Dr. Felipe Orihuela-Espina

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Conjuntos Dr. Felipe Orihuela-Espina

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Temario Diagramas de Venn Operaciones de conjunto Leyes de teoría de conjunto Producto Cartesiano Conjunto Potencia Conjuntos infinitos Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos, A menudo la definición de conjunto es una de las dos definiciones ex-nihilo que se requieren en la matemática moderna (la otra sería la introducción a las categorías). Desde Cantor y los subsiguientes trabajos de Dedekind, toda la matemática moderna como la conoces a día de hoy se ha redefinido en términos de conjuntos. Esto incluye la definición de los conjuntos de números mismos, como los naturales, reales, etc Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor Ruso-Alemán, Padre de la teoría de conjuntos “A set is a Many that allows itself to be thought of as a One.” “Del paraíso que Cantor creó para nosotros, nadie podrá expulsarnos” [D. Hilbert] Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjuntos Conjunto: Colección finita o infinita de objetos en el que el orden, no tiene importancia. Se llama cardinalidad del conjunto, y se denota #A al número de elementos que forman el conjunto. Subconjunto: Una porción (B) de un conjunto (A). Cada elemento de B pertenece a A, y se denota B⊂A. C A B * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [ Dr. Felipe Orihuela Espina

Teoría de conjuntos Los axiomas de Zermelo-Fraenkel son considerados como el fundamento matemático más primordial a día de hoy*. Todo lo demás (puede y) se deriva de ellos. Son un conjunto de axiomas que definen: Cuando 2 conjuntos son iguales El conjunto vacío Cómo definir nuevos conjuntos, Cómo indexar un conjunto i.e. cómo elegir un elemento de un conjunto Cómo construir el conjunto potencia de un conjunto, La existencia de conjuntos infinitos Cómo hacer reemplazos i.e. cómo despejar fórmulas *La definición formal de estos axiomas los puedes encontrar fácilmente en libros dedicados a teoría de conjuntos. Existen varias formulaciones alternativas equivalentes, pero para un vistazo rápido puedes consultarlos en Wolfram World of Maths: [ Dr. Felipe Orihuela Espina

Diagramas de Venn Dr. Felipe Orihuela Espina

Universo Universo (S): A.k.a. conjunto universal, espacio de muestra (principalmente en probabilidad), población (princ. en estadística) Listado exhaustivo de todas las posibles entidades (desenlaces) a considerar en una situación (experimento). Cada posible desenlace está representado por uno y sólo un punto en el espacio de muestra. Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Lanzar una moneda S={anverso, reverso} S={cara, cruz} S={águila, sol} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Lanzar un dado S={1,2,3,4,5,6} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Lanzar dos dados S={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Escoger una carta S={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR, B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,BZ,BC,BR, E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,EZ,EC,ER, C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,CZ,CC,CR} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Edad de una persona en años Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Altura de una persona Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Universo (S): Ejemplo: Bases nitrogenadas (nucleótidos) SADN={A,G,C,T} SARN={A,G,C,U} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Espacio de muestra (S): Ejemplo: Codones S={UUU,UUC, …,GGG} S={{A,G,C,U}3} Dr. Felipe Orihuela Espina

Espacio de muestra Espacio de muestra (S): Ejemplo: Código genético ADN SADN={{A,G,C,T}n} Dr. Felipe Orihuela Espina

Diagrama de Venn: Representación gráfica
El diagrama de Venn es la representación gráfica de relaciones entre conjuntos finitos; sobre el universo. El área del conjuntos es proporcional al número de elementos que contiene. S A Dr. Felipe Orihuela Espina

Operaciones de CONJUNTO
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Contenido en Se dice que un evento A está contenido en otro B, si A es un subconjunto de B. A⊂B Implicaciones: Si ocurre A, entonces ocurre B Si ocurre B, no tiene por que ocurrir A S B A Dr. Felipe Orihuela Espina

Contenido en Contenido en (A,B): Ejemplo: Lanzar un dado x=2: A={2} x=Par: B={2,4,6} A⊂B Dr. Felipe Orihuela Espina

Contenido en Contenido en (A,B): Ejemplo: Edad de una persona en años x=3ª edad: A={x65, xN+} x=votante: B={x18, xN+} x=reservista: C={x18 ⋀ x<45, xN+} A⊂B; C⊂B; A⊄C Dr. Felipe Orihuela Espina

Contenido en Sean A, B y C eventos. Entonces: Todos son subconjuntos del espacio de muestra S; ergo A⊆S; B⊆S; C⊆S Si A⊂B y B⊂A, entonces A=B Si A⊂B y B⊂C, entonces A⊂C Todos los eventos contienen al conjunto vacio; o sea ⊆A; ⊆B; ⊆C Dr. Felipe Orihuela Espina

Negación o Complemento
Se dice que un evento es el complemento de otro evento A, si contiene todos los elementos del espacio de muestra S que no pertencen a A, y se denota Ac. Implicaciones: Ac es el evento de que no ocurra A. Si ocurre A, entonces no ocurre Ac. Si ocurre Ac entonces no ocurre A S A Ac Dr. Felipe Orihuela Espina

Complemento Complemento (A,Ac): Ejemplo: Lanzar una moneda Aguila/Cara: A={anverso} Sol/Cruz: B={reverso} A=Bc; Ac=B Dr. Felipe Orihuela Espina

Complemento Complemento (A,Ac): Ejemplo: Lanzar un dado x=2: A={2} x=Par: B={2,4,6} x=Impar: C={1,3,5} B=Cc; Bc=C Ac={1,3,4,5,6} Dr. Felipe Orihuela Espina

Complemento Complemento (A,Ac): Ejemplo: Edad de una persona en años x=3ª edad: A={x≥65, xN+} x=votante: B={x≥18, xN+} x=reservista: C={x≥18 ⋀ x<45, xN+} Ac={x<65, xN+}; Bc={x<18, xN+}; Cc={x<18 ∨ x≥45, xN+} Dr. Felipe Orihuela Espina

Contenido en Sea A un evento y Ac su complemento. Entonces: Ac es un evento (Ac⊂S) (Ac)c=A c=S y Sc= Corolario:  es un evento Dr. Felipe Orihuela Espina

Eventos Ejercicio: ¿Es esto contradictorio? “Not every set of possible outcomes will be called an event” [DeGroot, 2012, Sect. 1.3] “Formally, any subset of the sample space is an event.” [Glosario de estadística de la Univ. de Glasgow] Solución: No es contradictorio. Formalmente, efectivamente cada subconjunto del espacio de muestra es un evento. En espacios finitos pequeños, cada conjunto de desenlaces posibles es un evento. Pero cuando el espacio de muestra es muy grande o infinito (incontable), sólo una porción limitada de los conjuntos de desenlace tienen interés para “asignar” una probabilidad, y por tanto la teoría de la probabilidad no se extiende a todos ellos. Para una respuesta más detallada ver [De Groot, 2012, Cap 1]. Dr. Felipe Orihuela Espina

Operaciones de conjuntos: Unión o conjunción
La unión o conjunción de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a todos los desenlaces que pertenecen sólo a A, sólo a B, o a ambos A y B. A⋃B Implicaciones: No exclusividad. Los elementos que pertenecen a A y a B son parte de A⋃B Si ocurre A entonces ocurre A⋃B Si ocurre B entonces ocurre A⋃B S A⋃B B A Dr. Felipe Orihuela Espina

Unión o conjunción (A⋃B): Ejemplo: Lanzar dos dados A B C x=3: A={(1,2),(2,1)} x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)} x=6: C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} A⋃B={(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)}; B⋃C={(1,3),(2,2),(3,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}; A⋃C={(1,2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}; Dr. Felipe Orihuela Espina

Sea A y B dos eventos. Entonces: Conmutativa: A⋃B = B⋃A A⋃A = A A⋃ = A A⋃S = S A⋃Ac = S A⋃B= ⇔ A= ∧ B= Dr. Felipe Orihuela Espina

La unión de eventos (conjuntos) se puede extender a más de dos Implicaciones: Pueden ser infinitos conjuntos S A4 A2 A3 ∪A A1 Dr. Felipe Orihuela Espina

Unión o conjunción (A⋃B): Ejemplo: Lanzar dos dados A B C x=3: A={(1,2),(2,1)} x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)} x=6: C={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} A⋃B⋃C ={(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}; Dr. Felipe Orihuela Espina

Sean A, B y C eventos. Entonces: Asociativa: A⋃B⋃C = (A⋃B)⋃C = A⋃(B⋃C) A = { , } B = { , , } C= { , } A⋃B⋃C ={ , , , , , , } (A⋃B)⋃C ={ , , , , , , } A⋃(B⋃C) ={ , , , , , , } A⋃B={ , , , , } B⋃C={ , , , , } Dr. Felipe Orihuela Espina

Operaciones de conjuntos: Intersección
La intersección de dos eventos (conjuntos) es el evento que incluye a aquellos desenlaces que pertenecen a ambos A y B. A⋂B Implicaciones: Si ocurre A⋂B entonces ocurren A y B S B A⋂B A Dr. Felipe Orihuela Espina

Intersección (A⋂B): Ejemplo: Lanzar dos dados A C B x=3: A={(1,2),(2,1)} x=4: B={(1,3),(2,2),(3,1)} x=1er dado sacó 2: C={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} A⋂B= ∅; B⋂C={(2,2)}; A⋂C={(2,1)}; Dr. Felipe Orihuela Espina

Intersección (A⋂B): Ejemplo: Escoger una carta x=Figuras: A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR} x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR} x=Ases: C={O1,B1,E1,C1} A⋂B={OZ,OC,OR} B⋂C={O1} A⋂C=∅ Dr. Felipe Orihuela Espina

Sean A y B dos eventos. Entonces: Conmutativa: A⋂B = B⋂A A⋂A = A A⋂ =  A⋂S = A A⋂Ac = Si A⊂B ⇒ A⋂B = A Dr. Felipe Orihuela Espina

La intersección de eventos (conjuntos) se puede extender a más de dos Implicaciones: Pueden ser infinitos conjuntos S A4 A2 A2⋂A3 A3⋂A4 A1⋂A2⋂A3 A3 A1⋂A3 A1 Dr. Felipe Orihuela Espina

Sean A, B y C eventos. Entonces: Asociativa: A⋂B⋂C = (A⋂B)⋂C = A⋂(B⋂C) A = { , } B = { , , } C= { , , } A⋂B⋂C ={ }; (A⋂B)⋂C ={ }; A⋂(B⋂C)={ } A⋂B={ } B⋂C={ , } Dr. Felipe Orihuela Espina

Operaciones de conjuntos: Disyunción o exclusión mutua
Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes si no contienen desenlaces comunes; es decir, si su intersección es el conjunto vacio A⋂B= Implicaciones: Si ocurre A, entonces no ocurre B Si ocurre B, entonces no ocurre A Observa que la operación es disyunción pero los conjuntos son disjuntos S B A Dr. Felipe Orihuela Espina

La disyunción de eventos (conjuntos) se puede extender a más de dos; pero ¡ojo! su definición es por pares: Los eventos A1, …, An son disjuntos (por pares) o mutuamente excluyentes si para cada par i, j (i≠j) Ai⋂Aj=∅ Implicaciones: Si una colección de eventos es disjunta por pares, su intersección es vacía S A2 A4 A3 A1 Dr. Felipe Orihuela Espina

Pero ¡ojo! No por que la intersección sea vacía, …los conjuntos son disjuntos (por pares) Algunos pares pueden tener su intersección no vacía S A2 A4 A3 A1 Dr. Felipe Orihuela Espina

Disyunción (A,B,…): Ejemplo: Escoger una carta x=Figuras: A={OZ,OC,OR,BZ,BC,BR,EZ,EC,ER,CZ,CC,CR} x=Oros: B={O1,O2,O3,O4,O5,O6,O7,OZ,OC,OR} x=Ases: C={O1,B1,E1,C1} A⋂B={OZ,OC,OR} B⋂C={O1} A⋂C=∅ Figuras y Oros no son disjuntos Oros y Ases no son disjuntos Figuras y Ases son disjuntos Figuras, Oros y Ases no son disjuntos Dr. Felipe Orihuela Espina

Disyunción (A,B,…): Ejemplo: Amoniácidos Leucina: A={UUA,UUG,CUU,CUC,CUA,CUG} Metionina: B={AUG} Valina: C={GUU,GUC,GUA,GUG} Leucina ∩ Metionina= Leucina ∩ Valina= Metionina ∩ Valina= Leucina, Metionina y Valina son mutuamente excluyentes Dr. Felipe Orihuela Espina

Operaciones de conjunto
Ejercicio: Sean los conjuntos S={0,...,40} A={2, 3, 5, 6, 14, 28, 32} B={0, 1, 3, 5, 16, 17, 21, 28, 30, 31, 32, 33} C={1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 24, 28} Encuentre: a) A∩B, b) B⋃C, c) A⋃(B⋂C), d) Bc⋂C Solución: A∩B={3,5,28,32} B⋃C={0,1,2,3,4,5,8,9,10,16,17,18,21,24,28,30,31,32,33} (B⋂C)={1,5,16,28} A⋃(B⋂C)={1,2,3,5,6,14,16,28,32} Bc={2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,18,19,20,22,23,24,25,26,27,29,34,35,36, 37,38,39,40} Bc⋂C={2,4,8,9,10,18,24} Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Sean los conjuntos A, B y C de la figura. Encuentre fórmulas que definan cada uno de los 8 eventos disjuntos indicados [DeGroot, 2012, Ch1] S B A 4 5 6 Pista: Piensa en binario 1 2 3 C 7 8 Solución: 1: {A ∩ B ∩ C} 2: {A ∩ Bc ∩ C} 3: {Ac ∩ B ∩ C} 4: {A ∩ B ∩ Cc} 5: {A ∩ Bc ∩ Cc} 6: {Ac ∩ B ∩ Cc} 7: {Ac ∩ Bc ∩ C} 8: {Ac ∩ Bc ∩ Cc} Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Dados los tres colores primarios R, G, y B, Enumere el espacio de búsqueda de una imagen de 3 pixeles, si cada pixel sólo puede tomar un color cada vez. Solución: S={RRR,RRG,RRB, RGR, RGG,RGB, RBR,RBG,RBB, GRR,GRG,GRB, GGR, GGG,GGB, GBR,GBG,GBB, BRR,BRG,BRB, BGR, BGG,BGB, BBR,BBG,BBB} Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Demostrar la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección: A⋃(B⋂C) = (A⋃B) ⋂ (A⋃C) Pista: Idea intuitiva S S S A A B B A B C C C A (B⋂C) A⋃(B⋂C) S S S A A B B A B C C C (A⋃B) (A⋃C) (A⋃B) ⋂ (A⋃C) Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Solución Demostración de la igualdad de izquierda a derecha: Sea x un desenlace en A⋃(B⋂C), entonces x está contenido en A o contenido en la intersección entre B y C. Si x está contenido en A; entonces, también está contenido en la unión de A con B. Así mismo, x también está contenido en la unión de A con C. Por tanto, x está contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A con C. Si x está contenido en la intersección entre B y C; entonces x está contenido en B y x está contenido en C. Ya que x está contenido en B, también está contenido en la unión de A con B. Así mismo, x está contenido en la unión de A con C. Por tanto, x está contenido en la intersección de la unión de A con B y la unión de A con C. Esto prueba que A⋃(B⋂C) ⊂ (A⋃B) ⋂ (A⋃C) Pero esto, no es la igualdad; falta la demostración de derecha a izquierda. Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Solución (cont.) Demostración de derecha a izquierda: Sea x un desenlace en (A⋃B) ⋂ (A⋃C). Entonces x está contenido en la unión de A y B, así como en la unión de A y C. Al estar contenido en la unión de A y B, x está contenido o bien en A, o bien en B (o en ambos). Si está en A, entonces está en la unión de A con (B⋂C). Si está en B y no en A, como pertenece a la intersección (A⋃B) ⋂ (A⋃C), pero no está en A, eso significa ¡que tiene que estar en C!, y por ende, como está en B y C, entonces está en la intersección de B y C. Esto prueba que (A⋃B) ⋂ (A⋃C) ⊂ A⋃(B⋂C) Entre la demostración de izquierda a derecha y la de derecha a izquierda queda demostrada la igualdad, c.q.d. Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Demostrar la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección, y de la intersección sobre la unión: A⋂(B⋃C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C) Solución: La solución es análoga a la demostración de la propiedad distributiva de la unión sobre la intersección. Se deja como ejercicio. Dr. Felipe Orihuela Espina

Leyes de teoría de CONJUNTO
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Leyes de teoría de conjuntos
Idempotencia: X∪X=X X∩X=X Conmutativa: X∪Y=Y∪X X∩Y=Y∩X Asociativa: (X∪Y)∪Z= X∪(Y∪Z) (X∩Y)∩Z=X∩(Y∩Z) Dr. Felipe Orihuela Espina

Distributiva: X∪(Y∩Z)= (X∪Y)∩(X∪Z) X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X ∩ Z) Identidad: X∪∅=X X∩S=X Dominación: X∪S=S X∩∅=∅ Dr. Felipe Orihuela Espina

Complemento: X∪Xc=S X=(Xc)c X∩Xc=∅ De Morgan: (X∪Y)c=Xc∩Yc (X∩Y)c=Xc∪Yc S-(X∪Y)= (U-X)∩(U-Y) S-(X∩Y)= (U-X)∪(U-Y) Figura de: [ Aquí también puedes encontrar las demonstraciones de las dos últimas propiedades de Morgan. Dr. Felipe Orihuela Espina

Ejercicio: Demostrar las propiedades de dominación: a) X∩∅=∅ b) X∪S=S Solución: X∩∅ = (X∩∅)∪∅ X∪S = (X∪S)∩S = (X∩∅)∪(X∩Xc) =(X∪S)∩(X∪Xc) = X∩(∅∪Xc) =X∪(S∩Xc) = X∩Xc =X∪Xc = ∅ =S Dr. Felipe Orihuela Espina

Producto CARTESIANO Dr. Felipe Orihuela Espina

Producto cartesiano Producto cartesiano: El producto cartesiano de A y B es el conjunto A×B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y b un elemento de B, o sea: Dr. Felipe Orihuela Espina

Producto cartesiano Producto cartesiano: Ejemplo: Figura de: [ Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjunto POTENCIA Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjunto potencia Conjunto potencia (sobre Ω): El conjunto potencia es el conjunto Σ de todos los subconjuntos de Ω. * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [ Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjunto potencia Conjunto potencia: Ejemplo: Figura de: [commons.wikimedia.org] Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjunto potencia Conjunto potencia: Ejemplo: Figura de: [ Dr. Felipe Orihuela Espina

CONJUNTOS INFINITOS Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjunto finito Un conjunto finito tiene un número integral no negativo finito de elementos …en otras palabras: Sea S={x1, …, xn} S es un conjunto finito si existe una relación biyectiva tal que f:S→ {1, …, n} Al número de elementos n se le conoce como la cardinalidad de un conjunto. Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjuntos infinitos Un conjunto finito es aquel que no es finito. A su vez puede ser: Contable: Si existe un mapeo a los números naturales Incontable: Si no existe un mapeo a los números enteros. Su cardinalidad es mayor que la de los números naturales. Dr. Felipe Orihuela Espina

Conjuntos infinitos Números transfinitos: Los números transfinitos representan las cardinalidades de conjuntos infinitos, y se denota por la letra hebrea  (Alef). 0 es el cardinal del conjunto de los naturales N 0 es el primer número transfinito. A veces lo verás denotado como . 1 es el el menor cardinal mayor que el cardinal del conjunto de los números naturales. ☞ Por supuesto hay otros números transfinitos, e.g. 2=21, pero no los veremos aquí. Dr. Felipe Orihuela Espina

Definiciones iniciales
Un conjunto contable es aquel cuya cardinalidad es igual a la de (un subconjunto de) los números naturales. …en otras palabras es enumerable …observa que puede ser finito o infinito En caso de ser infinito su cardinalidad es 0. ☞ NOTA: Observa que si es finito, entonces seguro es contable, pero si es infinito no es seguro. Ejemplo: Los enteros ℤ son contables. Dr. Felipe Orihuela Espina

Definiciones iniciales
Un conjunto incontable o no contable es aquel que no es contable. Su cardinalidad es mayor a la de los números naturales i.e. mayor que 0, pero no necesariamente 1. Ejemplo: Los reales ℝ son incontables. ☞ NOTA: Uno de los grandes problemas en teoría de números es demostrar la cardinalidad de los números reales. Dr. Felipe Orihuela Espina

Gracias, ¿preguntas? Dr. Felipe Orihuela Espina

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