ECUACIONES LINEALES II

ECUACIONES LINEALES II
Tema 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES II DETERMINANTES

1. Determinantes Introduciremos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. El uso de determinantes nos permitirá: ■ Calcular la inversa de una matriz ■ Expresar la solución de un sistema de ecuaciones y ■ Determinar el rango de una matriz. El determinante de una matriz cuadrada es un número obtenido de una manera específica a partir de la matriz. Este número (el determinante) suele simbolizarse por |A| , por det(A) o escribiendo los elementos de la matriz entre dos barras verticales. Llamamos orden de un determinante al orden de la matriz cuadrada asociada. A continuación vamos a estudiar los determinantes de orden 1, 2 y 3.

1. Determinantes |A| = |a11| = a11 Determinantes de orden 1.
Sea una matriz cuadrada de orden 1: A = (a11) Definimos el determinante de A como: |A| = |a11| = a11 EJEMPLO Si A = (2) |A| = |2| = 2 Si B = (–4) |B| = |–4| = –4

a11 a12 a21 a22 |A| = a11·a22 – a12·a21 A = 1. Determinantes a11 a12
Determinantes de orden 2. Definición: Para una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien |A|, como el número: det(A) = |A| = = a11 · a22 – a12 · a21 a11 a12 a21 a22 a) 1 3 –1 4 EJEMPLOS = 1 · 4 – 3 · (–1) = = 7 b) –2 –3 = – = –4 a11 a12 a21 a22 A = |A| = a11·a22 – a12·a21 Producto a lo largo de la flecha roja menos producto a lo largo de la flecha azul

|A| = 1·5·(–3) + 2·3·(–2) + (–1)·0·4 –
1. Determinantes Determinantes de orden 3. A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Sea una matriz cuadrada de orden 3: Definimos el determinante de A como: |A| = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 – – a13 a22 a31 – a23 a32 a11 – a33 a12 a21 EJEMPLO A = –2 – –3 Calcula el determinante de la matriz Aplicando la definición: |A| = 1·5·(–3) + 2·3·(–2) + (–1)·0·4 – – (–2)·5·(–1) – 4·3·1 – (–3)·0·2 = –49

1. Determinantes a11 a12 a13 a21 a22 a23 A = a31 a32 a33
La regla de Sarrus A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Para recordar la expresión de un determinante de orden 3, resulta de utilidad la regla de Sarrus. El determinante de A se calcula mediante la resta de dos expresiones obtenidas del siguiente modo: Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:  Los elementos de la diagonal principal, a11· a22· a33.  a12· a23· a31.  a21· a32· a13. Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:  Los elementos de la diagonal secundaria, a13· a22· a31.  a12· a21· a33.  a32· a23· a11. Sumandos positivos Sumandos negativos Gráficamente: Y entonces, |A| = Sumandos positivos – Sumandos negativos.

1. Determinantes –2 4 5 6 7 –3 3 0 2 A = (–2)·7·2 3·7·5 4·3·(–3)
– –3 A = EJEMPLO Calcula el determinante de la matriz: Sumandos positivos Sumandos negativos (–2)·7·2 3·7·5 4·3·(–3) 0·(–2)·(–3) 6·5·0 6·4·2 Aplicando la regla de Sarrus: |A| = (–2)·7·2 + 4·3·(–3) + 6·5·0 – [3·7·5 + 0·(–2)·(–3) + 6·4·2] = = –28 – 36 – 105 – 48 = –217

1. Determinantes Duplicación de columnas para matrices 3x3 Es otra regla para calcular determinantes de matrices 3x3 SOLAMENTE: escribe las dos primeras columnas después de la tercera columna A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Suma de productos a lo largo de las flechas rojas menos suma de productos a lo largo de las flechas azules |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 Recuerda que este método y el anterior solamente se pueden aplicar a matrices 3x3

1. Determinantes EJEMPLO –3 2 –1 2 – 2 – –1 –8 32 8 3 A = Suma de términos rojos = = 35 Suma de términos azules = 0 – = 0 Determinante de la matriz A = |A| = 35 – 0 = 35

1. Determinantes Determinantes de orden n.
Acabamos de ver que, a medida que el orden de un determinante aumenta, su cálculo se complica. De hecho, a partir de orden 3 ni siquiera existen reglas prácticas para recordar su expresión. Lo que vamos a hacer es definir un determinante de orden n a partir de otros de orden n – 1. Para ello, es preciso conocer previamente los conceptos de menor complementario y de adjunto de un elemento de una matriz.

1. Determinantes –2 4 5 6 7 –3 A = 3 0 2 –2 4 5 6 7 –3 –2 4 5 3 0 2
Menor complementario Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento aij de A, como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento aij. Se representa por Mij . En la matriz los menores complementarios de cada uno de los elementos de la primera fila son: EJEMPLO A = – –3 Menor complementario de a11 = –2: Menor complementario de a12 = 4: Menor complementario de a13 = 5: – –3 – –3 – –3 M11 = = 14 – 0 = 14 7 –3 0 2 M12 = = = 21 6 –3 3 2 M13 = = 0 – 21 = –21 6 7 3 0 Y así sucesivamente.

1. Determinantes Aij = (–1)i+j ·Mij –2 4 5 6 7 –3 A = 3 0 2
Adjunto de un elemento aij Estrechamente ligado al concepto de menor complementario se encuentra el de adjunto de una matriz. Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el número: Aij = (–1)i+j ·Mij es decir, no es más que el menor complementario correspondiente acompañado de un signo más o menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuestión. EJEMPLO Para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son: Adjunto de a11 = –2: A11 = (−1)1+1·M11 = 1·14 = 14 (coincide con el menor complementario) – –3 A = Adjunto de a12 = 4: A12 = (−1)1+2·M12 = (−1)· 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado) Adjunto de a13 = 5: A13 = (−1)1+3·M13 = 1·(−21) = −21 (coincide con el menor complementario)

1. Determinantes + – + – + – + – + – – + – +
En general puede saberse si el signo del menor complementario y del adjunto coinciden o no utilizando una sencilla regla gráfica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices: + – + – – + – – – – + donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el – indica que tienen signo contrario.

1. Determinantes A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a21 a23
Si A es una matriz cuadrada 3x3 El menor complementario, Mij, de un elemento aij es el determinante de la submatriz que queda después de eliminar de A la fila i y la columna j . El adjunto de un elemento aij es Aij = (–1)(i+j) Mij a21 a23 a31 a33 M12 = = a21 a33 – a23 a31 a21 a23 a31 a33 A12 = – M12 = – A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 (–1)1 + 2 = –1 (–1)3 + 1 = 1 a12 a13 a22 a23 M31 = = a12 a23 – a13 a22 a12 a13 a22 a23 A31 = M31 =

1. Determinantes EJEMPLO Halla el menor complementario y el adjunto de a33 y a12 –3 2 –1 2 A = 2 4 1 0 M33 = = 2·0 – 4·1 = – 4 –3 2 –1 2 A = Menor complementario de a33: 2 4 1 0 A33 = (–1)3+3 M33 = = – 4 Adjunto de a33: a33 a12 1 4 2 2 M12 = = 1·2 – 4·2 = – 6 –3 2 –1 2 A = Menor complementario de a12: 1 4 2 2 A12 = (–1)1+2 M12 = – = 6 Adjunto de a12:

1. Determinantes 2 –1 0 1 3 4 –1 5 0 –20 –4 8 0 0 –9 –4 –8 7
Matriz adjunta 2 –1 0 – A = Por ejemplo en la matriz A11 = (–1) = –20 3 4 5 0 A12 = (–1) = –4 1 4 –1 0 A13 = (–1) = 8 1 3 –1 5 A21 = (–1) = 0 –1 0 A22 = 0 A23 = −9 A32 = (–1) = –8 2 0 1 4 A33 = (–1) = 7 2 –1 A31 = −4 –20 – –9 –4 – Adj(A) = siendo la matriz adjunta Adj(A)

|A| = ai1·Ai1 + ai2·Ai2 + ··· + ain·Ain
1. Determinantes Definición de determinante por recurrencia Definición: Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define su determinante como la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) por sus correspondientes adjuntos. Se puede demostrar, aunque dicha demostración excede los contenidos del curso, que el valor del determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo. a a12 … a1n a a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann |A| = |A| = ai1·Ai1 + ai2·Ai2 + ··· + ain·Ain (desarrollo por fila i) |A| = a1j·A1j + a2j·A2j + ··· + anj·Anj (desarrollo por columna j) De este modo, un determinante de orden n se define a partir de n determinantes de orden n – 1, cada uno de los cuales se define, a su vez, a partir de n – 1 determinantes de orden n – 2, y así sucesivamente, hasta llegar a determinantes de orden dos o tres, cuyas expresiones ya conocemos.

1. Determinantes a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a22 a23 a32 a33
Para una matriz de orden 3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a22 a23 a32 a33 A11 = a21 a23 a31 a33 A12 = – a21 a22 a31 a32 A13 = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11·A11 + a12·A12 + a13·A13

1. Determinantes 2 – – EJEMPLO Desarrollamos por la primera fila: 2 – – 3 4 5 0 –1 0 –1 5 = 2· · · = –36 Desarrollamos por la tercera columna: 2 – – 1 3 –1 5 2 –1 –1 5 = 0· · · = –36 Desarrollando en primer lugar por la primera fila y en segundo lugar por la tercera columna. Y así para cualquier otra línea.

1. Determinantes EJERCICIO Calcula los determinantes de las matrices:

2. Propiedades de los determinantes
D1. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. |A| = |At| Como consecuencia de esta propiedad D1, todas las demás propiedades serán válidas tanto para filas como para columnas. Por ello, a partir de ahora hablaremos en general de líneas. D2. Si multiplicamos todos los elementos de una línea de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. a b c |A| = d e f g h i ka b c |B| = kd e f kg h i |B| = k·|A| Ejemplo |A| = = 64 1 –3 0 |B| = = 128 2 –3 0 |B| = 2·|A|

Esta propiedad, aplicada a la inversa, permite sacar fuera del determinante los factores comunes, si los hay, de todos los elementos de una línea. Es decir: ka b c kd e f kg h i a b c = k d e f g h i NOTA: Si una matriz cuadrada A de orden n se multiplica por un número k, el valor de |A| queda multiplicado por kn: B = k·A  |B| = kn·|A| Ejemplo = 5· 5· = 5·

D3. Si los elementos de una línea de una matriz se descomponen en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de los dos determinantes obtenidos al considerar por separado cada sumando de esa línea, y el resto de líneas iguales a las del determinante inicial. a + a’ b c d + d’ e f = g + g’ h i a b c a’ b c d e f d’ e f g h i g’ h i Ejemplo =

D4. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. a b c |A| = d e f g h i b a c |B| = e d f h g i |B| = – |A| Ejemplo |A| = – = –3 – |B| = – = 3 1 – |B| = – |A|

D5. Si una matriz tiene dos líneas proporcionales, su determinante es cero. a b c |A| = d e f = 0 kd ke kf |A| = = = 0 3·1 3·2 3·1 Ejemplo D6. Si una matriz tiene dos líneas iguales, su determinante es cero. Esta propiedad es consecuencia de la anterior con k = 1 a b c |A| = a b c = 0 g h i Ejemplo |A| = = 0

D7. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero. Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, basta elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0. a b 0 |A| = d e = 0 g h 0

D8. Si una de las líneas de una matriz es combinación lineal de otras líneas paralelas, su determinante es cero. Esta propiedad se deriva de D3 y D5. a b k1a + k2b |A| = d e k1d + k2e = g h k1g + k2h a b k1a a b k2b d e k1d d e k2e = 0 g h k1g g h k2h D3 D5 Ejemplo –4 |A| = = – –8 ·1 + (–3)·2 ·2 + (–3)· = 0 – ·(–1) + (–3)·2

D9. Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un número, el determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3. a b c |A| = d e f = g h i a b c d e f g + ka h + kb g + kc Ejemplo = = 2 – 2· – 2· – 2·2

D10. Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que: D11. Si A es una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal, a b 0 d = ad

Cálculo de determinantes con las propiedades Las propiedades expuestas para determinantes de orden 3 son válidas para determinantes de orden superior. En los siguientes ejemplos se aplican a determinantes de orden 3. 1 a b + c 1 b c + a = 0 1 c a + b Ejemplo. Demostrar que: Solución: Usando las propiedades: C2 + C3 D9 = 1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b 1 a+b+c b+c 1 b+c+a c+a 1 c+a+b a+b b + c c + a = 0 a + b (a + b + c) D2 = D6

2 – –2 Ejemplo. Calcular con las propiedades: Solución: La idea consiste en aplicar las propiedades y transformar el determinante hasta conseguir uno de forma triangular. f2 + f1 f3 + 3 f1 = 2 – –2 – –2 – – – C1  C2 = Factor común 2 en f2 = – –2 – = –30 –5 –2 f3 – 3f2 =

Aplicación al cálculo de determinantes Una estrategia a tener en cuenta en el caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas, como indican las propiedades, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicarlas. Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un adjunto. Por ejemplo, si calculamos: –3 –5 3 –2 –8 1 –3 –5 0 –2 – 3 –2 – –3 –5 0 –2 – 0 –11 – F3 – 2·F2 = F4 – 3·F2 = Desarrollando por la 1ª columna –3 –2 – –11 – = 1· – = – (–16 – 242 – 84 – ( –33 – 154 – 64)) = 91

Hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir. Por ejemplo, si queremos calcular el determinante: mediante la regla de Sarrus es: |C| = – (12+2+0) = 21 – 14 = 7. Si hacemos ceros en la primera columna, y desarrollamos nos debería dar lo mismo. Ahora bien, podemos hacer cero el 4 de la primera columna con: F3 – 4F1 = = 0 –7 –7 –7 –7 = – = 7 lo que es correcto. Pero si queremos hacer cero el 1 de la primera columna sería un error hacer: 4F1 – F3  7 7 1 2 = 4·(14 – 7) = 28 = 4· No obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un número y eso altera el valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo, puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.

3. Cálculo del rango de una matriz por determinantes
En el capítulo de matrices ya hemos estudiado el concepto de rango. Los determinantes se pueden utilizar para determinar el rango de una matriz, basándonos en que el determinante de una matriz con una línea combinación lineal de otras paralelas es cero.  Menores de una matriz De una matriz A se pueden extraer submatrices cuadradas. A los determinantes de dichas submatrices los llamamos menores. A = Sea la matriz menores de orden 2 son por ejemplo 1 2 2 4 = 0 1 3 2 6 = 0 1 3 3 9 = 0 1 4 3 13 = 1

También podemos extraer menores de orden 3, que en este caso son todos nulos. En este caso, el rango calculado como hicimos en el capítulo de matrices por reducción es, r(A) = r = r = 2 pues es el número de filas no nulas de la matriz reducida. Este coincide con el mayor menor que se puede extraer de A, que es de orden 2. Si hay un menor no nulo, su orden indica el rango de la matriz. En este caso r(A) = 2. Un definición alternativa de rango de una matriz es: El rango de una matriz A es el tamaño del mayor menor complementario no nulo que esté incluido dentro de la matriz.

Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes: – –2 C = 1 1 2 2 A = 0 3 1 1 B = –1 –2 –3 D = a) Sólo hay un menor de orden 2, que es: 1 1 2 2 = 0 Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo |1| = 1, que es no nulo, luego el rango de la matriz es Rg(A) = 1 (el tamaño de dicho menor complementario). b) Sólo hay un menor de orden 2, que es: 0 3 1 1 = 0 – 3 = –3 Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg(B) = 2 (el tamaño de dicho menor complementario).

c) Sólo hay un menor de orden 3, que es: = –2 – – (0 + 1 – 4) = –3 + 3 = 0 – –2 Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3. 1 0 1 1 = 1 Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno: resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C) = 2 (el tamaño de dicho menor complementario). d) El menor más grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos: –1 –2 = –4 + 4 = 0 –1 –3 = –6 + 6 = 0 –2 –3 = – = 0 Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo |6| = 6  0, es no nulo, luego el rango es Rg(D) = 1.

 Método práctico Resaltamos a continuación dos indicaciones para el estudio del rango: Cuando la matriz consta solo de números se aconseja utilizar el método de reducción. Cuando en la matriz hay algún parámetro puede ser preferible analizar en primer lugar el mayor determinante que se pueda extraer de la matriz. En el siguiente ejemplo ilustramos el cálculo del rango por menores, pero como hemos dicho antes se recomienda utilizar el método de reducción si la matriz no tiene parámetros.

Ejemplo. Utilizando el método de los menores, hallar el rango de la matriz – – 2 – A = 1 2 2 1 = –3  0 Solución: Como el menor , el rg(A)  2. Se añade una fila y columna Se prueba con la misma fila y otra columna –1 = 0 –2 = 0 luego la tercera fila es combinación lineal de las filas primera y segunda. Ahora probamos con la cuarta fila, –1 = 1  0 2 –1 1 |A| = 0  el rg(A)  3. Luego rg(A) = 3.

Ejemplo. Estudiar el rango de la matriz en función del parámetro k. –2 2 – 4 k –1 A = Solución: Analizamos en primer lugar el mayor determinante que se pueda extraer de la matriz y que contenga a k, por ejemplo, –2 2 – 4 k –1 = – 7 – 7k = 0  k = –1 Si k = −1, entonces rg(A) = 2. Si k  −1, entonces r(A) = 3.

EJERCICIO Calcula, utilizando los determinantes, el rango de las matrices:

4. Calculo de la inversa de una matriz por determinantes
Hay una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. Si recordamos la definición de un determinante por los elementos de una fila, podemos construir la inversa de una matriz cuadrada A por los adjuntos. A |A|·In Adj(At) a11 a12 a A11 A21 A |A| a21 a22 a23 · A12 A22 A32 = |A| 0 a31 a32 a A13 A23 A |A| Siendo Adj(At) la matriz adjunta de la traspuesta de A. Como A·Adj(At) = |A|·In, si |A|  0 podemos dividir por |A|: A–1 = · Adj(At) 1 |A| De la expresión anterior se sigue que hay inversa cuando |A|  0.  A–1  |A|  0

–1 –3 – A = EJEMPLO Calcular, si es posible, la inversa de la matriz –1 –3 = – (1 – 3 + 0) = 2  0 – |A| = En primer lugar –1 –1 – At = y por tanto A tiene inversa. 1 1 –3 0 0 –1 Adj(At) = 0 1 –1 0 1 –1 –1 –3 1 0 – Calculamos Adj(At): 3 – 3 – 1 – = Y entonces, se obtiene:

3 –2 – A = Ejemplo. Hallar la inversa de la matriz Solución: 3 –2 – a) |A| = = 3·1 – (–4)(–2) = – 5  0   A–1 3 –4 – At = b) Se calculan los adjuntos de los elementos de At: At11 = 1 At12 = −(−2) = 2 At21 = −(−4) = 4 At22 = 3 La matriz adjunta de la traspuesta es: La inversa de A es:

3 –2 –1 – –1 A = Ejemplo. Hallar la inversa de la matriz Solución: a) Se calcula |A| = 1  0  A−1 3 – – –1 – At = b) Calculamos los adjuntos de la traspuesta: – At11 = = 1 – – At12 = – = 2 – –1 –1 At13 = = 3 – – At21 = – = 2 – At22 = = 5 3 –4 –1 –1 At23 = – = 7 –4 2 At31 = = –2 – At32 = – = –4 3 –4 –2 1 At33 = = –5 –2 –4 –5 Adj(At) = –2 –4 –5 A–1 =

EJERCICIOS Ejercicio 1. Calcula las matrices inversas de: a) b) c) d) Ejercicio 2. Con las matrices A y B del ejercicio anterior resuelve las ecuaciones matriciales: a) A X = B b) X A = B c) A X B = I d) B X A = I Ejercicio 3. Responder a las siguientes cuestiones a) ¿Es cierto que toda matriz cuadrada admite inversa? b) Si |A| = 3, ¿es cierto que |A−1| = ? c) Sabiendo que |A| = y |B| = , siendo A y B del mismo orden, hallar |A−1 B−1|.

5. Resolución de sistemas
 Método de la inversa. La matriz inversa es útil como notación para expresar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Sea por ejemplo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a31 x + a32 y + a33 z = b3 Expresado en forma matricial queda: a11 a12 a x b1 a21 a22 a23 · y = b2 a31 a32 a z b3 A · X = B Si A es regular y tiene inversa A−1, multiplicando la ecuación anterior por la izquierda, se tiene que, A−1 · A · X = A–1 · B y como A−1 · A = I X = A–1 · B

 Método de la inversa. Ejemplo. Resolver el sistema calculando la inversa 3x − 2y − z = −4 −4x + y − z = −5 2x z = 5 Solución: Expresamos el sistema en forma matricial, 3 –2 – x –4 – –1 · y = –5 z A · X = B Como |A| = 1  0, existe la inversa de A: –2 –4 –5 A–1 = x = 1 y = 2 z = 3 x – y = · –5 = 2 z –2 –4 –

 Teorema de Rouche-Frobenius En el tema anterior vimos como clasificar un sistema de ecuaciones con el método de Gauss. Vamos a ver ahora una manera alternativa de clasificar sistemas basada en el resultado conocido como teorema de Rouché-Frobenius. Teorema de Rouché-Frobenius. Un sistema es compatible si y sólo si el rango de A (la matriz del sistema) y el de A’ (la matriz ampliada), son iguales: Sistema compatible  rang(A) = rang(A’) Determinado r(A) = r(A’) = n Compatible r(A) = r(A’) Indeterminado r(A) = r(A’) = r < n Incompatible r(A) < r(A’) Donde n es el número de incógnitas del sistema

 Teorema de Rouche-Frobenius x y = 1 my + z = 0 x + (1 + m)y + mz = m + 1 Ejemplo. Sea el sistema: a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema para m = 0. Solución: a) |A| = m = m2 – m = 0 1 1+m m  m = 0 y m = 1 ► Caso m = 1 r(A) = 2 r(AM) = 3 S.I. F3 F3 − F1 F3 F3 − F2 ► Caso m = 0 r(A) = 2 r(AM) = 2 S.C.I. F3 F3 − F1

 Teorema de Rouche-Frobenius Ejemplo. Sea el sistema: x y = 1 my + z = 0 x + (1 + m)y + mz = m + 1 a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema para m = 0. Solución: b) x + y = 1 z = 0 x = 1 − t y = t z = 0

 Regla de Cramer Se dice que un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas es resoluble por Cramer o un sistema de Cramer, si la matriz del sistema, A, es regular (tiene inversa). Observa que los sistemas de Cramer son siempre compatibles determinados, puesto que al ser A regular, se cumple que: rang(A) = rang(A’) = n Si, en la ecuación X = A–1·B, sustituimos A−1 por su expresión mediante la matriz adjunta se obtiene y para todo i,

 Regla de Cramer se puede expresar como el determinante de la matriz A cambiando la columna i−ésima por los términos independientes, es decir a11 a12 … b1 … a1n a21 a22 … b2 … a2n … … … … … … an1 an2 … bn … ann |A| xi = 1  i  n Observa que para aplicar la regla de Cramer es necesario que |A|  0

 Regla de Cramer Ejemplo. Resolver por la regla de Cramer el sistema 2x + y = 3 x − y = 0 Solución: La regla de Cramer nos da: 0 –1 1 –1 x = =  = 1 –3 1 –1 y = =  = 1 –3

 Regla de Cramer Ejemplo. Resolver por la regla de Cramer el sistema 3x − y + z = 7 x + 3y − 2z = 0 2x + 2y − z = 2 Solución: En primer lugar comprobamos 3 – –2 = 2  0 –1 |A| = 7 – –2 –1 2 x = =  5 –2 –1 2 y = = –  7 3 – 2 z = = – 4

ECUACIONES LINEALES II

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