoremas especiales

16 4.2. Teorema de Kelvin El teorema de Kelvin establece que para un fluido incompresible o barotrópico, además no viscoso y con campo de fuerzas conservativo, la circulación alrededor de una curva material no vara con el tiempo, aunque esta cambie su forma. Una de las consecuencias del teorema es que siempre que se cumplan las condiciones del teorema, un flujo que es irrotacional, es decir, ω = 0 en todas partes en un dominio simplemente conectado en un momento dado, seguirá siendo irrotacional. Esto también es equivalente a que la velocidad de circulación sea cero y permanezca así sobre cada contorno material interno al fluido y que nunca habra "orificios", lo que significa que los contornos permanecen alrededor de una región fluida simplemente conectada. Teoremas especiales

17 4.3. Ecuación de Vorticidad Esta ecuación establece que la rapidez de cambio de la vorticidad de un elemento de fluido depende del gradiente de velocidad y de su difusión por efectos viscosos. Para un fluido incompresible, en un campo de fuerzas conservativo, las ecuaciones de Navier- Stokes toman la forma: usando la identidad (A.9), la ecuación se escribe Teoremas especiales Un campo vectorial es conservativo si la circulación del campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los puntos inicial y final de la circulación. si una fuerza es conservativa, es el gradiente de alguna función: F= ∇ U

18 Tomando el rotacional de esta ecuación y empleando la de definición de vorticidad donde se considera que los operadores diferenciales son intercambiables y que el rotacional de un gradiente es cero. de la identidad (A.10). por la condición de incompresibilidad y que el vector es solenoidal. La ecuación anterior a ésta última toma entonces la forma Teoremas especiales 4.3. Ecuación de vorticidad Un campo cuyas fuentes escalares son nulas en todos los puntos del espacio

19 Lista de identidades: Teoremas especiales 4.3. Ecuación de vorticidad

20 4.4. Ecuación de Bernoulli En general la ecuación de Bernoulli no es una ecuación de energía. Es la integral (parcial, en un instante dado) de la ecuación de momentum. Sin embargo para flujos permanentes e isoentrópicos es idéntica ala ecuación de energía. Teoremas especiales