Unidad 3 Geometría y Medición

Presentación del tema: "Unidad 3 Geometría y Medición"— Transcripción de la presentación:

1 Unidad 3 Geometría y Medición

2 ¿cómo podemos definirla para diferenciarla de las otras líneas
La circunferencia Entonces… ¿cómo podemos definirla para diferenciarla de las otras líneas curvas?

3 La circunferencia Una CIRCUNFERENCIA es un conjunto de puntos, que forman una línea curva, cerrada y plana que tiene la particularidad de que todos sus puntos están a la misma distancia de un punto del interior llamado CENTRO de la circunferencia.

4 La circunferencia y sus elementos
Los segmentos OA y OB son iguales, ya que los puntos A y B están a la misma distancia de O, que es el centro de la circunferencia. B A OA = OB Llamamos CENTRO de la circunferencia al punto que está a la misma distancia (equidista) de cualquiera de sus puntos.

5 La circunferencia y sus elementos
El segmento OA es un radio de la circunferencia. A O Llamamos RADIO de la circunferencia al segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.

6 La circunferencia y sus elementos
El segmento AB es una cuerda de la circunferencia. B Llamamos CUERDA de la circunferencia al segmento que une dos puntos de la circunferencia.

7 La circunferencia y sus elementos
El segmento AB es un diámetro de la circunferencia. B A Llamamos DIÁMETRO de la circunferencia al segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. También podemos decir que un DIÁMETRO es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

8 La circunferencia y sus elementos
Los segmentos OA y OB son dos radios que están sobre la misma recta. B O A AB = AO + OB Observemos que un diámetro equivale a 2 radios que están sobre la misma recta. También podemos decir que un radio es la mitad de un diámetro.

9 La circunferencia y sus elementos
La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos A y B es un arco de la circunferencia. B También podemos definir un ARCO como el trozo de circunferencia que une los dos extremos de una cuerda. Llamamos ARCO de la circunferencia al trozo de circunferencia limitado por dos puntos.

10 La circunferencia y sus elementos
La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos opuestos A y B es una semicircunferencia. A B También podemos definir la SEMICIRCUNFERENCIA como el arco que une los dos extremos de un diámetro. Llamamos SEMICIRCUNFERENCIA a un arco que equivale a media circunferencia. SEMI = MITAD

11 La circunferencia y sus elementos
GF = Secante A Recta que corta en dos puntos a la circunferencia. F C BA = Tangente Recta que toca en un punto a la circunferencia, y es perpendicular al radio. B G

12 La circunferencia y sus elementos
D H A, B, C,D, están en el exterior de la circunferencia. F, G, H, I, están en el interior de la circunferencia. I C G O r F A B Exterior de la circunferencia: conjunto de puntos, donde la distancia del punto al centro de la circunferencia, es mayor que el radio. Interior de la circunferencia: conjunto de puntos, donde la distancia del punto al centro de la circunferencia es menor que el radio.

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14 Actividades Se instala un dispositivo emisor de internet, con un alcance de 500 metros a la redonda. B R C A P F O D L

15 Posiciones Relativas de 2 circunferencias

16 Posiciones Relativas de 2 circunferencias
Circunferencia concéntricas: Son circunferencia que tienen el mismo centro y distintos radios ¿Estas circunferencia son concéntricas ?

17 Actividades Identifica todos los elementos de la siguiente circunferencia con centro O A L F C O B M D G

18 Círculo y sus elementos
El círculo es la suma de la línea (circunferencia) más la superficie de su interior. Un CÍRCULO es una figura geométrica plana formada por una circunferencia más la superficie que queda dentro de ella.

19 Círculo y sus elementos
Fíjate que al trazar dos radios, se nos forman dos sectores circulares Un SECTOR CIRCULAR es la parte del círculo limitada por dos radios y uno de sus arcos.

20 Círculo y sus elementos
Fíjate que al trazar una cuerda, se nos forman dos segmentos circulares Un SEGMENTO CIRCULAR es la parte del círculo limitada por una cuerda y uno de sus arcos.

21 Círculo y sus elementos
Fíjate que al trazar un diámetro, se nos forman dos segmentos circulares del mismo tamaño: dos semicírculos. Un SEMICÍRCULO es la parte del círculo limitada por un diámetro y uno de sus arcos.

22 Círculo y sus elementos
La superficie pintada es una corona circular. O Una CORONA CIRCULAR es la superficie limitada por dos circunferencias concéntricas.

23 Actividad Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente lo mismo que cada una de estas figuras. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la longitud de las circunferencias . Completen la siguiente tabla. Circunferencias Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm) Valor de la razón entre la longitud y el diámetro 1 2 3 4

24 Número Pi π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. El valor numérico de π, es: 3, … pi, es el número de veces que cabe el diámetro de un circulo en su circunferencia.

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26 Perímetro Circulo: r

27 Ejemplo (considerar pi = 3,14)
Para el radio de 6 cm Para el radio de 2 cm Calcular el perímetro del circulo sabiendo que su radio mide: a) 2 cm b)6 cm P= 2πr P=2(3.14)(2) P=12,56 P= 2πr P=2(3.14)(6) P=37,68 r=6cm r=2cm

28 Para el perímetro igual a 12 cm
Ejemplo (considerar pi = 3,14) Para el perímetro igual a 12 cm Calcular el radio del círculo sabiendo que su perímetro es: a) 12 cm b) 9 cm P= 2πr 12=2(3.14)r 12= 6,28r 12/6,28=r 1.910 cm=r r=? P=12 cm

29 Ejemplo (considerar pi = 3,14)
Para el perímetro igual a 9 cm P= 2πr 9=2(3.14)r 9= 6,28r 9/6,28=r 1,4331 cm=r r=? P= 9 cm

30 Calcular el perímetro del circulo sabiendo que su radio mide 3.5 cm
Ejercicios Calcular el perímetro del circulo sabiendo que su radio mide 3.5 cm Calcular el radio del circulo sabiendo que su perímetro mide 10,6 cm

31 Semicírculo: 2· π ·r + 2·r P = 2 P = π ·r + 2·r r P = 2· (π + 2)
Perímetro Semicírculo: 2· π ·r 2 P = + 2·r P = π ·r + 2·r r P = 2· (π + 2)

32 Ejemplo Calcular el perímetro del semicírculo si su radio mide 3 cm P= πr+2r P=(3,14)3+2(3) P= P=15.42 r= 3cm

33 P= πr+2r 7,8=(3,14)r+2r 7,8=r(3,14+2) 7,8=r(5,14) 7,8/5,14=r 1,5175=r
Ejemplo P= πr+2r 7,8=(3,14)r+2r 7,8=r(3,14+2) 7,8=r(5,14) 7,8/5,14=r 1,5175=r Calcular el radio del semicírculo si su perímetro mide 7,8 cm r=? P= 7,8 cm

34 Calcular el perímetro del semicírculo sabiendo que su radio mide 5 cm
Ejercicios Calcular el perímetro del semicírculo sabiendo que su radio mide 5 cm Calcular el radio del semicírculo sabiendo que su perímetro mide 8 cm

35 Sector circular: πr · α l = 180° Perímetro : ángulo central
Es un ángulo cuyos lados son radios y su vértice es el centro de la circunferencia α α πr · α 180° l =

36 πr · α l = 180° P= l +2r (3,14)5 · 95° l = P= 8,27 +2(5) 180°
Ejemplo Calcular el perímetro del sector circular si su radio mide 5 cm y su ángulo central es de 95° l = πr · α 180° l =? P= l +2r 95° l = (3,14)5 · 95° 180° r=5 cm P= 8,27 +2(5) l =8,29 cm P=18,29 cm

37 πr · α l = 180° (3,14)r · 68° 15= P= l +2r 180° (3,14)r · 68 15(180) =
Ejemplo l = πr · α 180° Calcular el perímetro del sector circular si su arco mide 15 cm y su ángulo central es de 68° 15= (3,14)r · 68° 180° P= l +2r 15(180) = (3,14)r · 68 P= 15+2(12,645) l =15cm 2700 = r P=40,29 cm 2700 213,52 =r 68° r= ? 12,645 cm =r

38 Ejercicios Calcular el perímetro del sector circular si su radio mide 7 cm y su ángulo central es de 85° Calcular el perímetro del sector circular si su arco mide 11 cm y su ángulo central es de 72°

39 Ejercicio Calcular el perímetro del sector circular si su radio mide 3 cm y su arco mide 8cm ¿ Que pasa en este caso?

40 Corona circular: + P= 2πr P= 2πR P= 2πr+2πR P= 2· π· (r + R) Perímetro

41 P= 2πr P= 2πR P= 2(3,14)(5) P= 2(3,14)(8) P=31,4 cm + P= 50,20 cm
Ejemplo Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente. Calcular el perímetro de la corona circular P= 2πr P= 2πR R= 8 cm P= 2(3,14)(5) P= 2(3,14)(8) r= 5 cm O P=31,4 cm + P= 50,20 cm P(total)= 81,6 cm

42 P= 2πr P= 2πR P= 2(3,14)(10) P= 2(3,14)(12) P=62,8 cm + P= 75,36 cm
Ejemplo Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 12 y 10 cm, respectivamente. Calcular el perímetro de la corona circular. P= 2πr P= 2πR P= 2(3,14)(10) P= 2(3,14)(12) R= 12cm P=62,8 cm + P= 75,36 cm r= 10 cm O P(total)= 138,16 cm

43 Ejercicio Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 10 y 7 cm, respectivamente. Calcular el perímetro de la corona circular. Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 9 y 3 cm, respectivamente. Calcular el perímetro de la corona circular.

44 Área Circulo: r

45 Calcular el área del circulo sabiendo que su radio mide:
Ejemplo Para el radio de 6 cm Calcular el área del circulo sabiendo que su radio mide: a) 2 cm b)6 cm Para el radio de 2 cm A= πr² A=(3.14)(6)² A=(3,14)36 A=113,04 cm² A= πr² A=(3.14)(2)² A=(3,14)4 A=12,56 cm² r=6cm r=2cm

46 Calcular el área del circulo sabiendo que su radio mide 3.5 cm
Ejercicios Calcular el área del circulo sabiendo que su radio mide 3.5 cm Calcular el área del circulo sabiendo que su radio mide 10,6 cm.

47 Área Semicírculo: π·r² 2 A = r

48 Calcular el área del semicírculo sabiendo que su radio mide 2,5 cm
(3.14)(2,5)² (3,14)(6,25) 19,625 9,8125 cm² Ejemplo A = Para el radio de 2,5 cm Calcular el área del semicírculo sabiendo que su radio mide 2,5 cm 7 cm A = A = r= 2,5 cm A = A =

49 Para el radio de 7 cm πr² 2 A = (3.14)(7)² (3,14)(49) A = 153.86
Ejemplo A = Para el radio de 7 cm A = A = r= 7 cm A = A =

50 Calcular el área del semicírculo sabiendo que su radio mide 5 cm
Ejercicios Calcular el área del semicírculo sabiendo que su radio mide 5 cm Calcular el área del semicírculo sabiendo que su radio mide 1,8 cm.

51 Área Sector circular: l α

52 πr²α 360° (3.14)(1,8)²(60°) (3,14)(3,24)(60) 360 610,416 1,6956 cm² Ejemplo A =  En un círculo de radio 1,8 cm, calcular el área de un sector circular de 60º A = A = 60° A = r=1.8 cm A =

53 Calcular el área de un sector circular de 52°, donde su arco mide 6 cm
360° (3.14)(6,61)²(52°) (3,14)(43,7)(52) 360 7135,335 19,82cm² Ejemplo A = l = πr · α 180°  Calcular el área de un sector circular de 52°, donde su arco mide 6 cm A = 6= (3,14)(52°)r 180° = (3,14)(52)r (180) A = l= 6 cm 1080= r 52° = r 1080 163.28 A = r= ? 6,61cm= r A =

54 Calcular el área de un sector circular de 34°, donde su arco mide 4 cm
Ejercicios  En un círculo de radio 5,5 cm, calcular el área de un sector circular de 60°  Calcular el área de un sector circular de 34°, donde su arco mide 4 cm

55 Área Corona circular: - A= πR² A= πr² R A= πR²-πr² r O

56 Ejemplo Para los radios 4 y 1,5 Dadas dos circunferencia concéntricas. Calcular el área de la corona circular para cuando sus radios miden 4 cm y 1,5 cm 7 cm y 3 cm R=4 cm r=1,5 cm A= πR² A=πr² A=(3,14)(4)² A=(3,14)(1,5)² A=(3,14)(16) A=(3,14)(2,25) A=50,24 cm² A=7,065 cm² - A(total)= 43,175 cm²

57 Para los radios 7 y 3 A= πR² A=πr² A=(3,14)(7)² A=(3,14)(3)²
Ejemplo Para los radios 7 y 3 R= 7 cm r= 3 cm O A= πR² A=πr² A=(3,14)(7)² A=(3,14)(3)² A=(3,14)(49) A=(3,14)(9) A=153,86 cm² A=28,26 cm² - A(total)=125,6 cm²

58 Ejercicio Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 3,3 y 4 cm, respectivamente. Calcular el área de la corona circular. Dadas dos circunferencia concéntricas de radio 5 y 9 cm, respectivamente. Calcular el área de la corona circular.

59 Actividad considere π = 3,14.
Calcula la perímetro y área de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). r = 4cm r = 0,5 cm Calcular área y perímetro de la siguiente corona circular , donde sus respectivos radios son 5 cm y 3 cm. Calcular perímetro y área del siguiente sector circular, donde su radio es de 3,5 cm y el ángulo central es de 195° 5 cm 3 cm 195°

60 Polígonos

61 El trozo de plano que queda dentro de la línea es a lo que llamamos
¿Qué es un Polígono? Si tenemos un plano Y en ese plano dibujamos una serie de segmentos, uno a continuación de otro (línea poligonal), de manera que la línea este cerrada. El trozo de plano que queda dentro de la línea es a lo que llamamos “POLÍGONO”

62 El número de lados que tiene
Clases de Polígonos Podemos clasificar los polígonos por: El número de lados que tiene ¿Cómo son sus lados? 3 lados – TRIÁNGULO 4 lados – CUADRILÁTERO 5 lados – PENTÁGONO 6 lados – HEXÁGONO 7 lados – HEPTÁGONO Etc. Todos iguales No son iguales REGULARES IRREGULARES

63 Elementos de un Polígono
Vértice Superficie o área (5) (4) (1) (3) Apotema (Distancia del centro del polígono al centro de un lado) Lado (2) Perímetro es lo que suman todos sus lados (1) (2) (3) (4) (5)

64 Polígonos inscritos Los polígonos inscritos en una circunferencia son aquellos que tiene sus vértices sobre la circunferencia. Según esto, los lados del polígono se convierten en cuerdas de la circunferencia.

65 Polígonos circunscritos
En el caso de los polígonos circunscritos a una circunferencia, los lados son tangentes a una circunferencia. La circunferencia queda “por dentro” del polígono. El radio de la circunferencia se convierte en la apotema del polígono.

66 Trazo de un polígono de n lados
Tracemos primeramente una circunferencia. Tracemos un radio al azar. El punto que se obtenga en la circunferencia será el primero de los n vértices buscados El ángulo al que se trazarán los radios es θ =360°/n Cada uno de los vértices del polígono se encontrarán trazando radios con el ángulo encontrado con la fórmula anterior La unión de estos puntos sobre la circunferencia, mediante cuerdas, formará el polígono buscado.

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68 Aproximaciones de área y perimetro

69 ¿Cuánto vale el área y el perímetro de la circunferencia?

70 r= ? 8 cm 6 cm r= ? 8 cm 12 cm TEOREMA DE PITAGORAS
Tenemos un octágono inscrito en la circunferencia de lado igual a 12 cm y con apotema igual a 8 cm. ¿Cual es la medida del perímetro y área del circulo? r= ? 8 cm 6 cm r= ? 8 cm TEOREMA DE PITAGORAS 12 cm

71 c²= a² + b² Teorema de Pitágoras c b a Triangulo rectángulo Hipotenusa
Cateto 90° a Cateto c²= a² + b²

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73 Retomando el ejercicio anterior
c²= a² + b² r²= 8² + 6² r= ? 8 cm r²= r²= 100 √r²=√100 6 cm r=10

74 Perímetro y área del circulo r=10 cm
Considerar π=3 P = 2·π·r P = 2·3·10 P = 60 cm r= ? r= 10 8 cm A = π·r² A = 3·10² 12 cm A = 300 cm²

75 c²= a² + b² x²= 12²+16² x²= 144+256 x²= 400 √x²= √400 x= 20 Ejemplo x
Calcula en el triangulo rectángulo el lado que falta x²= 12²+16² x²= x x²= 400 12 √x²= √400 16 x= 20

76 c²= a² + b² 35²= 28²+x² 1225=784+x² 1225-784=x² 441=x² √441=√x² 21=x
Ejemplo c²= a² + b² Calcula en el triangulo rectángulo el lado que falta 35²= 28²+x² 1225=784+x² =x² 28 441=x² x √441=√x² 35 21=x

77 x Ejemplo P = 6·x 96= 6·x 96 = x 6 16 cm= x r= ? 15 cm r= ? 15 cm 8 cm
¿Cual es la medida del perímetro y área del circulo? . Si el hexágono inscrito en él, tiene una apotema igual a 15 cm y su perímetro es igual a 96 cm P = 6·x r= ? 96= 6·x 15 cm 96 6 = x r= ? 15 cm 8 cm x 16 cm= x 16 cm

78 Resolver el teorema de Pitágoras
c²= a² + b² r²= 15²+8² r= ? r²=225+64 15 cm r²=289 √r²=√289 8 cm r= 17 cm

79 Resolver el área y perímetro del circulo
r= 17 cm Resolver el área y perímetro del circulo P = 2·π·r P = 2·3·17 P = 102 cm 17 cm A = π·r² A = 3·17² A = 867 cm² Considerar π=3

80 Ejercicios Calcula en cada triángulo rectángulo el lado que falta.
5 cm 48 cm x x 52 cm 24 cm x 13 cm 20 cm 12 cm 30 cm 9 cm 18 cm x x

81 Recordaremos áreas de polígonos conocidos
TRIÁNGULO h b CUADRADO l

82 Hallar área y perímetro del siguiente triangulo
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente triangulo b·h 2 A= 6 5 P= 5+8+8 P=21 8 8 5·8 2 A= A= 20

83 Hallar área y perímetro del siguiente cuadrado
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente cuadrado A= b·h A= 7·7 A= 49 P= 4·7 P= 28 7

84 RECTÁNGULO h b ROMBOIDE h A = b · h b

85 Hallar área y perímetro del siguiente rectángulo.
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente rectángulo. A= b·h A= 9·5 A= 45 P= P=28 5 9

86 Hallar área y perímetro del siguiente romboide.
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente romboide. A= b·h A= 8·5 A= 40 P= P=28 5 6 8

87 TRAPECIO b a h B POLIGONO REGULAR a x

88 Hallar área y perímetro del siguiente trapecio.
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente trapecio. (B+b)·h 2 A= 3 (9+3)·4 2 A= P= P=22 5 4 A= 24 9

89 Hallar área y perímetro del siguiente polígono regular. p·a 2 A=
Ejemplo Hallar área y perímetro del siguiente polígono regular. p·a 2 A= 12·4 2 A= P=2·6 P=12 48 2 A= 4 2 A= 24

90 Ejercicios Triangulo equilátero de base igual 3 cm y altura igual 4 cm
Hallar el perímetro y área de los siguientes polígonos. Triangulo equilátero de base igual 3 cm y altura igual 4 cm Cuadrado con lado igual a 6 cm Rectángulo de base igual a 6 cm y altura igual a 4 cm Romboide de base igual 3 cm, ancho igual a 5 cm y altura igual a 7 cm Trapecio con las bases igual a 8 cm y 2 cm, y de altura igual a 4 cm y sus lados restantes igual a 5 cm

91 Ejercicios Calcular área y perímetro de los siguientes círculos, con sus respectivos polígonos inscritos P = 910 cm r= ? r= ? 20 cm 4 cm x 6 cm

92 Hallar el área sombreada de la siguiente figura
Perímetro del cuadrado=4√2 cm 3 cm

93 Hallar el área sombreada de las siguientes figuras
2 cm 6 cm 6 cm

94 Hallar el área sombreada de las siguientes figuras
r =4 cm d =10 cm y b =8 cm diámetro =4 cm

95 Hallar el área sombreada de las siguientes figuras
8 cm

96 Ejercicios Hallar el área y perímetro de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno. El perímetro de un triángulo equilátero mide 45 cm y la altura mide 12 cm. Calcula el área del triángulo. El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la otra base? Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². Calcular el área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.

97 La longitud de la pista que lo limita. El área de este terreno.
Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m². Un estadio tiene forma de rectángulo terminado en dos semicírculos, con las dimensiones indicadas en la figura. Calcula: La longitud de la pista que lo limita. El área de este terreno. 90 m 50 m

98 Hallar el perímetro y el área del trapecio isósceles:
Calcular el área de la figura sombreada. A,B,C y D centros de circunferencias iguales, ABCD cuadrado de lado 10

99 Cilindro Un cilindro es un cuerpo geométrico
engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

100 Elementos del cilindro
Eje Es el lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Altura Es la distancia entre las dos bases. Generatriz Es el lado opuesto al eje. La generatriz del  cilindro es igual a la altura. h = g Bases Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.

101 Área del cilindro A(lateral)= 2·π·r·h A(basal)= 2·π·r² A(total)= 2·π·r·h+ 2·π·r² A(total)= A(l)+A(b) A(total)= 2·π·r·(h+r)

102 Ejemplo A(l)= 2·π·r·h A(b)= 2·π·r² A(l)= 2·3·5·20 A(b)= 2·3·5²
Calcular el área de un cilindro de diámetro igual a 10 cm y 20 cm de altura 10 cm A(l)= 2·π·r·h A(b)= 2·π·r² A(l)= 2·3·5·20 A(b)= 2·3·5² 20 cm A(t)= 750 cm² A(l)= 600 cm² A(b)=150 cm²

103 Ejemplo A(b)= 2·π·r² A(l)= 2·π·r·h A(b)= 2·3·2² A(l)= 2·3·2·7
Calcular el área de un cilindro de radio igual a 2 cm y 7 cm de altura r=2 cm A(b)= 2·π·r² A(l)= 2·π·r·h A(b)= 2·3·2² A(l)= 2·3·2·7 7 cm A(t)= 108 cm² A(b)=24 cm² A(l)= 84 cm²

104 Ejercicios El radio de la base de un cilindro mide 8 cm y la altura es el doble del diámetro. Halla el área lateral. Halla el área total del cilindro anterior. El diámetro de la base de un cilindro es de 6 m. Halla el área lateral, si la altura es el doble de la circunferencia de la base.

105 Cono Un cono es el cuerpo geométrico obtenido al hacer girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus cateto

106 Elementos del cono Eje Altura
Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Altura Es la distancia del vértice a la base. Generatriz Es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Base Es el círculo que forma el otro cateto

107 Área del cono A(lateral)= π·r·g A(basal)= π·r² A(total)=π·r·g+π·r² A(total)= A(l)+A(b) A(total)=π·r·(g+r)

108 Ejemplo A(lateral)= π·r·g A(l)= 3·15·25 A(l)= 1125 cm²
Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? A(lateral)= π·r·g g= 25 cm A(l)= 3·15·25 r= 15 cm A(l)= 1125 cm²

109 Ejemplo TEOREMA DE PITAGORAS
Calcula el área total de un cono cuya altura  mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm. g 4 g= ? h= 4 cm 3 TEOREMA DE PITAGORAS r= 3 cm

110 c²= a² + b² g²= 4² + 3² g²= 16 + 9 g²= 25 √g²=√25 g=5 g 4 cm 3 cm
TEOREMA DE PITAGORAS c²= a² + b² g²= 4² + 3² g 4 cm g²= g²= 25 √g²=√25 3 cm g=5

111 A(l)= π·r·g A(b)= π·r² A(l)= 3·3·5 A(b)= 3·3² A(l)= 45 cm²
g= 5 cm h= 4 cm A(l)= π·r·g A(b)= π·r² r= 3 cm A(l)= 3·3·5 A(b)= 3·3² A(l)= 45 cm² A(b)= 27 cm² + A(t)= 72 cm²

112 Ejercicios Halla el área lateral de un cono cuya generatriz mide 7 cm y el radio de la base 5 cm. Halla el área total del cono anterior. Calcular el área total de un cono, donde el diámetro del circulo basal, mide 4 cm y la altura mide 6 cm .

113 Volumen cilindro v= π·r²·h

114 Ejemplo v= π·r²·h v= 3·4²·11 v= 528 cmᶟ
Halla el volumen de un cilindro de 11 cm de altura y 8 cm de diámetro v= π·r²·h 8 cm v= 3·4²·11 11 cm v= 528 cmᶟ

115 Ejemplo v= π·r²·h 825= 3·5²·h 825= 75·h 825/75= h 11 cm= h
Hallar la altura de un cilindro cuyo volumen es 825 cmᶟ y el radio de la base 5 cm 5 cm 825= 3·5²·h 825= 75·h h 825/75= h 11 cm= h V= 825 cmᶟ

116 Ejercicios Averigua cual es el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro cuya área de la base mide 108 cm² y la altura 8 cm. Se ha pintado por dentro y por fuera un depósito sin tapadera de 9,7 dm de alto y 3,6 dm de radio. Teniendo en cuenta que la base solo se puede pintar por dentro, ¿Cuánto habrá costado la pintura, si cada dm² de esta cuesta $2000?.

117 Volumen cono π·r²·h 3 V =

118 π·r²·h 3 V = Ejemplo Halla el volumen de un cono de 10 cm de altura y 8 cm de diámetro 3·4²·10 3 V = 10 cm V = 160 cmᶟ 8 cm

119 π·r²·h 3 V = Ejemplo Hallar la altura de un cono cuyo volumen es 147 cmᶟ y el radio de la base 7 cm 3·7²·h 3 147= 147 = 49·h h 147 49 = h h= 3 cm 7cm

120 Ejercicios Calcula el volumen de un cono cuya
generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de 15 cm. calcular área y volumen de la siguiente figura

121 Esfera Una esfera es el cuerpo geométrico obtenido
al hacer girar una circunferencia sobre su diámetro

122 Elementos de la esfera Cuerda
Segmento que une dos puntos de la superficie esférica. Diámetro Cuerda que pasa por el centro. Polos Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica. Centro Punto interior que equidista de cualquier punto de la  superficie de la esfera. Radio Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.

123 Área de la esfera A= 4· π·r² r

124 Ejemplo A= 4· π·r² A= 4· 3·1² A= 12 m²
Halla el área de una esfera de 1 m de radio. A= 4· π·r² r= 1m A= 4· 3·1² A= 12 m²

125 Volumen de la esfera 4 3 V= · π·r² r

126 4 3 Ejemplo V= · π·r² Calcula el volumen en m3 de una esfera de 0,8 m de diámetro. 4 3 V= · 3·(0,4)² d= 0.8 m V= 4·(0,16) V= 0,64 mᶟ

127 Prisma Los prismas son  poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

128 Distancia entre las bases.
Elementos del prisma Altura Distancia entre las bases.

129 Tipos de prismas Prismas de base triangular Prisma de base pentagonal
hexagonal Prismas de base cuadrangular

130 Área del prisma A(l)= P(b)·h A(t)=A(l)+2·A(b)

131 Ejemplo A(t)=A(l)+2·A(b) A(l)= P(b)·h A(t)=168+2·16√3 A(l)= 24·7
Hallar el área de un prisma de base triangular equilátera, donde el lado de la base es igual a 8 cm y la altura del prisma es igual a 7 cm b·h 2 A(b) = c²= a² + b² A(t)=A(l)+2·A(b) Perímetro de la base: A(l)= P(b)·h 8²= 4² + h² A(t)=168+2·16√3 8·4√3 2 A(l)= 24·7 7 cm P(b)= 3·8 = h² A(b) = h A(t)=168+32√3 48= h² 8 cm P(b)= 24 cm A(l)= 168 cm² A(b) =16 √3 cm² 4√3= h

132 Volumen del prisma V= A(b)·h

133 Ejemplo V= A(b)·h V= 16√3·7 V= 112√3 cmᶟ A(b) =16 √3 cm²
Hallar el volumen de un prisma de base triangular equilátera, donde el lado de la base es igual a 8 cm y la altura del prisma es igual a 7 cm A(b) =16 √3 cm² V= A(b)·h 7 cm V= 16√3·7 h= 4√3 V= 112√3 cmᶟ 8 cm

134 Pirámide Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide

135 Elementos de la pirámide
Las aristas de la base  se llaman aristas básicas  y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales La altura segmento perpendicular  a la base, que une la base con el vértice.

136 Tipos de pirámides Pirámide de base Pirámide de base triangular
pentagonal Pirámide de base cuadrangular

137 Área de la pirámide p(b)·ap(l) 2 A(l) = A(t) = A(l) + A(b)

138 Ejemplo p(b) =16·4 p(b) =64 cm p(b)·ap(l) A(t) = A(l) + A(b) 2 A(l) =
Hallar el área de una pirámide de base cuadrada, donde el lado de la base es igual a 24 cm y la altura del prisma es igual a 6 cm p(b)·ap(l) 2 A(l) = A(t) = A(l) + A(b) p(b) =16·4 A(t) = 6cm 64·10 2 p(b) =64 cm A(l) = A(t) =576 cm² A(l) = 320 cm² 16 cm

139 Volumen de una pirámide
A(b)·h 3 V=

140 Ejemplo A(b)·h 3 V= 256·6 3 V= V= 512 cmᶟ
Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada, donde el lado de la base es igual a 24 cm y la altura del pirámide es igual a 6 cm A(b)·h 3 V= 256·6 3 V= 6cm V= 512 cmᶟ 16 cm

141 Ejercicios Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

142 Calcula el volumen  y área de una esfera de 6 m de radio.
Hallar el área y volumen de un prisma de base hexagonal, donde el lado de la base es igual a 4 cm y su apotema es igual a 3 cm y por ultimo, la altura del prisma es igual a 7 cm Hallar el área  y volumen de una pirámide de base pentagonal, donde el lado de la base es igual a 5 cm y su apotema es igual a 6 y por último la altura del prisma es igual a 6 cm