CI51J HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS Y SU APROVECHAMIENTO

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1 CI51J HIDRAULICA DE AGUAS SUBTERRANEAS Y SU APROVECHAMIENTO
TEMA 5 ECUACIONES GENERALES DE LA HIDRAULICA EN MEDIOS POROSOS MODELOS NUMERICOS UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

2 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

3 ¿QUÉ ES UN MODELO NUMÉRICO?
Modelo es un herramienta diseñada para representar una versión simplificada de la realidad. Modelo Numérico está compuesto de: Modelo matemático (simplificado) Condiciones de borde e iniciales Esquema de discretización (MDF o MEF) Malla o grilla de discretización

4 ¿QUE ES UN MODELO NUMERICO DE AGUA SUBTERRANEA?
ANALITICO MATEMATICO CUASI ANALITICO NUMERICO

5 VALIDACION DEL CODIGO NUMERICO
ECUACIONES DIFERENCIALES MODELO MATEMATICO ECUACIONES ALGEBRAICAS MODELO DISCRETO MEF o MDF SOLUCION ANALITICA SOLUCION APROXIMADA OBSERVACIONES DE TERRENO VALIDACION DEL CODIGO NUMERICO

6 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

7 MODELO CONCEPTUAL

8 MALLA DIFERENCIAS FINITAS
CENTRADA EN ELEMENTO

9 MALLA DIFERENCIAS FINITAS
CON NODO EN VERTICE

10 MALLA ELEMENTOS FINITOS
TRIANGULARES

11 EF DF

12 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

13 R(x) H1 h(x) H2 T, S b x=0 x=L

14 02/07/2018 Utilizando la ley de Darcy podemos desarrollar la ecuación de balance de masas en 1D para escribir: En el caso de incorporar una recarga sobre la parte superior del suelo se tiene la siguiente ecuación: Si consideramos ahora una situación de régimen permanente se puede escribir: CURSO REGIONAL DE CAPACITACION EN MODELACION DE AGUAS SUBTERRANEAS

15 PROBLEMA TIPO CONDICIONES DE BORDE

16 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

17 PROBLEMA TIPO CONDICIONES DE BORDE

18 Si consideramos que la conductividad hidráulica, KX, el espesor del acuífero, b, y la recarga, R, son constantes en el espacio: Lo que se puede escribir con diferenciales totales como: Integrando una vez se tiene:

19 Reordenando se tiene: Lo que se puede integrar nuevamente para obtener: Incorporando las condiciones de borde:

20 Resolviendo para c1 y c2 se tiene:
Finalmente podemos reemplazar las constantes para obtener:

21 H1 h(x) H2 T, S b x=0 x=L

22 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

23 PROBLEMA TIPO CONDICIONES DE BORDE

24 R(x) H1 h(x) H2 b T, S x=0 x=L hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

25 Aproximación hacia adelante Aproximación hacia atrás
hi i-1 i+1 Aproximación hacia adelante Aproximación hacia atrás Aproximación central

26 i hi i-1 i+1

27 PROBLEMA TIPO i hi i-1 i+1

28 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

29 DIRICHLET Condición de borde de primer tipo. Corresponde al valor de la variable de estado que es conocida en algún sector de la zona modelada. Esto se traduce como nudos de la malla con información conocida.

30 R(x) H1 h(x) H2 b T, S x=0 x=L

31 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

32 H1 h(x) H2 b T, S x=0 x=L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

33 PROBLEMA TIPO hi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

34 MODELO NUMERICO Existen dos formas de resolver este problema (es decir determinar el valor de hi para i desde 1 hasta 11). ENFOQUE DIRECTO Construir un sistema de ecuaciones utilizando la aproximación escrita anteriormente. ENFOQUE INDIRECTO O ITERATIVO Utilizar la aproximación anterior para desarrollar un esquema de cálculo iterativo.

35 ENFOQUE DIRECTO: Para nudos 2 al 10 se tiene: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

36 ENFOQUE DIRECTO: Para nudos 1 y 11 se tiene: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

37 ENFOQUE DIRECTO: Al combinar los N nudos y escribir el problema en términos o forma matricial se tendrá un sistema del tipo: Si se invierte la matriz A se obtiene una solución para la variable de estado h:

38 ENFOQUE DIRECTO: Al combinar todas las ecuaciones se tiene:
Al resolver se obtiene una solución para {h}.

39 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

40 ENFOQUE INDIRECTO O ITERATIVO:
Se toma la expresión general para generar un algoritmo de convergencia. i-1 i i+1

41 ENFOQUE INDIRECTO O ITERATIVO:
JACOBI GAUSS-SEIDEL m m+1 i-1 i i+1

42 ENFOQUE INDIRECTO O ITERATIVO:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 m

43 MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO
INTRODUCCION MALLA O GRILLA DE DISCRETIZACION DERIVACION PROBLEMA TIPO SOLUCION ANALITICA SOLUCION NUMERICA IMPLEMENTACION CONDICIONES DE BORDE METODOS DE SOLUCION DIRECTO INDIRECTO O ITERATIVO EJEMPLO

44 R H1 h(x) H2 b T x=0 x=L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

45 NUDOS 2 A 10 JACOBI GAUSS- SEIDEL NUDOS 1 Y 11

46 R = 0.1 m/día T = 50 m2/día L = 100 m h0 = 20 m

47 R = 0.1 m/día T = 50 m2/día L = 100 m h0 = 20 m