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Upgrading Cubic A-spline scheme
Sofía Behar Jequín Wilfredo Morales Lezca Jorge Estrada Sarlabous Javier Moreno Alemán Facultad de Matemática y Computación, UH ICIMAF El titulo del trabajo es el que aquí se muestra Es un trabajo conjunto a tesis en opción al grado de maestro en ciencias matemáticas Tutoreado por el Dr. Jorge Estrada Sarlabous y la Dra. Sofía Behar Jequín Para comenzar diremos que: Presentaremos un esquema A-spline cúbico (desarrollado por nuestro grupo) cuyas buenas propiedades Cuales son los antecedentes directos de nuestro trabajo? Estos se hallan en trabajos previos del grupo de investigación aporta un conjunto de algoritmos que permiten dar solución de manera eficiente e intuitiva a un grupo de Problemas del CAGD
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A-spline El A-spline A es una secuencia de secciones Ai ε-controlable.
Cada sección Ai es la solución de una ecuación definida por un polinomio de grado 3 en la forma de Bernstein-Bezier Nuestra solucion sera una curva definida por pedazos donde localmente cada pedazo es una curva cubica definida implicitamente. Cada una de estas secciones sera conv., conexa, no singular y epsilon controlable en la region de interes cuales son estas buenas propiedades o bondades Cada sección Ai es convexa, conexa, no singular y ε-controlable. 2
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Ventajas Interpolación de puntos con vectores tangentes y valores de curvatura prescritos, sin imponer restricciones como las que aparecen en trabajos anteriores ( (Baj01), (Meek03), etc.) En primer lugar, el hecho de que todas las secciones que conforman el A-spline tienen una expresion semejante, en la que son de especial importancia los parametros delta i (parametro libre que controla la geometria de la seccion) y kappa i )que responden a los valores de curvatura en los extremos de la seccion). Todos estos parametros estan estrechamente vinculados con los coeficientes de la curva asociada a esta seccion Ahora bien, cuales son estas buenas propiedades o bondades?.... Configuración Parametro libre Control local Solución y graficación Sin embargo quedó pendeinte
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Ventajas Cada sección del A-spline cuenta con un parámetro libre empleado para interpolar un punto adicional o para controlar la distancia de la sección del A-spline al segmento que une sus puntos extremos. En primer lugar, el hecho de que todas las secciones que conforman el A-spline tienen una expresion semejante, en la que son de especial importancia los parametros delta i (parametro libre que controla la geometria de la seccion) y kappa i )que responden a los valores de curvatura en los extremos de la seccion). Todos estos parametros estan estrechamente vinculados con los coeficientes de la curva asociada a esta seccion Ahora bien, cuales son estas buenas propiedades o bondades?.... Configuración Parametro libre Control local Solución y graficación Sin embargo quedó pendeinte
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Ventajas Control local del cálculo de los parámetros que determinan cada sección del A-spline lo que aporta una gran flexibilidad para cambiar los datos de entrada y, consecuentemente, actualizar la curva A-spline . En primer lugar, el hecho de que todas las secciones que conforman el A-spline tienen una expresion semejante, en la que son de especial importancia los parametros delta i (parametro libre que controla la geometria de la seccion) y kappa i )que responden a los valores de curvatura en los extremos de la seccion). Todos estos parametros estan estrechamente vinculados con los coeficientes de la curva asociada a esta seccion Ahora bien, cuales son estas buenas propiedades o bondades?.... Configuración Parametro libre Control local Solución y graficación Sin embargo quedó pendeinte FLEXIBILIDAD PARA EL DISEÑO INTERACTIVO CON CURVAS A-SPLINES SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Y GRAFICACIÓN DE LA CURVA A- SPLINE SECUENCIALMENTE EN TIEMPO REAL.
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Cambiando la posición de un punto de interpolación:
Control local Cambiando la posición de un punto de interpolación:
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Cambiando el vector tangente asociado a un punto de interpolación:
Control local Cambiando el vector tangente asociado a un punto de interpolación:
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Control local Variación de la distancia entre la curva en el interior de la sección del A-spline y el eje que une los dos nodos:
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Modificando la simetría de una sección:
Control local Modificando la simetría de una sección:
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Resultados recientes Elaboración de algoritmos apropiados para el ploteo de curvaturas de las curvas A-spline. Cálculo de las curvas d-offset asociadas al A-spline. Sin embargo quedó pendeinte Que son d-offset y para que sirve: curvas acompañantes que tienen la misma estructura que la curva A-spline pero se encuentran a una distancia d de esta…utilidad en la industria electronica para el diseño de las calles de los circuitos Que es ploteo de curvatura: comportamiento de la curvatura contra la longitud de arco…para evitar oscilaciones indeseadas Que son fair y para que sirve Fair si su ploteo de curvatura es continuo y consiste solo de unos pedazos monotonos, las reigones monotonas estan separadas por puntos de curvatura extrema (deben ser pocas) y solo debe aparecer donde lo desee el diseñador… Se recoge en la literatua que una curva fair es la que mejor ajusta los datos de un problema dado Estudio del “fairness”.
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Invarianza Teorema La relación de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triángulo es invariante al cambio de coordenadas baricéntricas uv (respecto al triángulo) a coordenadas reales xy y viceversa. Dada una curva cúbica y un punto sobre la curva, expresados ambos en coordenadas baricéntricas, la recta tangente a la curva en el punto en este sistema de coordenadas tiene como imagen la recta tangente a la curva en el punto, expresados ahora ambos en coordenadas reales. Ahora…para ello hubo necesidad antes de demostrar un resultado muy importante realtivo a la invarianza respecto a cambios de coordenadas (baricentrica a reales y viceversa) de la relacion de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triangulo asi como de la relacion de tangencia entre una curva y una recta en un punto dado y sus imagenes en las otras coordenadas … Es curioso que este resultado, si bien es sencillo, no aparecía reportado en la literatura lo que podria deberse al hecho de que que parece antinatural ya que el cambio de estas coordenadas: no conserva ángulos, ni longitudes, ni áreas la relación de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triangulo se mantienen invariantes al cambio de coordenadas de reales a baricéntricas así como la relación de tangencia entre una rescata y la curva en un punto dado Se observa una salida del CAGD Enviroment….desarrollado
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Generación jerárquica de puntos
Inserción de un nuevo punto entre dos puntos consecutivos Veamos ahora en detalle el subproblema 1 Que se tiene? Dos puntos que constituyen los extremos de la seccion A- spline Que deseamos hallar? Un punto intermedio sobre la seccion Que peculiaridades o caracteristicas tiene el punto que se desea hallar? Es el mas alejado del segmento que une los extremos de la seccion, tiene su vector tangente paralelo a dicho segmento, constituye de hecho, un extremo de la seccion Que satisface entonces? Que resulta de la interseccion de la seccion spline con la derivada parcial respecto a u de dicha seccion, las expresiones de ambas curvas son las que aqui se muestran Como buscaremos este punto? Porqué se busca el punto de ese modo Dados dos puntos iniciales con sus vectores tagentes Se busca el punto más alejado
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Generación jerárquica de puntos
Inserción de un nuevo punto entre dos puntos consecutivos Explicar bien el proceso usando el grafico convenientemente Blossom: es una generalización del algoritmo de Casteljau y por tanto se trata de hacer recursivamente interpolaciones lineales, asi que es poco costoso y numéricamente robusto Porque se usa quadtree por que no se acota vertical u horizontalmente porque quadtree razon un medio
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Generación jerárquica de puntos
Proposición Las buenas propiedades demostradas que presenta nuestra curva Convexa, conexa y no singular : nos permiten afirmar que el punto que buscamos existe y es unico, y que se encuentra en la unión de todos los triángulos que pasan el test, por la forma en la que se realiza el método no se cae en ciclo sin salida y nos permite asegurar que el error que se comete
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Generación jerárquica de puntos
Aquí se muestra la Generación jerárquica de puntos sobre una sección del A-spline, nótese como con sólo generar una pequeña cantidad de puntos, muchísimo menor que la que precisa por ejemplo el blossom, ya la graficación de la curva usando este método es muy buena
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Generación jerárquica de puntos
Generación sobre secciones vecinas Nótese la suavidad
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Generación jerárquica de puntos
Blossom Jerárquico Comparacion entre el numero de triangulos visitados o explorados por Blossom y Jerarquico para la graficacion de la curva, haciendo enfasis en la calidad de la graficacion de jerarquico, exactamente igual a blossom, en muchos menos pasos y mucho menos costosa Generacion de triángulos dentro de una sección Blossom permite, dado los coeficientes de la curva rescribir esta en funcion de las coordenadas baricentricas de cierto triangulo es poco costoso porque lo que utiliza es una generalizacion de casteljau y interpolaciones lineales recursvas Triángulos Puntos Triángulos Puntos
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Generación jerárquica de puntos
BLOSSOM JERÁRQUICO Caso Triángulos Puntos 1 10335 5179 668 31 2 5134 2586 946 62 3 23587 11834 2097 124 4 15468 7767 1697 93 Compración para varias salidas del software
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Curva d-offset Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. } } Coordenandas reales de los puntos
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Curvatura Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto. Por que no calcular directamente en coordenadas reales Expresión compleja por tanto con cálculos muy costosos Vamos a heredar un resultado anterior y acondicionarlo a nuestros propósitos, notese no solo la menor complejidad de la expresion sino su belleza en terminos del sentido geometrico imperante en ella al depender del area del triangulo en cuestion, de la longitud de uno de los segmentos y determinados coeficientes de la curva.
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A-spline Fair? [Lev09] Interpolating Splines: Which is the fairest of them all? Raph Levien and Carlo H. Séquin Extensionalidad (al adicionar puntos intermedios, la forma de la curva no cambia) Redondez (reproducción de arcos de círculos) Curvatura monótona Grado alto de continuidad Ya hemos hecho una propuesta para el ajuste de datos y sabemos que es eficiente, ahora bien, ¿Será óptima esta propuesta?, estudiando…investigando en la literatura encontramos que existen numerosas propuestas para definir la que mejor ajuste, Fair es la que minimiza un cierto funcional de energia que depende del valor de la curvatura y la longitud de arco, en particular existe un consenso en que es la mejor para el ajuste y en que las siguientes [Lev09] propiedades son las que que debe cumplir una curva para que sea Fair Extensionalidad: Control local y no aparecen inflexiones indeseadas Redondez: dados los puntos sobre una circunferencia, nuestra propuesta recupera exactamente la la circunferencia Respecto a la tercera sabemos que no esta garantizada pero se puede estudiar cómo usar el parámetro delta para minimizar las oscilaciones o las discrepancias de lo que le falta a nuestra curva para ser fair….en este sentido
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𝑘 𝑗+1 + 𝑘 𝑗 2 2 𝑙 𝑗+1 − 𝑙 𝑗 = 𝑘 𝑗+1 + 𝑘 𝑗 2 2 ∆𝑙
A-spline Fair? En este sentido nuestro algoritmo de generación jerárquica permite sin mucho costo calcular una buena aproximación de la energía elástica 𝑘 2 𝑠 𝑑𝑠 . Una buena aproximación sería 𝑘 𝑗+1 + 𝑘 𝑗 𝑙 𝑗+1 − 𝑙 𝑗 = 𝑘 𝑗+1 + 𝑘 𝑗 ∆𝑙 ≈ 𝑘 2 𝑑𝑠 =b(δ) En este sentido nuestro esquema logra que el mismo algoritmo que hace la generación jerárquica de los puntos y reutiliza esto para el cálculo de curvaturas permita, sin mucho costo adicional, permite calcular buenas aproximaciones de la energía elástica [Baj98] (en idioma Inglés bending energy) Como se calcula el funcional de energía como escoger parametros para minimizar el funcional
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Aplicaciones: Diseño libre de curvas
A-spline Default : primera aproximación a la curva deseada Las secciones que conforman el A-spline default pueden ser modificadas interactivamente Los grados de libertad disponibles proveen al diseñador de un control muy intuitivo y directo de la geometría de cada sección. .
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Aplicaciones: Ajuste del contorno de una imagen digitalizada
Tomandocomo base lo realizadoanteriormente en Her02 que se haceparaconicas a los sumo G1 continuo por lo tantonuestrapropuestaesunageneralizacion de este FITTING A CONIC A-SPLINE TO CONTOUR IMAGE DATA V. Hernández Mederos, D. Martínez Morera y J. Estrada Sarlabous Formulación del problema Los datos originales de nuestro problema representan una imagen digital, es decir, tenemos una matriz I en la que el valor de 𝐼 en un píxel es el nivel de gris correspondiente. Esta imagen se convierte en una imagen binaria por umbralización. Varias técnicas clásicas (segmentación, dilatación condicional, erosión) de procesamiento de imágenes [Gon92], [Sah88], [Dou92], se utilizan para mejorar la calidad de la imagen con el fin de obtener un conjunto de puntos que describen su contorno. al presentar la aplicacion al suavizamiento de contornos de imagenes digitalizadas, presentar formalmente en que consiste el problema (se pueden apoyar en el articulo de Victoria+Dimas) y hacer referencia explicita de este articulo, diciendo que lo que ahora hacemos es extender su metodologia de A-splinesconicos (G1-continuos) a A-splinescubicos (G2-continuos), lo que implica cambiar algunas cosas y proponer nuevas, como por ejemplo estimar curvaturas y como ajustar los nuevos parametros de control local a nuestro esquema A-spline cubico
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Aplicaciones: Diseño de trayectorias
con restricciones Situaciones típicas en que aparecen este tipo de problemas de interpolación con restricciones: Diseño de trayectorias suaves de robot que eviten chocar con esquinas u objetos poligonales Diseño de curvas en el interior de regiones planas cuya frontera está descrita por poligonales.
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Problemas actuales: Problema 1: Estudiar cómo variar los parámetros del A-spline cúbico de forma que, interpolando dos puntos consecutivos del polígono de control, sus vectores tangentes y valores de curvatura, se pueda interpolar también el punto adicional P con una tangente inicial asignada. Situaciones típicas en que aparecen este tipo de problemas de interpolación con restricciones: Diseño de trayectorias suaves de robot que eviten chocar con esquinas u objetos poligonales Diseño de curvas en el interior de regiones planas cuya frontera está descrita por poligonales.
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Problemas actuales: Inserción de un nuevo nodo del A-spline
Interpolación de un punto interior adicional con tangente prefijada ¿Pueden sacrificarse los valores de curvatura en los nodos (conservarndo la G2 continuidad ) ? NO SÍ Situaciones típicas en que aparecen este tipo de problemas de interpolación con restricciones: Diseño de trayectorias suaves de robot que eviten chocar con esquinas u objetos poligonales Diseño de curvas en el interior de regiones planas cuya frontera está descrita por poligonales. Inserción de un nuevo nodo del A-spline con vector tangente deseado + nuevo valor de curvatura asociado a dicho nodo Perturbación de la curva original
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Problemas actuales: Problema 2 (Dual de Problema 1): Con las mismas hipótesis que el anterior, al seleccionar una recta R que corta la región de interés, estudiar cómo deben variar los parámetros del A-spline cúbico de forma que la sección de la curva A-spline contacte a R en algún punto de dicha región. Situaciones típicas en que aparecen este tipo de problemas de interpolación con restricciones: Diseño de trayectorias suaves de robot que eviten chocar con esquinas u objetos poligonales Diseño de curvas en el interior de regiones planas cuya frontera está descrita por poligonales.
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Problemas actuales: Problema 3: Con las mismas hipótesis que en el Problema 2, estudiar cómo variar los parámetros del A-spline cúbico, de forma tal que la curvatura de los puntos pertenecientes a la sección de la curva A-spline no tenga ni muchas oscilaciones ni grandes. . Situaciones típicas en que aparecen este tipo de problemas de interpolación con restricciones: Diseño de trayectorias suaves de robot que eviten chocar con esquinas u objetos poligonales Diseño de curvas en el interior de regiones planas cuya frontera está descrita por poligonales.
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Referencias [Alb08] Albrecht, G., Becar, J.-P., Farin, G., Hansford, D., On the approximation order of tangent estimators., Computer Aided Geometric Design 25, 2008 [Baj01] Bajaj, C., Xu, G. (2001), Regular algebraic curve sections (III)-Applications in interactive design and data fitting. Computer Aided Geometric Desing, 18: [Beh05] Behar, S., Estrada Sarlabous, J., Hernandez, V., Leon, D. Smoothing of Polygonal Chains for 2D Shape Representation Using a G2-Continuous A-Spline, in: Proceedings CIARP 2005, M. Lazo, A. Sanfeliu (eds.), 2005, 42-50,Springer Lecture Notes in Computer Sciences 3773. [Beh09] Behar, S., Construccion de una familia de A-splines cúbicos G2-continuos para la solución de diversos problemas de CAGD. Tesis presentada en opción del grado de Doctor en Ciencias Matemáticas, La Habana, 2009. [Bir33] Birkhoff, G., Aesthetic Measure. Harvard University Press, 1933. [Boor78] De Boor, C., A practical guide to splines. Springer-Verlag, New York, 1978. [Brie86] Brieskorn E. y Knorrer H. Plane algebraic curves, Birkhauser Verlag . (1986) , pag. 232. [Chan88] Chandler, R. E., A tracking algorithm for implicitly de ned curves, IEEE Computer Graphics and Applications, 1988.
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Referencias [Cou74] Courant R.y John F. Introduction to calculus and analysis. Vol.2. John Wiley & Sons. (1974), pag (1988), [Dill81] Dill, J., An application of color graphics to the display of surface curvature. Computer Graphics, 15: , 1981. [Dou92] Doughety, E., An Introduction to Morphological Image Processing, SPI-The International Society for Optical Engineering, Washington, (1992). [Est05] Estrada, J. , Martnez, D., Leon, D., Theisel, H., Solving Geometric Problems using Subdivision Methods and Range Analysis, in: Mathematical Methods for Curves and Surfaces: Tromso 2004, M. Daehlen, K. Morken and L.L. Shumaker (eds.), 2005, , Nashboro Press, Brentwood, TN. [Far97] Farin,G., Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design: a practical guide, Academic Press Inc. ,1997. [Ful84] Fulton, W., Intersection Theory, Springer Verlag, Berlin, (1984). [Gol05] Goldman R., Curvature formulas for implicit curves and surfaces, CAGD 22, 2005, pp [Hart77] Hartshorne, R., Algebraic Geometry, Springer Verlag, Berlin, (1977). [[Her02] Hernandez-Mederos, V., Martnez D., Estrada-Sarlabous J., Fitting a conic A-spline to contour image data, Revista Investigación Operacional, Vol. 29,
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Referencias [Lev09] Levien1, R., Sequin, C., Interpolating Splines: Which is the fairest of them all?, Computer-Aided Design and Applications, 6(1-4), (2009). [Mee03] Meek, D.S., Ong, B.H. , Walton, D.J. Constrained interpolation with rational cubics. CAGD 20, (2003), [Mor12]Moreno-Alemán, J., CAGD Environment: Una herramienta computacional para la visualizacion de curvas A-spline cubicas y su aplicacion a la solución de problemas del CAGD. CAGD 20, (2003), [[Pal98] Paluszny, M. y R. Patterson, Geometric control of G2 -cubic A-splines, Com- puter Aided Geometric Design 15 (1998), [Pal99] Paluszny, M., Tovar F. y R. Patterson, G2 composite cubic Bezier curves, Journal of Computational and Applied Mathematics, 102 (1999), [Pal05] Paluszny, M., Prautzsch, H. y Boehm, W. Métodos de Bezier y B-splines Universitaetsverlag Karlsruhe,(2005). [Walk78] Walker, R., Algebraic Curves, Springer Verlag, New York, (1978). [Warr86] Warren, J., On algebraic surfaces meeting with geometric continuity, Ph.D.Thesis, Department of Computer Science, Cornell University, (1986).
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FIN En particular Tanto la salida como algunos cálculos intermedios del subproblema básico (generación jerárquica de puntos sobre el A-spline) pueden ser reutilizados en los otros dos subproblemas, por lo que se tiene la opción de resolver simultáneamente y de una forma muy eficiente los tres subproblemas que conforman el algoritmo desarrollado en este trabajo. Obsérvese que la generación jerárquica y adaptativa de la poligonal que aproxima a la curva A-spline se extiende automáticamente a la generación de las poligonales que aproximan al ploteo de curvatura y al d-offset. En el diseño libre de curvas generatrices de superficies de revolución, la obtención de datos para el cálculo estructural de tales superficies, el suavizamiento de poligonales, el ajuste de contornos de imágenes digitalizadas y el diseño de trayectorias con restricciones. Gracias!
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