Máquinas Eléctricas I:

Máquinas Eléctricas I:
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Máquinas Eléctricas I: Transformador Monofásico, Principio de Funcionamiento. Profesor: Miguel Morales

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, CONTENIDOS
Circuito Magnético. Flujo Magnético. Principio de funcionamiento. Transformador Ideal. Transformador Real.

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, CIRCUITO MAGNÉTICO
El circuito magnético está formado por: Núcleo magnético de baja reluctancia, formado por láminas barnizadas Devanado primario con N espiras La corriente CA i genera un flujo magnético Φ CA en el núcleo 𝒊 𝒕 𝜱 𝒕 𝜱 𝒗 𝒕 𝒆 𝒕 N 𝓕 ℛ Densidad de flujo de campo magnético →𝐵=𝜇∗𝐻=𝜇∗ 𝑁∗𝑖 𝑙 B= 𝑊𝑏 𝑚 2 o Teslas 𝜇= 𝜇 𝑟 ∗ 𝜇 0 = Permeabilidad [ 𝑊𝑏 𝐴∗𝑚 ] 𝜇 𝑟 = permeabilidad relativa; 𝜇 𝑟 ≥100 para materiales ferromagnéticos 𝜇 0 =4∗𝜋∗ 10 −7 [ 𝑊𝑏 𝐴∗𝑚 ] = Permeabilidad del aire Aplicando la ley circuital de Ampere →ℱ=𝐻∗𝑙=𝑁∗𝑖 ℱ= Fuerza magnetomotríz [A*t] H= Intensidad de campo magnético [A*t/m] l= longitud media del núcleo [m]

Flujo magnético: El voltaje V sinusoidal aplicado al devanado causa una circulación de corriente i en el mismo, estableciéndose un campo magnético cuyas líneas de flujo circulan alrededor del núcleo. El sentido del flujo es determinado por la Ley de Ampere. Φ=𝐵∗𝑆=𝜇∗ 𝑁∗𝑖 𝑙 ∗𝑆 Φ en Webers S es la sección transversal del núcleo atravesada por el flujo magnético El flujo magnético es alterno sinusoidal i 𝜱 V N

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO
Consideraciones: El transformador consta de dos devanados primario y secundario, con número de espiras 𝑵 𝟏 y 𝑵 𝟐 respectivamente. Independientemente del número de espiras, se considera el lado primario aquel lado del transformador que recibe energía. Independientemente del número de espiras, se considera el lado secundario aquel lado del transformador que entrega energía. Se llamará devanado del lado de alta tensión (A. T.) aquel que posea el mayor número de espiras, y devanado del lado de baja tensión (B. T.) aquel que posea el menor número de espiras, esta denominación es independiente del lado que este recibiendo energía. 𝒊 𝟏 𝜱 𝒊 𝟐 V 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋

F.e.m. inducida en los devanados: El voltaje 𝒗 sinusoidal aplicado al devanado primario causa una circulación de corriente 𝒊 en el mismo, estableciéndose un campo magnético cuyas líneas de flujo circulan alrededor del núcleo. El flujo sinusoidal CA induce una f.e.m. en los devanados ( 𝒆 𝟏 y 𝒆 𝟐 ) (Ley de Faraday). 𝑒 𝑖𝑛𝑑 =−𝑁∗ 𝑑Φ 𝑑𝑡 Como: 𝜱 𝒕 = 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒔𝒆𝒏 𝝎∗𝒕 ⟶ 𝒆 𝒊𝒏𝒅 =𝑵∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝝎∗𝒔𝒆𝒏(𝝎∗𝒕−𝟗𝟎°) [V] Valor eficaz⟶𝑽= 𝑵∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝝎 𝟐 =𝟒.𝟒𝟒∗𝑵∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒇 [V] 𝒊 𝒕 𝜱 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒗 𝒕 𝒆 𝟏 𝒕 𝒆 𝟐 𝒕

F.e.m. inducida en los devanados: 𝜱 𝒕 = 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒔𝒆𝒏 𝝎∗𝒕 [Wb] 𝜱

F.e.m. inducida en los devanados: 𝜱 𝒕 = 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒔𝒆𝒏 𝝎∗𝒕 [Wb] Todo f.e.m. inducida atrasa 90° con respecto al flujo que la induce. 𝒆 𝒊𝒏𝒅 =𝑵∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝝎∗𝒔𝒆𝒏(𝝎∗𝒕−𝟗𝟎°) [V] 𝜱 V

Transformador Ideal: Las resistencias de los devanados primario y secundario se consideran despreciables, por lo tanto no se toman en cuenta las pérdidas por efecto Joule y no se consideran las caídas de tensiones en el transformador. Los flujos de dispersión en los devanados no son tomados en cuenta, esto significa que todo el flujo magnético está confinado al núcleo y enlaza ambos devanados. 𝜱 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐

Transformador Ideal en Vacío: El devanado primario es conectado a una fuente de voltaje alterna 𝒗 𝟏 . El voltaje 𝒗 𝟏 aplicado al devanado causa una corriente magnetizante 𝒊 𝟎 a través del mismo. La corriente magnetizante 𝒊 𝟎 crea un flujo magnético 𝜱 𝒎 que circula por el núcleo. El flujo magnético induce una f.e.m. en los devanados ( 𝒆 𝟏 y 𝒆 𝟐 ) (Ley de Faraday). 𝑒 1 =− 𝑁 1 ∗ 𝑑Φ 𝑑𝑡 ; 𝑒 2 =− 𝑁 2 ∗ 𝑑Φ 𝑑𝑡 Valores rms: 𝑬 𝟏 =𝟒.𝟒𝟒∗ 𝑵 𝟏 ∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒇 [V] y 𝑬 𝟐 =𝟒.𝟒𝟒∗ 𝑵 𝟐 ∗ 𝜱 𝒎á𝒙 ∗𝒇 [V] Dividiendo estas últimas ecuaciones: 𝑽 𝟏 𝑽 𝟐 = 𝑬 𝟏 𝑬 𝟐 = 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 = 𝒓 𝒕 donde 𝒓 𝒕 = relación de transformación 𝒊 𝟎 𝜱 𝒎 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Transformador Ideal con Carga: Se conecta una carga 𝒁 𝑪 a los bornes del devanado secundario. El voltaje 𝑣 2 causa la circulación de la corriente 𝑖 2 en el devanado secundario. La corriente 𝑖 2 crea un flujo Φ 2 que se opone al flujo de magnetización Φ 𝑚 (Ley de Lenz). La reducción del flujo Φ 𝑚 causa una disminución de la f.m.m. inducida 𝑒 1 , de esta forma la corriente en el devanado primario se incrementa a un valor 𝑖 0 + 𝑖′ 1 . 𝒊 𝟎 𝜱 𝒎 𝒊 𝟐 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝜱 𝟐 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Transformador Ideal con Carga: El incremento de la corriente al valor 𝑖 1 = 𝑖 0 + 𝑖′ 1 provoca un aumento del valor del flujo de magnetización tal que contrarresta el efecto de Φ 2 manteniendo en balance el circuito magnético. El flujo Φ 𝑚 permanece constante, independientemente de la carga conectada al transformador. Cuando el trafo funciona a plena carga o valores cercanos a ella se puede asumir que 𝑖 1 = 𝑖′ 1 ( 𝑖 0 ≅ 1% 𝑎 2% de 𝒊 𝒏 ). Como ℱ 1 = ℱ 2 ⟹ 𝑖 1 ∗ 𝑁 1 = 𝑖 2 ∗ 𝑁 2 ⟹ 𝒊 𝟏 𝒊 𝟐 = 𝑵 𝟐 𝑵 𝟏 = 𝟏 𝒓 𝒕 = 𝑽 𝟐 𝑽 𝟏 𝒊 𝟎 + 𝒊′ 𝟏 𝜱 𝒎 𝒊 𝟐 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝜱 𝟐 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Por no existir pérdidas en un transformador ideal, la potencia de entrada (VA) es igual a la potencia de salida (VA): 𝑽 𝟏 ∗ 𝑰 𝟏 = 𝑽 𝟐 ∗ 𝑰 𝟐 𝑰 𝟏 𝑰 𝟐 𝑰 𝟏 𝑰 𝟐 = 𝟏 𝒓 𝒕 Transformador Ideal Circuito Equivalente: 𝑽 𝟏 = 𝑬 𝟏 𝑽 𝟐 = 𝑬 𝟐 𝒓 𝒕 = 𝑽 𝟏 𝑽 𝟐

Transformador Real: Los devanados del transformador real están constituidos con hilo conductor, por lo tanto es inherente la aparición unas resistencias, R1 y R2, las cuales pueden representarse como elementos en serie con los devanados. 𝒊 𝟏 𝜱 𝑹 𝟐 𝒊 𝟐 𝑹 𝟏 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Transformador Real: De todo el flujo producido por los devanados sólo existe una parte común a ambos. Lo anterior es consecuencia de los flujos de dispersión que aparecen en los arrollamientos y que se distribuyen por caminos no magnéticos, en particular por los conductores y por el aire que rodea la bobina. Φ 1 =Φ+ Φ 𝑑𝑖1 ; Φ 2 =Φ+ Φ 𝑑𝑖2 𝐿 𝑑1 = 𝑁 1 ∗ 𝑑 Φ 𝑑𝑖1 𝑑𝑖 1 ; 𝐿 𝑑2 = 𝑁 2 ∗ 𝑑 Φ 𝑑𝑖2 𝑑𝑖 2 𝑋 1 =𝐿 𝑑1 ∗𝜔; 𝑋 2 =𝐿 𝑑2 ∗𝜔 𝒊 𝟏 𝜱 𝑹 𝟏 𝑹 𝟐 𝒊 𝟐 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝜱 𝒅𝟏 𝜱 𝒅𝟐 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Transformador Real: 𝑣 1 = 𝑒 1 + 𝑅 1 ∗ 𝑖 1 + 𝐿 𝑑1 ∗ 𝑑𝑖 1 𝑑𝑡 𝑣 2 = 𝑒 2 − 𝑅 2 ∗ 𝑖 2 − 𝐿 𝑑2 ∗ 𝑑𝑖 2 𝑑𝑡 𝒊 𝟏 𝜱 𝑹 𝟐 𝒊 𝟐 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑿 𝟐 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

Transformador Real: La resistencia 𝑅 𝐶 representa las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas (pérdidas de núcleo) en el interior del núcleo debido a un flujo de CA que pasa a través del núcleo. La reactancia 𝑋 𝑚 (reactancia magnetizante) está asociada con la magnetización del núcleo; es decir, el establecimiento del flujo en el núcleo. La permeabilidad magnética del núcleo de hierro no es infinita y por lo tanto existe una corriente de magnetización. 𝒊 𝟏 𝒊 𝟐 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝜱 𝑹 𝟐 𝑿 𝟐 𝒗 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒗 𝟐

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, PÉRDIDAS EN EL NÚCLEO
Pérdidas por Histéresis: Son provocadas por la diferencia en el recorrido de las líneas del campo magnético a través del núcleo, cuando circulan en diferente sentido cada medio ciclo. Estos cambios debido a la variación del flujo consumen energía, está energía se conoce como Histéresis del Material. Este tipo de energía se gasta en orientar en la dirección del campo las partículas elementales del material. 𝑺 𝑵

Charles Proteus Steinmetz
Germano-americano (1865–1923), matemático, científico, ingeniero, inventor, profesor de Ingeniería Eléctrica y Electrofísica, Union College. Aun cuando poseyera casi 200 patentes y fuera reconocido a nivel mundial por sus contribuciones al estudio de pérdidas por histéresis y transitorios eléctricos, es mejor conocido por su contribución al estudio de redes de CA. Su obra “Symbolic Method of Alternating-current Calculations” es un método de análisis de redes de CA que eliminó la mayor parte de las confusiones y frustraciones experimentadas por ingenieros de entonces cuando realizaban la transición de sistemas de CD a sistemas de CA. En 1897 escribió su obra épica Theory and Calculation of Alternating Current Phenomena. Era cariñosamente conocido como “El doctor” en General Electric Company, donde trabajó durante 30 años en varios puestos importantes. Su reconocimiento como un genio multidotado es apoyado por el hecho de que conservó amistades activas con personajes como Albert Einstein, Guglielmo Marconi y Thomas A. Edison, por nombrar algunos. Fue presidente del American Institute of Electrical Engineers (AIEE) y de la National Association of Corporation Schools, y apoyó activamente a su comunidad local (Schenectady) como presidente de la Board of Education y la Commission on Parks and City Planning.

Pérdidas por Corrientes Parásitas: Aparecen en materiales metálicos cuando son sometidos a la acción de flujos variables con el tiempo. Son debidas al efecto Joule de las corrientes que circulan por el material. La reducción de la circulación de estas corrientes se logra laminando el núcleo, interrumpiendo así el camino de las mismas. Fueron descubiertas en 1851 por el Físico Francés León Foucault ( ). 𝑷 𝒇𝒐𝒖𝒄 = 𝑲 𝑭 ∗ 𝑩 𝒎 𝟐 ∗ 𝒇 𝟐 ∗ 𝒕 𝟐 𝑾𝒂𝒕𝒕𝒔 𝑲𝒈 𝚽 𝒕 Corrientes Parásitas 𝒊 𝒕 𝒗 𝒕

La variación de las pérdidas por Histéresis y por Corrientes de Foucault son función directa de la frecuencia y de la Inducción Magnética del material, por lo tanto también lo serán de la tensión aplicada. Los transformadores se diseñan para trabajar en condiciones nominales de tensión y frecuencia, con grandes y pequeñas variaciones de carga, y aún sin carga conectada, pero a un nivel de tensión y frecuencia específico. Si estos dos factores permanecen constantes, se puede expresar entonces que las pérdidas en el circuito magnético serán constantes e independientes de la carga conectada, por lo tanto se consideran como Pérdidas Fijas en el transformador a una frecuencia y tensión determinadas. 𝑷 𝒇𝒆 = 𝑷 𝒇𝒐𝒖𝒄 + 𝑷 𝒉 ∗ 𝑽ó𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑵ú𝒄𝒍𝒆𝒐 𝑾𝒂𝒕𝒕𝒔

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, CIRCUITO EQUIVALENTE
Transformador Real: Transformador Ideal 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝒊 𝟏 𝒊 𝟐 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹 𝟐 𝑿 𝟐 𝒗 𝟏 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 𝒁 𝑪 ∠±𝝋 𝒗 𝟐

Para el transformador real se cumple: 𝒓 𝒕 = 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 = 𝒆 𝟏 𝒆 𝟐 = 𝒊 𝟐 𝒊 𝟏 Y sustituyendo el transformador original por otro de relación 𝑁 1 𝑁´ 2 =1, equivalente al original, es decir, se conservan las condiciones magnéticas de la máquina: potencias activa y reactiva y su distribución entre los diversos elementos del circuito secundario. Elegir la igualdad 𝑁´ 2 = 𝑁 1 permite obtener una representación del transformador en la que no exista la función transformación, es decir, se sustituye el transformador real, cuyos devanados están acoplados magnéticamente, por un circuito cuyos elementos están acoplados sólo eléctricamente. 𝑵 𝟏 𝑵´ 𝟐 𝒊 𝟏 𝒊´ 𝟐 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹´ 𝟐 𝑿´ 𝟐 𝒗 𝟏 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒆 𝟏 𝒆´ 𝟐 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒗´ 𝟐

En el transformador equivalente 𝑁´ 2 = 𝑁 1 ⟹ 𝑒 1 𝑒´ 2 = 𝑁 1 𝑁´ 2 =1⟹ 𝒆´ 𝟐 = 𝒆 𝟏 = 𝒓 𝒕 ∗ 𝒆 𝟐 𝒗´ 𝟐 = 𝒓 𝒕 ∗ 𝒗 𝟐 = 𝒗 𝟐 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝑆 2 = 𝑣 2 ∗ 𝑖 2 = 𝑆´ 2 = 𝑣´ 2 ∗ 𝑖´ 2 = 𝑟 𝑡 ∗ 𝑣 2 ∗ 𝑖´ 2 ⟹ 𝒊´ 𝟐 = 𝒊 𝟐 𝒓 𝒕 = 𝒊 𝟐 ∗ 𝑵 𝟐 𝑵 𝟏 𝑵 𝟏 𝑵´ 𝟐 𝒊 𝟏 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹´ 𝟐 𝑿´ 𝟐 𝒗 𝟏 𝒊´ 𝟐 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒆 𝟏 = 𝒆´ 𝟐 𝒆´ 𝟐 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒗´ 𝟐

𝑃 2 = 𝑅 2 ∗ 𝑖 2 2 = 𝑃´ 2 = 𝑅´ 2 ∗ 𝑖´ 2 2 = 𝑅´ 2 ∗ 𝑖 2 𝑟 𝑡 2 ⟹ 𝑹´ 𝟐 = 𝑹 𝟐 ∗ 𝒓 𝒕 𝟐 = 𝑹 𝟐 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝟐 𝑄 2 = 𝑋 2 ∗ 𝑖 2 2 = 𝑄´ 2 = 𝑋´ 2 ∗ 𝑖´ 2 2 = 𝑋´ 2 ∗ 𝑖 2 𝑟 𝑡 2 ⟹ 𝑿´ 𝟐 = 𝑿 𝟐 ∗ 𝒓 𝒕 𝟐 = 𝑿 𝟐 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝟐 En general: 𝑍´ 𝐶 = 𝑣´ 2 𝑖´ 2 = 𝑟 𝑡 ∗ 𝑣 2 𝑖 2 𝑟 𝑡 ⟹ 𝒁´ 𝑪 = 𝒁 𝑪 ∗ 𝒓 𝒕 𝟐 = 𝒁 𝑪 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝟐 𝑵 𝟏 𝑵´ 𝟐 𝒊 𝟏 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹´ 𝟐 𝑿´ 𝟐 𝒗 𝟏 𝒊´ 𝟐 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒆 𝟏 = 𝒆´ 𝟐 𝒆´ 𝟐 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒗´ 𝟐

Circuito equivalente del transformador referido al lado primario 𝒊 𝟏 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹´ 𝟐 𝒊´ 𝟐 𝑿´ 𝟐 𝒊 𝟎 𝒗 𝟏 𝑿 𝒎 𝑹 𝑪 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒗´ 𝟐 Considerando 𝒊 𝟎 despreciable con respecto a 𝒊 𝟏 𝒊 𝟏 𝑿 𝟏 𝑹 𝟏 𝑹´ 𝟐 𝒊´ 𝟐 𝑿´ 𝟐 𝒊 𝟎 𝑿 𝒎 𝒗 𝟏 𝑹 𝑪 𝒊 𝒆 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒊 𝒎 𝒗´ 𝟐

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO, CIRCUITO EQUIVALENTE REFERIDO AL PRIMARIO
Agrupando las componentes : 𝑹 𝒆 = 𝑹 𝟏 + 𝑹 𝟐 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝟐 y 𝑿 𝒆 = 𝑿 𝟏 + 𝑿 𝟐 ∗ 𝑵 𝟏 𝑵 𝟐 𝟐 𝒊 𝟏 𝑿 𝒆 𝑹 𝒆 𝒊´ 𝟐 𝒊 𝟎 𝑿 𝒎 𝒗 𝟏 𝑹 𝑪 𝒊 𝒆 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒊 𝒎 𝒗´ 𝟐 Finalmente se puede considerar 𝒊 𝟎 ≪ 𝒊 𝟏 debido a que 𝒊 𝟎 es aproximadamente 1% a 2% de 𝒊 𝒏 𝒊 𝟏 𝑿 𝒆 𝑹 𝒆 𝒗 𝟏 𝒁´ 𝑪 ∠±𝝋 𝒗´ 𝟐

BIBLIOGRAFÍA Chapman, Stephen J. “Máquinas Eléctricas“ Cuarta Edición Mc Graw-Hill Int, México. 2005 IEEE Std 115 – 1983 , IEEE Guide Test Procedures for Synchronous Machines. Johnson & Phillips Ltd, Newnes, “The J & P Transformer Book” Decima Segunda Edición, Gran Bretaña. 1998 Mora, M. Pedro “Maquinas Eléctricas y Transformadores Ed. ULA, Mérida, Venezuela. 1987 Mora, Jesus Frayle “Máquinas Eléctricas” Quinta Edición Mc Graw-Hill Int, España. 2003

Máquinas Eléctricas I:

Presentaciones similares

Presentación del tema: "Máquinas Eléctricas I:"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback

Iniciar la sesión

Autorizarse a través de una red social:

Máquinas Eléctricas I:

Presentaciones similares

Presentación del tema: "Máquinas Eléctricas I:"— Transcripción de la presentación:

Presentaciones similares

Sobre el proyecto

Feedback