Teoría de Redes Ing. Douglas Vergara. Concepto básico Un arco es dirigido si permite el flujo positivo en una dirección y un flujo cero en la dirección.

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1 Teoría de Redes Ing. Douglas Vergara

2 Concepto básico Un arco es dirigido si permite el flujo positivo en una dirección y un flujo cero en la dirección contraria Una red dirigida tiene sus arcos dirigidos Ruta: sucesión de arcos dirigidos que unen dos nodos pasantes por otros nodos Un ciclo es dirigido si sus arcos son dirigidos Árbol: Red conectada que consiste en un subconjunto de nodos Árbol de expansión: Red que conecta todos los nodos sin permitir ciclos

3 Ejemplo 1 2 34 5 Determinar: a)Una ruta b)Un ciclo c)Un ciclo dirigido d)Un árbol e)Un árbol de expansión Grafos

4 Aplicaciones Ruta más corta Flujo máximo Árbol de expansión mínima Flujo de costo mínimo Planeamiento y control de proyectos (PERT- CPM)

5 Árbol de expansión mínima Es aquel que conecta todos los nodos dentro de una red, que están a una distancia mínima y que no contiene un ciclo Entre los conceptos que debemos conocer para la elaboración de este modelo de red están: Flujo: corresponde a la cantidad que debe transportarse de un nodo a otro Arco no dirigido: si el flujo puede transportase en varias dimensiones (sin flecha) Nodo adyacente: este ocurre cuando existe un arco que une a dos nodos

6 Pasos para elaborar un árbol de expansión mínima Seleccionar cualquier nodo de la red o indicado según el problema Colocar este nodo al más cercano que minimice la distancia y proseguir considerando todos los nodos que estén conectados, escogiendo de igual manera el que tenga la mínima distancia, hasta concluir todos los nodos. Si hay empate se selecciona uno arbitrariamente, un empate sugiere que puede haber más una solución óptima

7 Ejemplo SEDAPAL quiere suministrar agua a varios asentamientos humanos que están ubicados al norte de Lima. En el siguiente gráfico se presenta los diferentes puntos donde debe haber abastecimiento. Se busca la forma más económica de suministrar el agua a todos AA.HH en esta zona a través de un árbol de expansión mínima

8 A B D C E F H G 6 4 10 1 8 7 5 11 15 9 3 2 3

9 Distancia

10 A B D C E F H G 4 1 7 5 3 2 3

11 A B D C E F H G 5 5 5 3 7 7 6 9 10 8 3 5 2

12 Flujo de costo mínimo El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados

13 Problema El siguiente problema requiere minimizar el costo total sujeto a la disponibilidad y la demanda de algunos nodos y la conexión de flujo a través de cada arco

14 Recordar Para una red de costo mínimo se requiere: Minimizar los costos de llevar el flujo del nodo a nodo iniciales a el nodo o nodos finales No debe superar la capacidad de los arcos Todo lo que entra a un nodo debe salir de ese nodo a menos que se indique lo contrario Debe suplir la demanda en los nodos No debe superar la demanda

15 Modelo costo mínimo 1234Oferta A1720131270 B1521262590 C15141517115 Demanda50607095

16 Modelo costo mínimo 1234Oferta A 1720131270 B 15212625 90 C 15141517 115 Demanda50607095

17 Modelo costo mínimo 1234Oferta A100201115 B12792025 C01416185 Demanda515 10

18 Modelo costo mínimo 1234Oferta A 100201115 B 127920 25 C 0141618 5 Demanda515 10

19 Flujo máximo 0 A B C D E T 8 5 4 5 6 2 2 4 4 3 6 3 F

20 0 A B C D E T 8 5 4 5 6 2 2 4 4 3 6 3 F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

21 0 A B C D E T F