Relaciones y Funciones

Presentación del tema: "Relaciones y Funciones"— Transcripción de la presentación:

1 Relaciones y Funciones

2 Trabajo Práctico Nº 3 Relaciones y Funciones
1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A  C y B  D. Observe que A x B  C x D. b) Suponiendo que A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A  C y B  D ?. Explique. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 3) Sean A = { x  N / 1  x  5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R  A x B mediante (x,y) R  x + y  5. i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1. Diapositiva 2. Ejercicios 1 – 2 - 3 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

3 Ejercicios para Practicar
4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones R  A x B ; S  B x C, definidas por : (x,y)  R  y = x y (y,z)  S  z = y/2 Se pide : i) Determinar R y S por extensión. ii) Definir la composición S º R  A x C por extensión. iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia. R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 } S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N0 / x  3 } Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar Diapositiva 3. Ejercicios 4 – 5 - 6 6) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida en A /(a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1 reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?. Ejercicios para Practicar Ejercicio Resuelto Glosario

4 7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que : R = {(a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es relación de equivalencia ? ¿ es relación de orden ? Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ? ¿ es una relación de orden ? Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 9) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que pretende probar que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la transitividad : x R y  x R y  y R x  x R x Diapositiva 4. Ejercicios 7 – 8 - 9 Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

5 Ejercicios para Practicar
10) a) Determinar si el conjunto P = { A1; A2 } constituye una partición de Z  con A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x } b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ; Q = { N; Z- } Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1, 2, 3, 4}  B = {1, 3} C = {3} Clasificar en M la relación “  ”. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 12) Analizar si (N, ) y (N,  ) son láttices. Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar 13) Representar gráficamente las siguientes relaciones : a)   f : R  R / f(x) = -5 x b) g : Zpares  Z / g(x) =   c) h : N  N / h(x) = 2 x + 3 Diapositiva 5. Ejercicios 10 – Ejercicios para Practicar Ejercicio Resuelto Glosario

6 Ejercicios para Practicar
14) Sean las relaciones fi : R  R con i = 1,2, dadas por las fórmulas : f1(x) = - 3 x + 4 f2(x) = - x2 + 4 x – f4(x)= f3(x) = log 2 ( 2x - 3 ) f6(x) = f5(x) = Determine en cada caso el Dominio y la Imagen para que la relación resulte una función Represente gráficamente cada una de las fi Clasifique cada una de las fi d) En los casos que sea posible, determine y represente gráficamente f-1 Diapositiva 6. Ejercicios 14 –15 Glosario Ejercicios para Practicar Ejercicio Resuelto

7 El número de elementos que conforman P(A) es 2n donde n = A
Conjunto de partes Se escribe P(A) se lee “partes de A” y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío Sea A { a, b, c } { } =  {a} • a A • a • b {a,b} El número de elementos que conforman P(A) es 2n donde n = A • a • b • c {b} • a • c {a,c} • b • c • b • c {c} {b,c} A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la cantidad de elementos que tiene el conjunto A Diapositiva 8 Glosario Ej 1 •a • b • c {a, b, c} entonces el conjuntos de partes de A es: P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  }

8 Producto Cartesiano A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) }
Dado un conjunto A = { a, b } y un conjunto B = { 1, 2 } El producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenados posibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado B A • a • 1 • b • 2 A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) } También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados D 9 Glosario Ej 2 D 2 B 2 1 En el eje de abscisas (x) el conjunto A A x B En el eje de ordenadas (y) el conjunto B (a, 2) (b, 2) y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que pasan por los elementos involucrados (a, 1) (b, 1) a b A

9 2) a) Si A = { a } B = { 2 } C = { a, b } D = { 1, 2 }
P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} } Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A) P(A) xA = { (,1); (,2); ({1},1); ({1},2); ({2},1); ({2},2); ({1,2},1); ({1,2},2) } observa que en cada par ordenado, el 1er elemento  P(A) y el 2do elemento  A 1 2 2) a) Si A = { a } B = { 2 } C = { a, b } D = { 1, 2 } D C A C x D = { (a,1); (a,2); (b,1); (b,2) } • a • 1 ubicamos ahora A  C y B  D B • b • 2 A x B = { (a,2) } Ejercicio 1 D 2 – Glosario D8 Ej 2 Glosario D9 en ejes cartesianos el único par ordenado de AxB; (a,2)  CxD A x B B 2 1 entonces A x B  C x D C x D (a, 2) (b, 2) (a, 1) (b, 1) a b A

10 2 b) Si A x B  C x D ¿se sigue de esto necesariamente que A  C y B  D ?. Explique.
Si a  A  (a, b)  A x B, b  B si el elemento a pertenece al conjunto A entonces el par ordenado (a, b) pertenece al producto cartesiano A x B para todo elemento b que pertenece al conjunto B Si a es elemento del conjunto A, entonces el elemento a con cualquier otro elemento del conjunto B forma un par ordenado del producto cartesiano A x B Por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . . si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego a  C, luego A  C Análogamente puede hallarse que B  D Ej 2b Glosario D9 si b  B  (a, b)  A x B, a  A por la consigna del ejercicio A x B  C x D , entonces . . . si (a, b)  A x B entonces (a, b)  C x D luego b  D, luego B  D

11 Relaciones Analizamos Y = 2 x R = { (1, 2) }
Dado un producto cartesiano A x B, si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación R  A x B  (x,y)  R : x  A  Y  B incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y) que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el elemento y pertenece al conjunto B A B Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 } • 1 • 2 En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) } • 2 • 3 Definimos R  A x B : (x,y)  R  y = 2x De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición Glosario del Ej 3 D2 Analizamos en el par (1, 2) x = 1 y = 2 2 = 2  1 entonces (1, 2)  R Y = 2 x en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3  2  1 entonces (1, 3)  R en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2  2  2 entonces (2, 2)  R en el par (2, 3) x = 2 y = 3 3  2  2 entonces (2, 3)  R R = { (1, 2) }

12 La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será:
R = { (x, y) / x  A  y  B  y = 2x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y) a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x  A ; y  B cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y = 2x La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas R  A x B R A B B 3 2 2 3 1 x - B A (1, 3) A x B • 2 (2, 3) • 1 (1, 2) (2, 2) • 2 • 3 A Ejes cartesianos Diagramas de Venn Tabla de R

13 Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5.
3) Si A = { x  N / 1  x  5 } B = { 3, 4, 5 } por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 } R A B Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. • 1 • 3 • 2 1 + 3 = 4  5  (1, 3)  R 4 + 3 = 7  5  (4, 3)  R • 4 1 + 4 = 5 = 5  (1, 4)  R 4 + 4 = 8  5  (4, 4)  R • 3 4 + 5 = 9  5  (4, 5)  R • 4 • 5 1 + 5 = 6  5  (1, 5)  R 2 + 3 = 5 = 5  (2, 3)  R 5 + 3 = 8  5  (5, 3)  R • 5 2 + 4 = 6  5  (2, 4)  R 5 + 4 = 9  5  (5, 4)  R en Diagrama de Venn 2 + 5 = 7  5  (2, 4)  R 5 + 5 = 10  5  (5, 5)  R 3 + 3 = 6  5  (3, 3)  R 3 + 4 = 7  5  (3, 4)  R R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) } 3 + 5 = 8  5  (3, 5)  R A x B R-1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando el orden de los elementos en cada par Si (x,y)  R entonces (y,x) R-1 B 5 4 3 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) Ejercicio 3 D2 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) } R R-1 = { (y, x)  BxA  y + x  5 } A En Gráfico cartesiano

14 Composición de Relaciones
B C Sean los conjuntos A; B y C S a 1 v Y entre ellos se establecen relaciones w b 2 R: A  B y S: B  C Definimos la composición de R y S, que se escribe S  R Como una relación que va de A en C (a, w)  S  R  (a, 2)  R y (2, w)  S S  R = { (a, w) } S  R Puede suceder: A R B S C a 1 v Entonces: w b 2 S  R = { (b, w); (b, v) }

15 4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 }
y la relación R  A x B ; S  B x C, definidas por : A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (3,1); (3,4); (3,6); (3,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16); (5,1); (5,4); (5,6); (5,16) } de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x surge que (x,y)  R  y = x2 ; R  A x B R = { (1,1); (2,4); (4,16) } C B  2 A B  4  1  1  1  3  6  10  2  6  3  4  8 16  4  16  5 B x C = { (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10); (6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) } analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / surge que (y,z)  S  z = y/2 ; S  B x C S = { (4,2); (6,3); (16,8) }

16 El dominio de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación Si R = { (x,y)  A x B / y = x2 } R A B  1  1 La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación  2  3  4  4  6  5  16 Dm R = { 1, 2, 4 } Im R = { 1, 4, 16 } El dominio de la relación S es un conjunto formado por todos los elementos del primer conjunto (A), que intervienen en la relación S = { (y,z)  B x C / z = y/2 } S C B  2  1 La imagen de la relación R es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación  3  4  10  6  8  16 Dm S = { 4, 6, 16 } Im R = { 2, 3, 8 }

17 S  R es la composición de dos relaciones
Sean R: A  B y S: B  C S  R = S[R] A R B B S C  1  1  1  4  2  3  2  4  6  3  6  5  4  16  10  16  8 Que se lee S cerito R ó R compuesta con S Se conforma con los elementos de A y de C De manera que (x,z)  S  R  (x,y)  R  (y,z)  S (1, 1)  R pero 1  B no se relaciona con ningún elemento de C (2,4)  R y (4,2)  S entonces (2,2)  S  R S  R = { (2,2); (4,8) } 3  A no se relaciona con ningún elemento de B Dm S  R = { 2, 4 } (4,16)  R y (16,8)  S entonces (4,8)  S  R Im S  R = { 2, 8 } 5  A no se relaciona con ningún elemento de B S C A R B  1  1  2  3  2  4  3  10  6  8  5  4  16

18 Propiedades de las Relaciones
Cuando decimos que una Relación R está definida en A2 , decimos que : Los pares ordenados (x, y) de la relación están conformados por elementos x  A y elementos y  A si consideramos los elementos de A relacionándose consigo mismo, (o no) puede suceder que : 5 6 7 8 9 11 Si algún(os) elemento(s) de A se relaciona(n) consigo mismo. Cada elemento del conjunto A se relaciona consigo mismo Si ningún elemento de A se relaciona consigo mismo A A A •a •a •b •b •a •b Es Reflexiva Es No reflexiva Es Arreflexiva x : x  A  (x, x)  R  x / x  A  (x, x)  R x : x A  (x, x)  R para todo elemento x se verifica que existe(n) x tal que para todo elemento x se verifica que si x pertenece al conjunto A x pertenece al conjunto A si x pertenece al conjunto A entonces y el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R entonces el par ordenado (x, x) no pertenece a la Relación R el par ordenado (x, x) pertenece a la Relación R 5-6 7-8-9 11

19 Es Simética A A Es No simétrica A Es Asimétrica A Es Antisimétrica
Si para cada par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, el par simétrico también pertenece a la relación •a •b •c x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R A Es No simétrica Si algún(os) par(es) de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene(n) par(es) simétrico(s) que también pertenece(n) a la relación, pero otro(s) no 5 6 •a •b 7 8 •c x y  A / (x, y)  R  (y, x)  R 9 11 A Es Asimétrica Si ningún par de elementos de A, (x,y) que se relacionan, tiene par simétrico que también pertenece a la relación •a •b •c x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R A Es Antisimétrica Si en cada par de elementos de A, (x,y) que admite simétrico, sucede que x = y •a •b •c x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R  x = y 5-6 7-8-9 11

20 A Es transitiva A Es No transitiva A Es Atransitiva
Si para todos los elementos x, y, z que verifican que (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R A Es transitiva •a •b x,y,z A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R •c 5 6 7 8 9 11 Si algunos de los elementos x, y, z verifican que (x,y)  R y (y,z)  R pero el par ordenado (x, z)  R (otros no) A •a •b •d Es No transitiva •c x y z  A / (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R A Si todos los elementos x, y, z verifican que si (x,y)  R y (y,z)  R entonces el par ordenado (x, z)  R •a •b •d Es Atransitiva •c x  y z  A : (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R 5-6 7-8-9 11

21 Clasificación de las Relaciones
Si R es una relación es reflexiva, simétrica y transitiva Es Relación de Equivalencia Si R es una relación es reflexiva, antisimétrica y transitiva Es Relación de Orden amplio 5 6 7 8 9 11 Si R es una relación es arreflexiva, asimétrica y transitiva dicho de otra manera, hay pares ordenados de elementos que no se relacionan entre sí de ninguna forma Es Relación de Orden estricto Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . . a, b / (a, b)  R  (b, a)  R Es Relación de Orden parcial en caso contrario . . . Si R es una relación de Orden (amplio o estricto) donde . . . a  b  (a, b)  R  (b, a)  R dicho de otra manera, todos los elementos diferentes se relacionan entre sí al menos de una forma Es Relación de Orden total 5-6 7-8-9 11

22 Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A
5 a) si R = { ( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1) } en A = { -3, -2, -1, 0 } Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que hay elementos que se relacionan consigo mismo -3 -2 Pero otros elementos como el –3 no se relacionan consigo mismo, vemos que el par ordenado (-3, -3)  R -1 Reflexiva entonces x  A / (x, x)  R la relación es No Reflexiva Simétrica En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (-1, -3)  R pero (-3,-1)  R ; pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (-1,-1)  R y (0, 0)  R. Transitiva Clasificación Escribir x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica ( -1, -1 )  R  ( -1, -3 )  R  ( -1, -3 )  R Es transitiva ( -2, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( -2, 0 )  R ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R  ( -1, -1 )  R ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R  ( 0, 0 )  R 5 b No es Relación de Equivalencia

23 Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn
5 b) S = { (2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0) } en B = { x  N0 / x  3 } Para clasificar la relación, la representamos en diagrama de Venn A En el diagrama de Venn y en la definición por extensión se aprecia que todos los elementos del conjunto A se relacionan consigo mismo 3 Reflexiva 2 x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva 1 Simétrica En el diagrama de Venn se aprecia que hay elementos que se relacionan entre sí en un solo sentido, por ejemplo: (3, 2)  R ; pero (2, 3)  R pero también hay pares ordenados que tienen simétrico, como: (1, 1)  R y (0, 0)  R. Transitiva Podemos escribir Clasificación x, y A / (x, y)  R  (y, x)  R la relación es No simétrica Pero vemos también que los pares ordenados que admiten simétrico, son pares ordenados donde el primer elemento es igual que el segundo Entonces se aplica que en cada par de elementos de R que admiten simétrico, x = y Es antisimétrica pero . . . ( 3, 3 )  R  ( 3, 2 )  R  ( 3, 2 )  R ( 3, 2 )  R  ( 2, 1 )  R  ( 3, 1 )  R Es No transitiva No es Relación de Equivalencia

24 y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (b, c)  R
6) (a,b)  R1  el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro b. Asumimos que A es un conjunto de libros que en precio y cantidad de hojas es tan amplio como sea posible Libro 1 $ 30 60 hojas Libro 2 $ 15 120 hojas Libro 3 $ 45 50 hojas Libro 4 $ 7 80 hojas Libro 5 $ 12 70 hojas Por ejemplo . . . R1 = { (1, 2); (1,4); (1,5); (3,1); Reflexiva (3,2); (3,4); (3,5); (5,4) } Simétrica Esta relación no tiene pares reflexivos, porque ningún libro cuesta mas que lo que él mismo cuesta ni tiene menos hojas que las que tiene. Es Arreflexiva Transitiva La relación no tiene pares simétricos, porque si el libro 1 cuesta mas y tiene menos hojas que el libro 2, no puede suceder que el libro 2 cueste mas y tenga menos hojas que el libro 1. Clasificación Si (1,2)  R  (2, 1)  R Es Asimétrica Por ejemplo . . . (1, 5)  R  (5,4)  R  (1,4)  R y en general, si un libro a cuesta mas y tiene menos hojas que b (a, b)  R ( a, b )  R  ( b, c )  R  ( a, c )  R entonces necesariamente el libro a cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (a, c)  R y el libro b cuesta mas y tiene menos hojas que el libro c (b, c)  R Es transitiva Es Relación de Orden Estricto

25 x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva
7) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal que : R = { (a, b) / a  b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros }. Los elementos que conforman los pares ordenados son sucesiones de ceros y unos, por ejemplo : 00; 01; 010; 000; 100; 1010; ; ; etc. . . Reflexiva R es un conjunto infinito porque son infinitas las sucesiones de ceros y unos Simétrica Sabido es que cada cadena tendrá exactamente la cantidad de ceros que ella misma tiene así, afirmamos que : Transitiva Clasificación x: x  A  (x, x)  R la relación es Reflexiva si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y (x, y)  R  (y, x)  R la relación es Simétrica la cadena y tendrá igual cantidad de ceros que la cadena x si la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena y y la cadena y tiene igual cantidad de ceros que la cadena z entonces la cadena x tiene igual cantidad de ceros que la cadena z la relación es Transitiva (x, y)  R  (y, z)  R  (x, z)  R Por tanto R es Relación de Equivalencia

26 En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos , tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. La relación R está conformada por pares ordenados de números enteros positivos (naturales) tal que la diferencia entre ellos sea un entero positivo impar En primer lugar corresponde descartar los pares ordenados que estén conformados por el mismo elemento Reflexiva , por ejemplo (2, 2); (3, 3); (4, 4) Simétrica En cualquiera de esos casos x – x = 0 y 0 NO es entero positivo impar Transitiva x: x  A  (x, x)  R luego, la relación es Arreflexiva Clasificación Si tomo dos números enteros positivos, puedo efectuar x – y con resultado positivo, solamente si x > y , en ese caso, al efectuar b – a el resultado será negativo x y  A : (x, y)  R  (y, x)  R luego, la relación es Asimétrica Supongamos tres enteros positivos x, y, z; de manera que x > y > z y – z entero positivo impar Si x es par e y es impar x – y será entro positivo impar, si z es par x – z será entero positivo par (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R y – z entero positivo impar Si x es impar e y es par x – y será entro positivo impar, si z es impar x – z entero positivo par (x,y)  R  (y,z)  R pero (x,z)  R luego, la relación es Atransitiva

27 9) El razonamiento falso dice que:
si x R y  x R y  y R x  x R x de otra manera ( x, y )  R  (y,x)  R  (x,x)  R Si una relación es simétrica y transitiva . . . es reflexiva ( x, y )  R  x R y  y R x  x R x el par ordenado ( x, y ) pertenece a la relación R porque la relación debe ser simétrica (por hipótesis) y también transitiva por hipótesis Reflexiva Simétrica Supongamos una relación definida en A Transitiva A Igualmente, ahora decimos que si x a ( y, x )  R  y R x  x R y  y R y Hasta aquí, la reflexividad parece ser una consecuencia de la simetría y de la transitividad y Pero si algún elemento del conjunto A no se relaciona con ningún otro, no se establecen la simetría ni la transitividad (por ejemplo el elemento a) Luego este elemento no tiene porqué relacionarse consigo mismo Observa que la relación definida en A es simétrica y transitiva, pero No Reflexiva

28 PARTICION DE UN CONJUNTO
Dado un conjunto A cualquiera no vacío, es posible establecer una partición de A Conformando con los elementos de A subconjuntos Ai ; Aj ; A A2 Así tenemos por ejemplo 1 2 A1 = { 1; 4 } A2 = { 2; 3 } A3 = { 5 } A1 3 A3 4 Donde: 1) A1  ; A2  ; A3   5 2) A1  A2 =  A1  A3 =  A2  A3 =  P = {A1; A2; A3 } es partición de A 3) A1  A2  A3 = A Todos los subconjuntos son distintos de l conjunto vacío (tienen algún elemento) Ai   La intersección entre todos los subconjuntos tomados de a dos, es vacía. Ai  Aj =  La unión de todos los subconjuntos es igual al conjunto particionado . .  . Aj  Aj  . . = A

29 Q = { N; Z- } NO es partición de Z
A1 = {x  Z : 2  x} y A2 = { x  Z : 2  x } con P = { A1; A2 } A1 está conformado por todos los números enteros que son divisibles por 2 A1 = { enteros pares} A2 está conformado por todos los números enteros que no son divisibles por 2 A2 = { enteros impares} 1) A1   y A2   2) A1  A2 =  3) A1  A2 = A si un entero es par, no es impar; y viceversa los enteros pares con los impares; conforman la totalidad de los elementos del conjunto de números enteros P = { A1; A2 } es partición de Z (números enteros ) Son subconjuntos de Q N (naturales) Z- (enteros negativos) b) Evaluar si Q = { N; Z- } es partición de Z 1) N   y Z-   2) N  Z- =  3) N  Z-  Z porque en N están todos los enteros positivos (Z +) y en (Z-) los enteros negativos pero  N y 0  Z- Q = { N; Z- } NO es partición de Z (no verifica la tercera condición)

30 Es una Relación de Orden Amplio
11) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1, 2, 3, 4}  B = {1, 3} C = {3} escribimos por extensión la relación “” definida en M todo conjunto está incluido en sí mismo el conjunto vacío está en todos los conjuntos A 2 B R = { (A,A); (B,B); (C,C); (,); (,C); (,B); (,A); (C,B); (C,A); (B,A) } 1 C La Relación en diagrama de Venn será : M 3 4 C cada elemento se relaciona consigo mismo  Es Reflexiva A B si A  B y B  A; A  B No Simétrica Pero al ser reflexiva, cada par reflexivo, tiene simétrico, entonces . . . Antisimétrica en la relación de inclusión siempre está presente la transitividad . . . Si C  B ; y B  A  C  A Transitiva Es una Relación de Orden Amplio

31 LATTICES Cota Superior Mínima y única Un conjunto ordenado es láttice si cualesquiera dos elementos en el conjunto tienen Cota Inferior Máxima y única Sea A = { a, b, c, d, e, f, g } y se define en él la relación R R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (a,b); (a,c); (a,d); (a,e); (a,f); (a,g); (b,e); (b,g); (c,e); (c,f); (c,g); (d,f); (d,g); (e,g); (f,g); (g,g)} Un conjunto es ordenado si sus elementos se vinculan mediante una relación de orden Reflexiva Antisimétrica Transitiva Relación de orden a  Construimos un gráfico donde la reflexividad se muestra con  para significar que cada elemento se relaciona consigo mismo b   d unimos con un segmento los elementos que se relacionan entre sí, por ser antisimétrica. ej (a,b); (a,d); (c,e)  R pero (b,a); (d,a); (e,c)  R c  e   f y aceptamos la transitividad en el sentido del recorrido de los elementos que se vinculan a través de los segmentos  g por ejemplo : (a,b)  R  (b,e)  R  (a,e)  R (a,c)  R  (c,f)  R  (a,f)  R (a,f)  R  (f,g)  R  (a,g)  R

32 Sea el conjunto ordenado A
en el que se define una relación de orden R (reflexiva, antisimétrica y transitiva) R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (e,e); (f,f); (g,g); (a,b); (a,c); (a,d); (b,e); (a,e); (c,e); (d,f); (a,f); (c,f); (e,g); (a,g); (b,g); (c,g); (f,g); (d,g)} Tomando dos elementos cualesquiera, por ejemplo a  para (a,b) c. s. mím. = b para (c,d) c. s. mím. = f b   d c. i. Máx. = a c. i. Máx. = a c. s. mím. = g c para (b,c) c. s. mím. = e para (b,g)  c. i. Máx. = a c. i. Máx. = b e   f para (e,f) c. s. mím. = g para (d,e) c. s. mím. = g c. i. Máx. = c c. i. Máx. = a  g se aprecia que, efectivamente para dos elementos cualesquiera de A, existen c.s.mín y c.i. Máx. y son únicas siempre que el gráfico resulta una retícula cerrada, como en este caso, el conjunto con la relación en él definida es Láttice (retícula)

33 Si analizáramos la misma relación pero en un conjunto B = { a, b, c, d }
Por extensión será: R = { (a,a); (b,b); (c,c); (d,d); (a,b); (a,c); (a,d) } De manera que los pares reflexivos se representan Los pares antisimétricos se representan uniendo con una línea (que se entiende siempre en un solo sentido –hacia abajo-) a  b   d Si analizamos la relación por extensión veremos que se trata de una relación transitiva c  Si bien los pares (a,b); (a,c); (a,d) tienen c.s.mín y c.i. Máx. únicas Pero . . . a  Los pares (b,c); (b,d) por ejemplo, NO tienen c.s.mín única (elementos que no están en la misma línea y la retícula no se cierra) b  Entonces en este caso NO hay Láttice c d a   Tampoco son Láttice retículas como  c   b Observa que las retículas están abiertas  d Ello se debe a que hay pares de elementos que no tienen única c.s.min y/ó c.i.Máx e f  

34 12 a) Analizar si (N, ) es Láttice
el conjunto N está conformado por N = { 1, 2, 3, 4, 5, } ( N,  ) significa que N es un conjunto ordenado según la relación   1 cada elemento se relaciona consigo mismo, es reflexivo  2 La relación es antisimétrica (1,2)  R; (2,3)  R; (1,3)  R;  3 y transitiva es apreciable que entre los elementos 3 y 4 (por ser relación de orden) 4 la cota superior mínima es 4  entre los elementos 2 y 5 la cota inferior máxima es 3  5 la cota superior mínima es 5 la cota inferior máxima es 2 . y así sucesvamente, para cualquier par de valores (m, n) habrá cota superior mínima = n y cota inferior máxima = m si tomamos un par de valores donde m = n coinciden las c.s.mín = c.i.Máx = m = n Se verifica entonces que ( N,  ) es láttice 12 b

35 12 b) Analizar si (N, /) es Láttice
 1 Analizaremos para algunos elementos de N y trataremos de “generalizar” las situaciones que encontremos, basándonos en propiedades conocidas 5  3   2 9   6  4 cada natural es divisible pos sí mismo, entonces es reflexiva   1 divide a cualquier natural, entonces comenzamos con el 2 y el 3 18 12 vinculamos al 2 y 3 los naturales que son múltiplos precisamente de 2 y 3 que son el 4; 6 y 9 e irán apareciendo números primos a medida que avanzamos (divisibles solamente por sí mismos y por la unidad) y continuamos buscando múltiplos de 4; 6 y 9 el y el por ejemplo y la retícula puede seguir creciendo, por tratarse de un conjunto infinito; por ejemplo el 3 y el 5 dividen a 15 Es claro que, tomados dos elementos cualesquiera siempre hay una cota inferior máxima única ( 1 )

36  1 Pero lo que parece no estar claro es si hay cota superior mínima (única) 5  3   2  la retícula parece no cerrarse cuando los valores crecen (parte inferior del grafo) 15 9   6  4 Pero tenga presente que cada vez que aparezcan en la retícula dos vértices (elementos) que parezcan “no cerrarse”; sin dudas habrá algún número natural que resulta divisible por ambos, por ejemplo el producto de ambos   18 12 Puede suceder que m = n ó bien que m  n  36 Finalmente, tomados dos elementos cualesquiera de N { m, n } Si m = n coinciden las cota sup. Mím y cota inf. Máx. que es el mismo m =n Si m  n existe siempre mínimo común múltiplo y máximo común divisor de m y n; que son respectivamente las cota sup. Mím y cota inf. Máx. de {m, n} Luego ( N,  ) es Láttice Es fácil advertir que 0 no divide a 0 Luego ésta no es una relación reflexiva y por ello no es de orden Si analizamos (N0, ) entonces ( N0,  ) NO es Láttice