Aritmética en computadora

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1 Aritmética en computadora

2 Objetivos Cómo ejecuta el hardware las operaciones básicas (suma, resta, división y multiplicación). Operaciones con números enteros. Operaciones con números reales. Universidad de Sonora

3 Suma Sumar 7 más 6: Hay que tomar en cuenta los acarreos:
Universidad de Sonora

4 Resta Restar 7 – 6. Se puede hacer directo:
O se puede usar una suma, recordando que 7 – 6 = 7 + (-6): En conclusión, la resta se puede hacer con una suma. Universidad de Sonora

5 Pero… Por cuestiones de eficiencia las sumas no se hacen bit a bit (sumador de ripple carry). Si dos bits se pueden sumar en un ciclo de reloj, dos números de n bits necesitan al menos 2n ciclos (un ciclo para la suma y otro para pasar el carry al siguiente paso). Hay algoritmos para hacer sumas rápidas. El más común se llama sumador de carry-lookahead (carry adelantado). Universidad de Sonora

6 Suma de dos números de 1 bit
C 1 S = a  b C = a . b Universidad de Sonora

7 Suma de tres números de 1 bit
Entrada: Dos números, a y b, de 1 bit. Un carry de entrada, c0, de 1 bit. Salida: La suma, S, de 1 bit. Un carry de salida, c1, de 1 bit. Universidad de Sonora

8 Sumador completo (full adder)
b c0 S c1 1 S = a  b  c0 c1 = a . c + a . b + b . c Universidad de Sonora

9 Suma de dos números de dos bits
Entrada: Un número de 2 bits, A = a1a0. Un número de 2 bits, B = b1b0. Un carry de entrada, c0, de 1 bit. Salida: La suma, S, de dos bits, S = s1s0. Un carry de salida, c2, de 1 bit. Un carry intermedio, c1, de 1 bit. Universidad de Sonora

10 Ecuaciones para los carries
La suma es el or exclusivo de ai, bi, y ci. Nos enfocamos en los carries, ci. c1 = (b0 . c0) + (a0 . c0) + (a0 . b0) c2 = (b1 . c1) + (a1 . c1) + (a1 . b1) Sustituyendo c1 en c2: c2 = (a1 . a0. b0) + (a1 . a0 . c0) + (a1 . b0 . c0) + (b1 . a0 . b0) + (b1 . a0 . c0) + (b1 . b0 . c0) + (a1 . b1) Se puede calcular c1 y c2 en paralelo. Universidad de Sonora

11 Ecuaciones para los carries
Ese razonamiento se puede extender para números de n bits (n = 8, 16, 32, 64, 128, etc.) Y calcular los n carries en paralelo. Universidad de Sonora

12 Pero… La ecuación para ci se expande conforme i crece.
Con números de dos bits se requieren: 6 compuertas AND de 3 entradas. 1 compuerta AND de 2 entradas. 1 compuerta OR de 7 entradas. Para números de 32 bits el costo del hardware y de energía es prohibitivo. Hay que buscar otra solución, aunque no sea las más rápida. Universidad de Sonora

13 Sumador de carry lookahead
Se tiene que: c1 = (b0 . c0) + (a0 . c0) + (a0 . b0) c2 = (b1 . c1) + (a1 . c1) + (a1 . b1) En general: ci+1 = (bi . ci) + (ai . ci) + (ai . bi) = (ai . bi) + (ai + bi) . ci Universidad de Sonora

14 Sumador de carry lookahead
Se reescribe la ecuación para c2: c2 = (a1 . b1) + (a1 . b1) . ((a0. b0) + (a0 + b0) . c0) Se nota que se repiten los factores (ai . bi) y (ai + bi). Se definen los factores genera (gi) y propaga (pi): gi = ai . bi pi = ai + bi Universidad de Sonora

15 Genera y propaga Se rescribe la ecuación para ci+1:
ci+1 = gi + pi . ci Si gi = 1: ci+1 = 1. Si gi = 0 y pi = 1: ci+1 = ci Universidad de Sonora

16 Genera y propaga Usando la ecuación de ci+1 se definen los carries:
c1 = g0 + (p0 . c0) c2 = g1 + (p1 . g0) + (p1 . p0 . c0) c3 = g2 + (p2 . g1) + (p2 . p1 . g0) + (p2 . p1 . p0 . c0) c4 = g3 + (p3 . g2) + (p3 . p2 . g1) + (p3 . p2 . p1 . g0) + (p3 . p2 . p1 . p0 . c0) Se pueden calcular los carries en paralelo. Las ecuaciones se complican rápidamente. Hay que buscar una forma de simplificar las ecuaciones. Universidad de Sonora

17 Usando un segundo nivel de abstracción
Suponer que se cuenta con un sumador de 4 bits con carry-lookahead. Se puede construir un sumador de 16 bits conectando 4 sumadores de 4 bits en serie (ripple). El carry de salida del sumador j se conecta al carry de entrada de sumador j + 1. El carry de entrada del sumador 0 es el carry inicial. El carry de salida del sumador 3 es el carry final. Universidad de Sonora

18 Propaga de segundo nivel
Se define la señal “súper” propaga: P0 = p3 . p2 . p1 . p0 P1 = p7 . p6 . p5 . p4 P2 = p11 . p10 . p9 . p8 P3 = p15 . p14 . p13 . p12 Universidad de Sonora

19 Genera de segundo nivel
Se define la señal “súper” genera G0 = g3 + (p3 . g2) + (p3 . p2 . g1) + (p3 . p2 . p1 . g0) G1 = g7 + (p7 . g6) + (p7 . p6 . g5) + (p7 . p6 . p5 . g4) G2 = g11 + (p11 . g10) + (p11 . p10 . g9) + (p11 . p10 . p9 . g8) G3 = g15 + (p15 . g14) + (p15 . p14 . g13) + (p15 . p14 . p13 . g12) Universidad de Sonora

20 Carries de segundo nivel
Los carries para cada sumador de 4 bits: C1 = G0 + (P0 . c0) C2 = G1 + (P1 . G0) + (P1 . P0 . c0) C3 = G2 + (P2 . G1) + (P2 . P1 . G0) + (P2 . P1 . P0 . c0) C4 = G3 + (P3 . G2) + (P3 . P2 . G1) + (P3 . P2 . P1 . G0) + (P3 . P2 . P1 . P0 . c0) Universidad de Sonora

21 Conclusión Para hacer un sumador de 16 bits con carry-lookahead se necesitan: 4 sumadores con carry- lookahead de 4 bits. 1 unidad de carry-lookahead. Los carries de entrada de cada sumador de 4 bits se toma de la unidad de carry-lookahead. Universidad de Sonora

22 Universidad de Sonora

23 Ejemplo Calcular gi, pi, Pi, Gi y el carry final (C4) al sumar los siguientes dos números de 16 bits: Se obtiene gi = ai . bi y pi = ai + bi: Universidad de Sonora

24 Ejemplo Se calculan los “súper” propaga (P0, P1, P2, P3):
Y los “súper” genera: Universidad de Sonora

25 Ejemplo Por último, el carry final (C4)
En conclusión, al sumar a y b se obtiene un carry final. Universidad de Sonora

26 Comparación Un sumador de 16 bits de ripple-carry necesita 32 ciclos.
Un sumador de 16 bits de carry-lookahead necesita 5 ciclos: 1 ciclo para obtener pi y gi en paralelo. 2 ciclos para obtener Pi y Gi en paralelo. 2 ciclos para obtener C4. Universidad de Sonora

27 Multiplicación Algoritmo clásico o multiplicación larga
Algoritmo del campesino Algoritmo de quarter square (cuartos al cuadrado) Algoritmo de Karatsuba Universidad de Sonora

28 Multiplicación Multiplicación larga Universidad de Sonora

29 Algoritmo Universidad de Sonora

30 Ejemplo Multiplicar 3 x 2 Universidad de Sonora

31 Números con signos distintos
Multiplicar 3 x (-2). Se le quita el signo al -2 y se guarda en alguna variable. Se multiplica 3 x 2 usando el algoritmo ya visto. Se multiplica el resultado por -1 para obtener -6. Universidad de Sonora

32 Algoritmo del campesino
Sean x y y dos números. i = 0 X[i] = x Y[i] = y x = x / 2  x >> 1 y = y * 2  y << 1 i++ if x > 1 goto 2 x.y = suma de Y[i] en donde X[i] sea impar Universidad de Sonora

33 Ejemplo en base 10 Obtener 24 x 5: X[i] Y[i] 24 5 12 10 6 20 3 40 1 80
24 5 12 10 6 20 3 40 1 80 El producto es = 120. Los demás se ignoran porque X[i] es par. Universidad de Sonora

34 Ejemplo en base 2 Obtener 11000 (24) x 101 (5): X[i] Y[i] 11000 101
El producto es la suma de las Y[i] en donde X[i] sea impar: = (120). Universidad de Sonora

35 Algoritmo de quarter square
Basado en la siguiente igualdad: Universidad de Sonora

36 Algoritmo de quarter square
El algoritmo es eficiente si los quarter squares se guardan en tablas. Ejemplo: Calcular 9 x 3. Se obtiene = 12 y 9 – 3 = 6. Se buscan en la tabla y se restan. 36 – 9 = 27. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |n2/4| 20 25 30 36 42 49 56 64 72 81 Universidad de Sonora

37 Algoritmo de quarter square
Implementaciones: En hardware en 1980 por E.L. Johnson (ver E.L. Johnson, "A Digital Quarter Square Multiplier", IEEE Transactions on Computers, vol. 29, pp , March 1980, En la CPU 6502 en 1995 por S. Judd (ver Universidad de Sonora

38 Algoritmo de Karatsuba
Sean x y y números de n dígitos en base B. Se desea calcular el producto xy. x y y se escriben de la siguiente forma: x = x1Bm + x0 y = y1Bm + y1 Por ejemplo 7425 en base 10 es: 7 x x1 = 7, x0 = 425 Universidad de Sonora

39 Algoritmo de Karatsuba
El producto xy se obtiene así: xy = (x1Bm + x0)(y1Bm + y0) = z2B2m + z1Bm + z0 donde: z2 = x1y1 z1 = x1y0 + x0y1 z0 = x0y0 z1 se puede también escribir: z1 = (x1 + x0)(y1 + y0) – z2 – z0 Universidad de Sonora

40 Algoritmo de Karatsuba
El producto se puede también escribir así: xy = (b2 + b)x1y1 – b(x1 – x0)(y1 – y0) + (b + 1)x0y0 Con b = Bm. Ahora se requieren 3 multiplicaciones. Ventajas: [x1|y1] << [x|y], [x0|y0] < [x|y] Los 3 productos se pueden hacer de forma recursivas. Al final se hacen productos de un dígito. Universidad de Sonora

41 Algoritmo de Karatsuba
Para números de n bits, la complejidad: Multiplicación larga es O(n2). Algoritmos de Karatsuba es O(nlog2 3  n1.6) Para números de 32 bits: 322 = 1024 32log2 3 = 243 Speedup = 1024 / 243 = 4.21 Universidad de Sonora

42 Algoritmo de Karatsuba
Para números de 1024 bits (usados en encriptación): 10242 = 1,048,576 1024log2 3 = 59,049 Speedup = / = 17.76 En 2011 Intel patentó un algoritmo basado en el de Karatsuba: Universidad de Sonora

43 Comparación Multiplicación larga vs Karatsuba.
Fuente: Universidad de Sonora

44 División Método restoring. Método non-restoring. Universidad de Sonora

45 División Nomenclatura: Universidad de Sonora

46 División Nomenclatura alterna: Universidad de Sonora

47 Método restoring Ejemplo: Obtener 4537 / 3 en base 10.
4537 tiene 4 dígitos numerados 3, 2, 1,0. 4537 – 3 x 103 = q3 = 1 1537 – 3 x 103 = q3 = 2 x 103 = restaura q3 = 1 1537 – 3 x 102 = q2 = 1 1237 – 3 x 102 = q2 = 2 937 – 3 x 102 = q2 = 3 Universidad de Sonora

48 Método restoring 637 – 3 x 102 = 337 q2 = 4 337 – 3 x 102 = 37 q2 = 5
x 102 = 37 restaura q2 = 5 37 – 3 x 101 = q1 = 1 7 – 3 x 101 = q1 = 2 x 101 = restaura q1 = 1 7 – 3 x 100 = q0 = 1 4 – 3 x 100 = q0 = 2 Universidad de Sonora

49 Método restoring 1 – 3 x 100 = -2 q0 = 3
x 100 = restaura q0 = 2 El cociente está en las qi restauradas (en rojo). El residuo está en la última operación (en verde). 4537 / 3 = 1512 (división entera). 4537 % 3 = 1 (módulo). Universidad de Sonora

50 Método restoring Ejemplo:
Obtener / 11 en base 2 (29 / 3 en base 10). 11101 tiene 5 dígitos numerados 4, 3, 2, 1, 0. 29 – 3 x 24 = q4 = 1 x 24 = restaura q4 = 0 29 – 3 x 23 = q3 = 1 5 – 3 x 23 = q3 = 2 x 23 = restaura q3 = 1 5 – 3 x 22 = q2 = 1 Universidad de Sonora

51 Método restoring -7 + 3 x 22 = 5 restaura q2 = 0
5 – 3 x 21 = q1 = 1 x 21 = restaura q1 = 0 5 – 3 x 20 = q0 = 1 2 – 3 x 20 = q0 = 2 x 20 = restaura q0 = 1 Conclusión: 11101 / 11 = 1001 (29 / 3 = 9) 11101 % 11 = 10 (29 % 3 = 2) Universidad de Sonora

52 Método restoring en Java
// Enteros positivos de 16 bits: public Point restoring(int n, int d) { int q = 0; // Cociente int p = n; // Residuo d = d << 16; for (int i = 15; i >= 0; i--) { p = 2 * p - d; if (p >= 0) { q |= 1 << i; } else { p = p + d; return new Point(q, p >> 16); Universidad de Sonora

53 Método non-restoring en Java
// Ciclo principal public Point nonrestoring(int n, int d) { int q = 0; // Cociente int p = n; // Residuo d = d << 16; for (int i = 15; i >= 0; i--) { if (p >= 0) { q |= 1 << i; p = 2 * p - d; } else { p = 2 * p + d; Universidad de Sonora

54 Método non-restoring en Java
// Parte final q = q - neg(q); p >>= 16; if (p < 0) { q--; p += (d >> 16); } return new Point(q, p); Universidad de Sonora

55 Método non-restoring Ejemplo: Dividir 29 / 3
29 en binario es y tiene 5 bits. Inicializa: q = 0, p = 29, d = 3 << 5 = 96. i = 4 p >= 0 q = q | (1 << 4) = 16 p = 2 x p – d = 2 x 29 – 96 = -38 Universidad de Sonora

56 Método non-restoring i = 3 p < 0
p = 2 x p + d = 2 x (-38) + 96 = 20 i = 2 p >= 0 q = q | (1 << 2) = 20 p = 2 x p – d = 2 x 20 – 96 = -56 Universidad de Sonora

57 Método non-restoring i = 1 p < 0
p = 2 x p + d = 2 x (-56) + 96 = -16 i = 0 p = 2 x p + d = 2 x (-16) + 96 = 64 Universidad de Sonora

58 Método non-restoring Al final del ciclo principal: q = 20 p = 64
Instrucción q = q - neg(q); 20 = 10100 neg(20) = = 11 en base 10 q = 20 – 11 = 9 r = 64 >> 5 = 2 Universidad de Sonora

59 Método non-restoring Resultado final: 29 / 3 = 9 29 % 3 = 2
Universidad de Sonora

60 Números de punto flotante
Suma Resta Multiplicación División Universidad de Sonora

61 Suma Para sumar dos números normalizados en notación científica:
Alinear los exponentes. Hacer la suma. Normalizar si es necesario. Redondear. Universidad de Sonora

62 Suma Ejemplo: sumar x x 10-1 en base 10 con cuatro dígitos. Paso 1: alinear los exponentes. Se mueve el punto decimal del número con el exponente más pequeño. 1.610 x 10-1 se convierte en x 101. Paso 2: hacer la suma: Universidad de Sonora

63 Suma La suma es 10.015 x 101. Paso 3: normalizar.
9.999 10.015 La suma es x 101. Paso 3: normalizar. x 101 = x 102. Paso 4: redondear a 4 dígitos. 9.999 x x 10-1 = x 102. Universidad de Sonora

64 Suma Fuente: COD 5, p. 205 Universidad de Sonora

65 Precisión Ejemplo: hacer 2.56 x x 102 en base 10 con 3 dígitos. Paso 1: alinear los exponentes. 2.56 x 100 se convierte en 0.02 x 102 con tres dígitos. Se perdió precisión. El standard IEEE 754 define dos bits extras, llamados guard y round, para cálculos intermedios. Universidad de Sonora

66 Precisión En realidad los números se guardan cómo x x 102. Paso 1: alinear los exponentes. x 100 se convierte x 102. Paso 2: hacer la suma 2.3400 2.3656 Universidad de Sonora

67 Precisión Paso 3: normalizar. 2.3656 x 102 ya está normalizado.
Paso 4: redondear a 3 dígitos. 2.37 x 102 2.56 x x 102 = 2.37 x 102. Universidad de Sonora

68 Algoritmo para sumar Se usa el mismo algoritmo que para números enteros. En el standard IEEE 754 la mantisa está guardada como un número binario entero. Fuente: Wikipedia ( Universidad de Sonora

69 Resta La resta se convierte en suma al poner el segundo número en complemento a 2. Universidad de Sonora

70 Multiplicación Para multiplicar dos números normalizados en notación científica: Sumar los exponentes. Multiplicar las mantisas. Normalizar si es necesario. Redondear. Universidad de Sonora

71 Multiplicación Ejemplo: multiplicar x 1010 por x 10-5 en base 10 con 4 dígitos en la mantisa y 2 en el exponente. Paso 1: sumar los exponentes. 10 + (-5) = 5. Paso 2: multiplicar las mantisas. Universidad de Sonora

72 Multiplicación 1.100 x 9.200 ------- 0000 2200 9990 --------- 10212000
Se le pone el punto decimal Universidad de Sonora

73 Multiplicación Paso 3: normalizar.
x 105 se normaliza a x 106. En este punto se checa si hay overflow o underflow. Paso 4: redondear. x 106 se convierte en x 106 con 4 dígitos para la mantisa. Universidad de Sonora

74 Algoritmo para multiplicar
Se puede usar cualquiera de los algoritmos vistos para multiplicar números enteros. Universidad de Sonora

75 División Para dividir dos números normalizados en notación científica:
Restar los exponentes. Dividir las mantisas. Normalizar si es necesario. Redondear. Universidad de Sonora

76 División Ejemplo: dividir x 100 entre x 102 en base 10 con 3 dígitos en la mantisa. Paso 1: restar los exponentes. 0 – 2 = -2. Paso 2: dividir las mantisas. 7.152 / = Paso 3: normalizar. El cociente ya está normalizado. Universidad de Sonora

77 División Paso 4: redondear.
= con 3 dígitos en la mantisa. Conclusión: 7.152 x 100 entre x 102 = x 10-2. Universidad de Sonora

78 Algoritmos de división
Se pueden usar los algoritmos de división entera. Pero hay que tener cuidado con la interpretación de los resultados. La división entera entrega el cociente y el residuo (módulo) por separado. En la división de punto flotante solo interesa el cociente (número de punto flotante) con cierta precisión. Universidad de Sonora

79 Algoritmos de división
Por ejemplo, al dividir / nos interesa que el resultado sea y no que el resultado sea cociente = 19, residuo = Una opción es la división Newton-Raphson. Universidad de Sonora

80 División Newton-Raphson
Se desea calcular a / b. Calcular 1 / b usando Newton-Raphson. Multiplicar a x (1 / b). Universidad de Sonora

81 Newton-Raphson Es un método para encontrar raíces de una función (x:f(x) = 0). Dada f(x), la derivada f’(x) y un valor inicial x0 para la raíz de f, una mejor aproximación es: Se repite el proceso: Universidad de Sonora

82 Newton-Raphson Para obtener 1 / b, se utiliza:
Sustituyendo lo anterior en la ecuación general: Universidad de Sonora

83 Newton-Raphson Universidad de Sonora

84 Ventaja Convergencia cuadrática. Ejemplo: calcular 1 / 4 con x0 = 0.2.
0.24 x2 0.2496 x3 x4 x5 0.25 Universidad de Sonora

85 Desventaja Si x0 no es una buena aproximación, el método diverge.
Ejemplo: calcular 1 / 4 con x0 = 0.51. x0 0.51 x1 x2 … x9 E8 x10 E16 x15 -Infinity Universidad de Sonora

86 Solución Tomar ventaja de que los números están normalizados:
En base 10, 1 ≤ mantisa < 10. En base 2, 1 ≤ mantisa < 2. Guardar en una tabla (o en una ROM para implementaciones en hardware) algunos inversos. Por ejemplo, para base 10. Universidad de Sonora

87 Solución Para calcular 1 / 8.25: Se toma la parte entera, 8.
Índice Inverso 1.0000 1 0.5000 2 0.3333 3 0.2500 4 0.2000 5 0.1667 6 0.1429 7 0.1250 8 0.1111 Para calcular 1 / 8.25: Se toma la parte entera, 8. Se usa ROM[7] como x0. Universidad de Sonora

88 Solución 1 / 8.25. x0 0.125 x1 x2 x3 x4 Universidad de Sonora

89 División Newton-Raphson
Para leer sobre una implementación en hardware. Gaurav Agrawal, Ankit Khandelwal. A Newton Raphson Divider Based on Improved Reciprocal Approximation Algorithm. Universidad de Sonora