CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 10 TEMA :FUERZA CORTANTE MOMENTO FLECTOR PROFESOR : ING. JORGE.

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1 CARRERA PROFESIONAL: ING.MECANICA Y ELECTRICA CURSO: ESTATICA Y DINAMICA CICLO:IV SEMANA : 10 TEMA :FUERZA CORTANTE MOMENTO FLECTOR PROFESOR : ING. JORGE CUMPA MORALES 2013

2 Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de forma perpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas. A menudo se pueden clasificar según el modo en que estén soportadas.

3 Viga simplemente apoyada Viga en voladizo

4 APLICACIÓN

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6 Viga con voladizo

7 APLICACION

8 APLICACIÓN : Grúa

9 Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras (armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos, pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Esto hace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que se producen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimiento sencillo, de un solo paso. Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

10 Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómo se distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra la sección transversal crítica. En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados por momentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerza cortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en la cual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, por seguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la sección donde ocurra la mayor fuerza cortante.

11 Convención de signos Se considerarán con signo positivo: Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotación horaria del segmento de viga. Los momentos flectores que generen compresión en la parte superior de la sección transversal de la viga.

12 Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector Consideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo largo de la misma, como se muestra. El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante y ‘K·Δx’ es distancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; se cumple que ‘0 < k < 1

13 Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos: Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante, tenemos : Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el límite cuando ‘Δx→0’ nos queda :

14 Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática, obtenemos: despejando el término referido a la variación del momento flector, tenemos:

15 Luego, al despejar V, tomando la aproximación ‘Δx 2 ≈0’ y aplicando el límite cuando ‘Δx→0’ nos queda: Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortante nos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describe la variación del momento flector sobre la viga.

16 Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector En muchos casos puede resultar de interés disponer de expresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y el momento flector. Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de la siguiente forma: 0si ‘x < a’ ( x – a ) n si ‘x > a’

17 Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente: La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que “x” alcanza el valor de “a”. Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario. Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad. 0si ‘x < a’ ( x – a ) n si ‘x > a’

18 1.Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a la derecha, según convenga. 2.Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos. Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante y momento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientes pasos:

19 3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay. 4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargas distribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dicho corte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como sea necesario.

20 A continuación presentamos algunos ejemplos de cargas expresadas utilizando funciones de Macaulay:

21 Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variables debe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en un extremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una carga uniformemente distribuida:

22 Con una carga que varía linealmente, se tendría:

23 Esfuerzo Normal debido a Momento Flector Utilizando un material muy deformable como el hule, se puede identificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto se somete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversales perpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación.

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25 Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidad próximamente. Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de sección transversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo al vector momento flector aplicado. Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinal conformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga que lo intercepten.

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27 En resumen, se asumen las siguientes condiciones: La viga es recta.. La sección transversal de la viga es uniforme. Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga. La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas. El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo de elasticidad es igual a tensión y compresión.

28 En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada una porción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse el momento flector.

29 Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en el elemento: Donde:Δs = Δx = ρ·Δθ Δs’ = (ρ + y)·Δθ Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma:

30 Finalmente: Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el eje neutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación. Y las deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signo contrario a las que ocurren por debajo del mismo.

31 Recordando la Ley de Hooke, podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en función de la variable “y”: donde “E” y “ρ” son constantes. Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre la sección transversal, tenemos:

32 Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la única solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente: Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las distancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la viga.

33 Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la sección. Nos queda: De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σ obtenida mas atrás y obtenemos: Donde el término que encierra la integral corresponde al momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando con la letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de la siguiente forma:

34 Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores: Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos queda finalmente: donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmente respecto a la dirección “y”.

35 Regla de la mano derecha Se utiliza para definir los signos de los esfuerzos normales empleando momentos aplicados. Al colocar la palma de la mano derecha sobre la sección transversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el eje neutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano será aquella que esté sometida a compresión.

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37 ______________________________________________________________________________ Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas no solamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortante interna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales se deslicen una sobre las otras. Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplemente apoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí. Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

38 Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarse cómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones y se aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento. Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite el deslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida a momento flector.

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40 Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nos permita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar el deslizamiento anteriormente descrito. Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura. Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial de la misma.

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42 En la figura podemos observar con mayor detalle el elemento diferencial dentro de la viga. Se cumple:

43 Si suponemos que ‘H 2 >H 1 ’, podemos plantear la primera condición de equilibrio en el elemento diferencial: Al sustituir “H 1 ” y “H 2 ”, nos queda: Recordando que:

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