DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA MODERNA.

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA MODERNA

2 UNIDAD N° 2 TEORÍA CONJUNTISTA www.algebramoderna.2trweb.com

3 UN POCO DE HISTORIA DE LA TEORÍA CONJUNTISTA
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista UN POCO DE HISTORIA DE LA TEORÍA CONJUNTISTA Cantor estudió los conjuntos infinitos. El primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de puntos en el plano que en la recta. (Galileo había demostrado que había el mismo número de puntos en segmentos de diferente tamaño). Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que conjuntos, que todos diríamos que tienen mas elementos, tienen los mismos. Por ejemplo, hay el mismo número de números pares que de naturales, hay el mismo número de enteros que de naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más números reales que naturales. Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamientos con otros matemáticos. Cantor padeció trastornos maníaco-depresivos. Sólo al final de su vida, se empezó a apreciar su trabajo, cuando ya era demasiado tarde, pues su enfermedad mental ya estaba muy avanzada. Murió en 1918 en un sanatorio mental. Geor Cantor nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciante danés. En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania). Fueron 6 hermanos. La disciplina en la familia era muy estricta y en la familia había verdadera obsesión por el éxito. Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demanda de ingenieros y estaban bien pagados, sin embargo, a Cantor no le gustaba la idea y estudió Matemáticas. Estudió en el Politécnico de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron Weierstrass, Kummer y Kronecker. En 1869 entró como profesor en la Universidad de Halle. Cantor siempre quiso que le llamaran de una de las Universidades importantes (Berlín o Gotinga) pero la llamada no se produjo, se cree que por la oposición de Kronecker, con el que estaba enfrentado porque los trabajos de Cantor refutaban los fundamentos de los trabajos que realizaba Kronecker. GEOR CANTOR Fuente:

4 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
SIMBOLISMO QUE SE UTILIZA EN LA TEORÍA CONJUNTISTA Símbolo Significado  Pertenece -() ó  No pertenece  Incluido en  Incluye a  Unión  Intersección X Por (Producto cartesiano) - Menos  Conjunto vacío  Luego (a,b) Par ordenado “a” “b”

5 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Símbolo Significado > Mayor que  Mayor o igual que < Menor que  Menor o igual que ab “a” divide a “b” x: Para todo x se verifica x/ Existe x tal que U Conjunto universal Conjunto de los números naturales Conjunto de los números enteros Conjunto de los números racionales Conjunto de los números reales Conjunto de los números complejos

6 aA “el elemento a pertenece al conjunto A”
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA Para poder abordar la teoría conjuntista, debemos tener presente tres conceptos fundamentales: conjuntos elemento y pertenencia, los cuales son conceptos primitivos. Todo conjunto se lo designa con una letra mayúscula, por ejemplo A, B, C, etc. y los elementos con una letra minúscula, por ejemplo a, b, c, etc. Ahora, la relación que existe entre elemento y conjunto es de pertenencia, y se usa el símbolo “”. De un elemento a un conjunto se puede decir que pertenece, y se denota: aA “el elemento a pertenece al conjunto A” Por otro lado, se puede negar la pertenencia, y se denota: -( aA)  aA “el elemento a no pertenece al conjunto A”

7 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden definir de dos formas: enumerando todos sus elementos (definido por extensión), o enunciando una propiedad que caracteriza solamente a esos elementos (definido por comprensión). Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 4} definido por extensión A={xN/x  4} definido por comprensión (se lee “El conjunto A está formado por todos los elementos “x” que pertenecen a los números naturales, tal que “x” es menor o igual que cuatro”)

8 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO El conjunto vacío es aquel que carece de elementos. Definido por extensión: ={} Definido por comprensión:  = {x/xx} se elige esta forma ya que no existe ningún elemento que sea distinto a si mismo CONJUNTO UNITARIO El conjunto unitario es aquel que tiene sólo un elemento: A={a} por extensión A={x/x=a} por comprensión

9 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
CONJUNTO UNIVERSAL El conjunto universal es el conjunto formado por todos los elementos de los cuales se está hablando. Se lo simboliza con “U”.- CARDINAL DE UN CONJUNTO Se llama cardinal de un conjunto a la cantidad de elementos que tiene el conjunto. El cardinal de un conjunto se lo representa con #. Por ejemplo: A={-1,0,1, 2, 3, 4,7,9}  #A = 8

10 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números Naturales Sumar: a+b=c Restar: a- b= c solamente si a≥b Dividir: a:b=c solamente si “a” es múltiplo de “b” Multiplicar: a.b=c Obtener la potencia n-ésima an =b Obtener la raíz n-ésima: Los números Enteros a – b donde a < b, se crearon los números negativos Los negativos unidos con el {0} unidos con los Naturales, dieron origen a los números enteros (Z)

11 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Los números racionales Los enteros unidos con los fraccionarios, dieron origen a los números racionales: Los números reales Irracional 1 1 Los racionales unidos con los irracionales, forman el conjunto de los números reales:

12 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Los números complejos Para resolver raíces de índice par y radicando negativo se determinó una convención donde , o sea que por ejemplo: Ahora, el valor de Pero, usando estos números y los reales se determinó un nuevo conjunto numérico en donde cada uno de ellos se forma con una parte real más una imaginaria, o sea: a+b.i Estos números se llaman números complejos, y el conjunto formado por ellos se denomina conjunto de los complejos.-

13 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn es una forma de representar gráficamente los conjuntos usando figuras cerradas como circunferencias, triángulos, elipses, rectángulos, etc. U A B

14 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto está incluido en otro, sí y solo sí los elementos del primero también son del segundo A  B  xA  x B Propiedades de la Inclusión Propiedad Reflexiva Todo conjunto está incluido en sí mismo.- A  A  xA  x A V V V V V

15 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Propiedad transitiva Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primero está incluido en el tercero.- A  B  B  C  A C Demostración A  B  B  C  (xA  xB)  (xB  xC)   (xA  xC)  A  C

16 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Ahora, para que dos conjuntos sean iguales es necesario que uno esté incluido en el otro y viceversa. A = B  A  B  B  A PROPIEDADES Propiedad Reflexiva Todo conjunto es igual a sí mismo H) Sea el conjunto A T) A = A D) Como A  A  A  A  A  A  A = A

17 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Propiedad Simétrica H) Sea A = B T) B = A D) Como A = B  A  B  B  A  B  A  A  B  B = A Propiedad Transitiva Si un conjunto es igual a otro, y éste es igual a un tercero, entonces el primero es igual al tercero. H) Sea A = B  B = C T) A = C D) Como A = B  B = C  (A  B  B  A)  (B  C  C  B)   (A  B  B  C)  (C  B  B  A)  A  C  C  A  A = C

18 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
CARACTERIZACIÓN DEL CONJUNTO VACÍO 1º) El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto H) Sea el conjunto A T)   A D)   A  x  xA V V F V V 2º) El conjunto vacío es único (unicidad) H) Sean los conjuntos vacíos  y ’ T)  = ’ D) Como  es un conjunto vacío  ’ Ahora, como ’ también es un conjunto vacío  ’ Y teniendo en cuenta la definición de igualdad se tiene:  = ’

19 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS COMPLEMENTACIÓN Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los elementos del universal que no son de A.- AC = {x  U/x  A} x  AC  x  A A U A U

20 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
PROPIEDADES DE LA COMPLEMENTACIÓN 1°) Involución H) Sea el conjunto A T) (AC)C = A D) x (AC)C  x AC  (x AC)  (x A)  [(x A)]  x A Pero con esta demostración no se demostró la igualdad, entonces: x (AC)C  x A  [(x (AC)C  x A)]  [x A  x (AC)C]   (AC)C  A  A  (AC)C  (AC)C = A A U A U A U (AC)C A

21 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
LA INTERSECCIÓN Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto AB formado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablar de elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.- A  B = {xU/xA  xB} x A  B  xA  xB U B A

22 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Propiedades y elementos distinguidos de la intersección 1. Idempotencia H) Sea el conjunto A T) A  A = A D) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  A  xA  xA  xA  A  A = A

23 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
2. Asociatividad La intersección es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B) C D) Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A (B  C)  xA  x (B  C)  xA  (xB  xC)   (xA  xB)  xC  x(A  B)  xC  x(A  B) C  A (B  C) = (A  B) C U U A B A B C C

24 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
2. La conmutatividad La intersección es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A D) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  B  xA  xB  xB  xA  x B  A  A  B = B  A

25 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
3. Elemento neutro El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal H) Sea el conjunto A T) A  U = U  A = A D) Dado que el conjunto AU  A  U = U  A = A 4. Elemento absorbente El elemento absorbente para la intersección es el conjunto vacío H) Sea el conjunto A T) A   =   A=  D) Dado que, por la caracterización del , A   A   =   A = 

26 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
LA UNIÓN DE CONJUNTOS Sean los conjuntos A y B, se llama unión entre los conjuntos A y B al conjunto AB formado por los elementos de A ó de B o de ambos.- A  B = {xU/xA  xB} x A  B  xA  xB U B A

27 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Propiedades y elementos distinguidos de la unión 1. Idempotencia H) Sea el conjunto A T) A  A = A D) Aplicando la definición de unión, la idempotencia de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  A  xA  xA  xA  A  A = A

28 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
2. Asociatividad La unión es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C T) A  (B  C) = (A  B)  C D) Aplicando la definición de unión, la asociatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  (B  C)  xA  x (B  C)  xA  (xB  xC)   (xA  xB)  xC  x(A  B)  xC  x(A  B)  C  A  (B  C) = (A  B)  C U U A B A B C C

29 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
2. La conmutatividad La unión es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A D) Aplicando la definición de unión, la conmutatividad de la disyunción y la definición de igualdad, se tiene: x A  B  xA  xB  xB  xA  x B  A  A  B = B  A

30 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
3. Elemento neutro El elemento neutro para la unión es el conjunto vacío H) Sea el conjunto A T) A   =   A= A D) Dado que, por la caracterización del , A   A   =   A = A 4. Elemento absorbente El elemento absorbente para la unión es el conjunto universal H) Sea el conjunto A T) A  U = U  A = U D) Dado que el conjunto AU  A  U = U  A = U

31 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS La diferencia entre los conjuntos A y B, donde A se llama minuendo y B sustraendo, es el conjunto A – B formado por todos los elementos de A que no son de B. Simbólicamente: A – B = {xU/xA  xB} x A – B  xA  xB Corolario: Teniendo en cuenta la definición de complemento, de intersección y de igualdad, se tiene: x A – B  xA  xB  xA  xBC  x A  BC  A – B = A  BC U A B

32 1. De la intersección con respecto a la unión
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista OTRAS PROPIEDADES Leyes Distributivas 1. De la intersección con respecto a la unión La intersección es distributiva con respecto a la unión H) Sean los conjuntos A, B y C T) A (B  C) = (A  B)  (A  C) D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción se tiene: x A (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  (x A  xC)  x A  B  x A  C   x (A  B)  (A  C)  A (B  C) = (A  B)  (A  C)

33 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Gráficamente: U U A B A B C C A (B  C) (A  B)  (A  C)

34 2. De la unión con respecto a la intersección
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista 2. De la unión con respecto a la intersección La unión es distributiva con respecto a la intersección H) Sean los conjuntos A, B y C T) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción se tiene: x A  (B  C)  x A  x (B  C)  x A  (xB  xC)   (x A  xB)  (x A  xC)  x A  B  x A  C   x (A  B)  (A  C)  A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

35 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Gráficamente: U U A B A B C C A  (B  C) (A  B)  (A  C)

36 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Leyes de De Morgan 1. De la intersección El complemento de la intersección de dos conjuntos, es igual a la unión de los complementos. H) Sean los conjuntos A y B T) (A  B)C = AC  BC D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley de De Morgan para la conjunción, se tiene: x (A  B)C  x (A  B)  -[x(A  B)]  -( xA  xB)   -(xA)  -(xB)  xA  xB  xAC  xBC   x AC  BC  (A  B)C = AC  BC

37 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Gráficamente: U U A A B B (A  B)C AC  BC

38 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Leyes de De Morgan 2. De la unión El complemento de la unión de dos conjuntos, es igual a la intersección de los complementos. H) Sean los conjuntos A y B T) (A  B)C = AC  BC D) Aplicando las definiciones de unión, complemento, intersección y de igualdad, y la ley de De Morgan para la disyunción, se tiene: x (A  B)C  x (A  B)  -[x(A  B)]  -( xA  xB)   -(xA)  -(xB)  xA  xB  xAC  xBC   x AC  BC  (A  B)C = AC  BC

39 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Gráficamente: U U U A A A B B B (A  B)C AC  BC

40 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
DIFERENCIA SIMÉTRICA Definición La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es A  B, formado por los elementos de la unión entre A – B y B – A. A  B = (A – B)  (B – A) Ahora, teniendo en cuenta que A – B = A  BC se tiene: A  B = (A  BC)  (B  AC) U A B

41 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Propiedades de la diferencia simétrica Conmutatividad La diferencia simétrica es conmutativa H) Sean los conjuntos A y B T) A  B = B  A D) Aplicando la definición de diferencia simétrica y la propiedad conmutativa de la unión, se tiene: A  B = (A – B)  (B – A) = (B – A)  (A – B) = B  A

42 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Asociatividad La diferencia simétrica es asociativa H) Sean los conjuntos A, B y C T) A  (B  C) = (A  B)  C D) Para demostrar esta propiedad se lo debe hacer desarrollando ambos miembros de la igualdad y comparar sus resultados.- A(BC) = [A  (B  C)C]  [(B  C)  AC] = {A  [(BCC)  (CBC)]C  {[(BCC)  (CBC)]  AC =A[(BCC)C  (CBC)C] (ACBCC) (ACBCC) ={A[(BCC)  (CCB)]  (ACBCC) (ACBCC) ={A[(BCCC)(BCB)(CCC)(CB)] (ACBCC) (ACBCC) = {A[(BCCC)(CB)]  (ACBCC) (ACBCC) = {A[(BCCC) (CB)]  (ACBCC) (ACBCC) = (ABC)  (ABCCC)  (ACBCC)  (ACBCC) (I)

43 de I y II y por propiedad transitiva de la igualdad, se tiene:
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista (AB)C = [(A  B)  CC]  [C  (A  B)C] = {[(ABC)  (BAC)]CC  {C[(ABC)  (BAC)]C =(ABCCC) (ACBCC) C[(ABC)C  (BAC)C] =(ABCCC)(ACBCC) C[(ACB)(BCA)] =(ABCCC) (ACBCC) {C[(ACBC)(ACA)(BBC)(BA)] = (ABCCC)(ACBCC)  {C[(ACBC)(BA)] = (ABCCC)(ACBCC)  {C[(ACBC) (BA)] = (ABC)  (ABCCC)  (ACBCC)  (ACBCC) (II) de I y II y por propiedad transitiva de la igualdad, se tiene: A  (B  C) = (A  B)  C

44 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
CONJUNTO DE PARTES Definición Sea el conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto P(A) formado por todos los conjuntos que se pueden armar con los elementos de A.- P(A) =X/X  A} X  P(A)  X  A Por ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}  P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, }

45 Para ello trabajaremos de la siguiente forma con los conjuntos A y B
Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista UNIONES DISJUNTAS Cuando tenemos conjuntos disjuntos, o sea que no tienen elementos comunes, y se trata de realizar una unión, estaremos en presencia de una unión disjunta. Para ello trabajaremos de la siguiente forma con los conjuntos A y B A  B = A + B siempre que A  B =  U B A A  B = A  (B – A) = A  (B  AC) = A  (AC  B) A  (AC  B) = A + (AC  B)

46 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
PAR ORDENADO Sean los conjuntos {a} y {a, b}. Se llama par ordenado (a, b) al conjunto {{a}, {a,b}} O sea que (a, b) = {{a}, {a,b}} PRODUCTO CARTESIANO Definición Sean los conjuntos A y B, se llama producto artesiano A X B al conjunto formado por todos los pares ordenados cuyas primeras componentes son los elementos de A, y las segundas componentes, los elementos de B.- A X B = {(a,b)/aA  bB} (a,b)A X B  aA  bB

47 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
Por ejemplo: Sean los conjuntos: A={1,2,3} y B={5,6} AXB = { (1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,5); (3,6)} Ahora, también se puede trabajar con un solo conjunto, o sea hacer el producto cartesiano (siendo “A” el conjunto) AXA=A2, por ejemplo: A={1,2,3} A X A= A2 = { (1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}

48 Álgebra Moderna – Teoría Conjuntista
UNIONES E INTERSECCIONS DE FAMILIAS DE CONJUNTOS FAMILIA DE CONJUNTOS UNIÓN DE UNA FAMILIA DE CONJUNTOS INTERSECCIÓN DE UNA FAMILIA DE CONJUNTOS

49 FIN IDEA Y REALIZACION Prof. LUIS ERNESTO VALDEZ
Departamento de Matemática Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá