- Simplificación de funciones

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1 - Simplificación de funciones
Compuertas Lógicas - Compuertas lógicas - Algebra - Simplificación de funciones

2 Indice INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL Señales digitales
Las técnicas digitales frente a las analógicas. Un sistema punta a punta Clasificación de los circuitos digitales Estados lógicos y función lógica PUERTAS LOGICAS LA PUERTA AND LA PUERTA OR LA PUERTA NOT LA PUERTA NAND LA PUERTA NOR LA PUERTA OR EXCLUSIVA O XOR LA PUERTA NOR EXCLUSIVA O XNOR

3 FAMILIAS LOGICAS DE CIRCUITOS INTEGRADOS
MARCAS EN UN CI Familia TTL Algebra de Boole Funciones lógicas elementales Obtención de la expresión booleana de un circuito a partir del diagrama lógico. Generación de un diagrama lógico de un sistema a partir de su expresión booleana. Extracción de la expresión booleana de un circuito a partir de su tabla de verdad. Postulados del álgebra de Boole Principio de Dualidad Teoremas

4 Simplificación de funciones
Homogeneización de una función con puertas NAND Homogeneización de una expresión con puertas NOR Representación de una función Formas Canónicas SOP Formas Canónicas POS Relación Mintérminos - Maxtérminos Mapas de Karnaugh Minimización por Mapas de Karnaugh

5 INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL
El tratamiento de la información en electrónica se puede realizar de dos formas,mediante técnicas analógicas o mediante técnicas digitales. El tratamiento analógico requiere un análisis detallado de las señales, ya que éstas pueden pasar por infinidad de valores,mientras que, el concepto digital de las señales las limita a niveles o valores (el cero y el uno lógicos). La electrónica digital analiza y estudia los criterios para procesar estos niveles de forma que permitan el diseño de sistemas electrónicos que sustituyan o complementen a los analógicos. Para la fabricación de estos sistemas se recurre a los dispositivos lógicos que existen en el mercado. Estos dispositivos generalmente se encontrarán en forma de circuitos integrados y estarán diseñados basándose en una filosofía de trabajo, o lo que es lo mismo,partiendo de una familia lógica determinada. Los sistemas electrónicos se clasifican en: analógicos y digitales: 1. Los primeros trabajan con señales analógicas, que son señales continuas. 2. Los sistemas digitales son aquellos que trabajan con señales digitales, que son señales discretas.

6 Instituto de Tecnologia ORT Nº2
Señales continuas: son aquellas que pueden tomar un número infinito de valores y cambian interrumpidamente sin escalonamientos ni discontinuidades. La mayoría de las magnitudes físicas de la naturaleza varían de forma continua. Por ejemplo, la temperatura no varía de 20ºC a 25ºC de forma instantánea, sino que alcanza los infinitos valores que hay en ese rango. INDICE Ejercicios Vinculos Sistemas de numeracion Electronica II Prof.: Mischener 6

7 Señales digitales INDICE Ejercicios Vinculos
Instituto de Tecnologia ORT Nº2 Señales digitales Señales discretas son aquellas que no cambian de forma uniforme, presentan discontinuidades (varían bruscamente de un instante a otro) y sólo pueden adquirir un número finito de valores. En algunos casos interesa representar las magnitudes analógicas de forma digital. Si simplemente medimos la temperatura cada hora, obtenemos muestras que representan la temperatura a lo largo de intervalos de tiempo (cada hora). De esta forma, se ha convertido la magnitud continua en una magnitud discreta, que se puede digitalizar, representando cada valor muestreado mediante un código digital.La figura representa el resultado de muestrear la evolución de la temperatura cada hora. INDICE Ejercicios Vinculos Sistemas de numeracion 7

8 La electrónica digital emplea sistemas binarios, en los que sólo existen dos estados posibles, un nivel de tensión alto HI, llamado ‘1’ ( a veces 5V) y un nivel de tensión bajo LO,llamado ‘0’ (a veces 0V) . En los sistemas digitales la combinación de estos dos estados se denomina código y se utiliza para representar números e información en general. Un dígito se denomina bit. La información binaria que manejan los sistemas digitales aparece en forma de señales que representan secuencias de bits.

9 Las técnicas digitales frente a las analógicas.
Existe una creciente dependencia de las técnicas digitales más que de las analógicas debido a que presentan: 1) Facilidad para transmitir, procesar y almacenar información, y de forma más fiable y eficiente. 2) Mayor exactitud y precisión. La representación de una magnitud analógica que puede tomar un número infinito de valores, mediante una digital que puede tomar sólo un número finito, supone siempre una aproximación. Sin embargo el proceso de medición siempre representa una aproximación, por lo que si se realiza la aproximación digital con la definición suficiente (empleando un número alto de dígitos de precisión), las señales digitales obtenidas no deben reducir la precisión de la medición. En los sistemas analógicos la precisión está limitada, a tres o cuatro dígitos, ya que los valores de los voltajes y corrientes dependen de los componentes del circuito.

10 3) Los sistemas digitales son más fáciles de diseñar
3) Los sistemas digitales son más fáciles de diseñar. Esto se debe a que los circuitos empleados son circuitos de conmutación, donde no son importantes los valores exactos de corriente y voltaje, sino el rango donde se encuentran (ALTO o BAJO). 4) Mayor estabilidad. Se ven menos afectados por ruidos, mientras que los sistemas analógicos varían con la temperatura, por la tolerancia de los componentes, etc. 5) Flexibilidad. El comportamiento de un circuito digital se puede reprogramar fácilmente. Como inconveniente cabe destacar, que dado que las variables reales (temperatura, presión, humedad, etc.) son de carácter continuo y por tanto analógico, para realizar el procesamiento digital es necesario incorporar al sistema convertidores analógicos-digitales (A/D) y/o digitales-analógicos (D/A) que encarecen el coste del sistema.

11 Un sistema punta a punta

12 Clasificación de los circuitos digitales
Los circuitos digitales según su funcionamiento los podemos dividir en combinacionales y secuenciales: 1. Los sistemas combinacionales son aquellos en los cuales la salida sólo depende de la combinación de las entradas. 2. En los sistemas secuenciales la salida depende no sólo de la combinación de las entradas sino también del estado anterior. Son sistemas con memoria.

13 Estados lógicos y función lógica
Los elementos que constituyen los circuitos digitales se caracterizan por admitir sólo dos estados. Es el caso por ejemplo de un conmutador que sólo puede estar ENCENDIDO o APAGADO, o una válvula hidráulica que sólo pueda estar ABIERTA o CERRADA. Para representar estos dos estados se usan los símbolos ‘0’ y ‘1’. Generalmente, el ‘1’ se asociará al estado de conmutador CERRADO, ENCENDIDO, VERDADERO, y el ‘0’ se asocia al estado de conmutador ABIERTO, APAGADO o FALSO. En el circuito de la Figura se representa el estado del conmutador con la variable S y el de la lámpara con la variable binaria L. En la tabla se observa la relación entre ambas.

14 La función lógica es aquella que relaciona las entradas y salidas de un circuito lógico.
Puede expresarse mediante: 1. Tabla de verdad: Es ella se representan a la izquierda todos los estados posibles de las entradas (en el ejemplo, el estado del conmutador) y a la derecha los estados correspondientes a la salida (en el ejemplo, la lámpara). 2. Función booleana: Es una expresión matemática que emplea los operadores booleanos (en el ejemplo, L = S).

15 PUERTAS LOGICAS La puerta lógica es el bloque de construcción básico de los sistemas digitales. Las puertas lógicas operan con números binarios. Por tanto las puertas lógicas se denominan puertas lógicas binarias. En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de los voltajes de las fuentes de potencia, se agrupan en dos posibles categorías: voltaje altos y voltajes bajos. No quiere decir esto que solo se encuentren dos voltajes, si no que cierto rango de voltajes se define como alto y otro cierto rango como bajos. Entre estos dos rangos de voltajes existen existe una denominada zona prohibida o de incertidumbre que los separa. Una tensión alta significa un 1 binario y una tensión baja significa un cero binario. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando tres puertas lógicas básicas. Estas son las puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT. A partir de ellas se pueden construir otras más complejas, como las puertas: NAND, NOR y XOR.

16 LA PUERTA AND Examinando de cerca el circuito, notamos que la lampara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno de los de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lampara no se enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se muestran en la tabla . La tabla de esta figura muestra que la salida (y) esta habilitada (encendida ) solamente cuando ambas entradas están cerradas A · B = Y

17 LA PUERTA OR El encendido de la lampara se producirá si se cierra cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinaciones de los interruptores se muestran en la tabla. La tabla de verdad detalla la función OR del circuito de interruptores y lampara. A + B = Y

18 LA PUERTA NOT La salida de una puerta NOT es siempre el complementario de la entrada, de tal manera que si la entrada es ‘0’ la salida es ‘1’ y viceversa. Se conoce también como INVERSOR y posee una única entrada. El indicador de negación es un círculo ( o ) que indica inversión o complementación cuando aparece en la entrada o en la salida de un elemento lógico.

19 LA PUERTA NAND Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas . Su nombre viene de Not-AND . El símbolo lógico es una puerta AND con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta AND con el estado de salida negado.

20 LA PUERTA NOR Equivale a una puerta OR seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-OR . El símbolo lógico es una puerta OR con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al de la puerta OR con el estado de salida negado.

21 LA PUERTA OR EXCLUSIVA O XOR
La salida de una puerta OR exclusiva es verdadera (‘1’) si, y sólo si, una y sólo una de sus dos entradas es verdadera. Se asemeja a la OR, excepto que excluye el caso en que las dos entradas son verdaderas. La figura muestra un circuito equivalente. En una puerta OR exclusiva la salida será ‘1’ cuando el número de entradas que son ‘1’ sea impar. L=A Å B el símbolo Å significa la función XOR en álgebra booleana.

22 LA PUERTA NOR EXCLUSIVA O XNOR
Una compuerta NOR - exclusiva o XNOR opera en forma exactamente opuesta a una compuerta XOR, entregando una salida baja cuando una de sus entradas es baja y la otra es alta y una salida alta cuando sus entradas son ambas altas o ambas bajas. Es decir que una compuerta XNOR indica, mediante un uno lógico en su salida, cuando las dos entradas tienen el mismo estado. Esta característica la hace ideal para su utilización como verificador de igual en comparadores y otros circuitos aritméticos . C=A Å B

23 FAMILIAS LOGICAS DE CIRCUITOS INTEGRADOS
Una familia lógica es el conjunto de circuitos integrados (CI’s) los cuales pueden ser interconectados entre si sin ningún tipo de Interface o aditamento, es decir, una salida de un CI puede conectarse directamente a la entrada de otro CI de una misma familia. Se dice entonces que son compatibles. CARACTERÍSTICAS GENERALES NIVELES LOGICOS Para que un CI TTL opere adecuadamente, el fabricante especifica que una entrada baja varíe de 0 a 0.8V y una alta varíe de 2 a 5V. La región que esta comprendida entre 0.8 y 2V se le denomina región prohibida o de incertidumbre y cualquier entrada en este rango daría resultados impredecibles. Los rangos de salidas esperados varían normalmente entre 0 y 0.4V para una salida baja y de 2.4 a 5V para una salida alta. La diferencia entre los niveles de entrada y salida (2-2.4V y V) es proporcionarle al dispositivo inmunidad al ruido que se define como la insensibilidad del circuito digital a señales eléctricas no deseadas.

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25 Para los CI CMOS una entrada alta puede variar de 0 a 3V y una alta de 7 a 10V (dependiendo del tipo de CI CMOS). Para las salidas los CI toman valores muy cercanos a los de VCC Y GND (Alrededor de los 0.05V de diferencia). Este amplio margen entre los niveles de entrada y salida ofrece una inmunidad al ruido mucho mayor que la de los CI TTL. VELOCIDAD DE OPERACIÓN Cuando se presenta un cambio de estado en la entrada de un dispositivo digital, debido a su circuitería interna, este se demora un cierto tiempo antes de dar una respuesta a la salida. A este tiempo se le denomina retardo de propagación. Este retardo puede ser distinto en la transición de alto a bajo (H-L) y de bajo a alto (L-H). La familia TTL se caracteriza por su alta velocidad (bajo retardo de propagación) mientras que la familia CMOS es de baja velocidad, sin embargo la subfamilia de CI CMOS HC de alta velocidad reduce considerablemente los retardos de propagación.

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27 FAN-OUT O ABANICO DE SALIDA
Al interconectar dos dispositivos TTL (un excitador que proporciona la señal de entrada a una carga) fluye una corriente convencional entre ellos. Cuando hay una salida baja en el excitador, este absorbe la corriente de la carga y cuando hay una salida alta en el excitador, la suministra. En este caso la corriente de absorción es mucho mayor a la corriente de suministro. Estas corrientes determinan el fan-out que se puede definir como la cantidad de entradas que se pueden conectar a una sola salida, que para los CI’s TTL es de aproximadamente de 10. Los CI’s CMOS poseen corrientes de absorción y de suministro muy similares y su fan-out es mucho mas amplio que la de los CI’s TTL. Aproximadamente 50.

28 MARCAS EN UN CI Dependiendo del fabricante, un CI puede presentar distintas demarcaciones en la parte superior del mismo, pero una marca común en un CI TTL es como la que se describe a continuación: Un ejemplo de numero de circuito de un CI TTL puede ser el DM74ALS76N. Veamos como se decodifica este numero: DM: Las primeras letras identifican al fabricante (National Semiconductor) 74: Los dos primeros números indican la serie (serie 7400) ALS: Estas letras indican la subfamilia TTL (Schottky avanzada de baja potencia) 76: Los números siguientes especifican la función (doble flip-flop JK) N: El sufijo N indica que es un CI encapsulado en doble linea

29 Familia TTL

30 Algebra de Boole Proporciona una notación para describir funciones lógicas y define un número de operaciones que se pueden realizar con el fin de simplificarlas. El álgebra de Boole define variables, constantes y funciones para describir sistemas binarios, y una serie de teoremas que permiten manipular expresiones lógicas. · Constantes booleanas: Se definen dos: ‘0’ (estado FALSO) y ‘1’ (VERDADERO). · Variables booleanas: Son magnitudes que pueden tomar diferentes valores en diferentes momentos. Pueden representar señales de entrada o de salida y reciben nombres de caracteres alfabéticos como: A, B, X, Y. Sólo pueden tomar los valores ‘0’ o ‘1’. · Funciones booleanas: Describen el comportamiento del sistema. Cada operación lógica (suma, multiplicación, negación, ...) posee una notación en el álgebra booleana.

31 Funciones lógicas elementales

32 Obtención de la expresión booleana de un circuito a partir del diagrama lógico.
El método más sencillo es escribir sobre el diagrama la salida de cada puerta lógica.

33 Generación de un diagrama lógico de un sistema a partir de su expresión booleana.
Considerar la expresión: La función tiene tres componentes unidos por la función OR, por tanto, la salida vendrá de un puerta OR de tres entradas. Las entradas de esta puerta serán los tres componentes de la expresión: la 1ª , AB proviene de una puerta AND de dos entradas A y B ; la 2ª de una NAND de entradas A y B, y la 3ª de una puerta NOR de dos entradas.

34 Extracción de la expresión booleana de un circuito a partir de su tabla de verdad.
Esta expresión se ha extraído de la tabla tan sólo mediante la descripción de los estados de A y B para cada línea en la que C es ‘1’ y uniéndolos mediante la función OR. Se genera un mintermino por cada fila de la tabla de verdad donde la salida es ‘1’. 1. El mintermino contiene el producto de cada variable de entrada en orden. La entrada está no negada si para esa combinación es un ‘1’ y negada si es un ‘0’. 2. La expresión global para la función lógica es suma de los minterminos.

35 Se genera un maxterminos por cada fila de la tabla de verdad en la que la salida es ‘0’.
1. El maxtermino contiene la suma de cada variable de entrada en orden. La entrada está no negada si es un ‘0’ y negada si es un ‘1’ (al contrario que en mintermino). 2. La expresión global para la función lógica es producto de los maxterminos. Para el ejemplo anterior sería: La función canónica es aquella en la que están presentes en cada mintermino o en cada maxtermino todas las variables de entrada, es decir, está sin simplificar.

36 Postulados del álgebra de Boole
Existe elementos 0 y 1, tal que, para a K : a + 0 = a (elemento neutro) a  1 = a (elemento identidad) Postulado 3: Ley Conmutativa Para a y b K : a + b = b + a a  b = b  a

37 Postulado 4: Ley Asociativa,
Para a, b y c K : a + ( b+c ) = ( a + b ) + c a  ( b  c ) = ( a  b )  c Postulado 5: Ley Distributiva a + ( b  c ) = ( a + b)  (a + c) a  ( b + c ) = ( a  b ) + ( a  c) Postulado 6: Ley Distributiva Para a K : a + a’ = b) a  a’ = 0

38 Principio de Dualidad Establece que si una expresión es valida en el álgebra de boole, entonces su expresión dual también lo es. Determinamos la expresión dual remplazando los operadores + por  y viceversa y todos los elemento 0 por 1 y viceversa. Ejemplo: a + ( b  c ) = 1, expresión su dual es a  ( b + c ) = 0

39 Teoremas Teorema 1: Idenpotencia Demostración:

40 Teorema 2: Elemento neutro para + y 
Demostración:

41 Teorema 3: Involución Demostración:

42 Teorema 4: Absorción Demostración:

43 Teorema 5: Demostración:

44 Teorema 6: Demostración:

45 Teorema 7: Demostración:

46 Teorema 8: Teorema de Morgan
En general:

47 Teorema 9: Consenso Demostración:

48 Simplificación de funciones
Mediante la aplicación de los teoremas. Para simplificar una expresión algebraica se pueden aplicar los teoremas booleanos vistos con anterioridad.

49 Homogeneización de una función con puertas NAND
A menudo es más sencillo y económico a la hora de realizar un circuito emplear sólo un tipo de puerta lógica. En varias familias lógicas las puertas NAND son las más simples, por lo que resulta útil poder construir circuitos usando sólo éstas. En primer lugar hay que negar dos veces toda la expresión: Y aplicar el 1º teorema de DeMorgan:

50 Homogeneización de una expresión con puertas NOR
Se niega dos veces toda la función: Se aplica el 2º teorema de DeMorgan:

51 En cambio si quiero homogeneizar con compuertas NAND partiendo de:
Se niega dos veces cada elemento del producto y dos veces toda la expresión: Se aplica el 1º teorema de DeMorgan:

52 En cambio si quiero homogeneizar con compuertas NOR partiendo de:
Se niega dos veces cada sumando y dos veces toda la función: Se aplica el 2º teorema de DeMorgan:

53 Representación de una función
Formas Canónicas: Son formas SOP y POS con características especiales. Existe una única forma canónica para cada función de conmutación. Mintérmino: es un término producto (and) para una función de n variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar. Ejm: Maxtérmino: es un término suma (or) para una función de n variables, en donde cada una aparece bien sea complementada o sin complementar.

54 Formas Canónicas SOP a b c f Relación con la tabla de verdad: 0 0 0 1
Relación con la tabla de verdad: Cada mintérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables que tienen 1 no están complementadas Las variable que tienen 0 aparecen complementadas

55 Formas Canónicas POS a b c f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
Relación con la tabla de verdad: Cada maxtérmino esta asociado con la línea de la tabla, tal que: Las variables que tienen 0 no están complementadas Las variable que tienen 1 aparecen complementadas

56 å Especificación decimal: SOP: POS: f ( a , b , c ) = a × b × c + a ×
1 3 7 å f ( a , b , c ) = m ( 2 , 3 , 6 , 7 )

57 Relación Mintérminos - Maxtérminos

58 Mapas de Karnaugh Mapa de Karnaugh de dos entradas
Es un método gráfico de representación de la información que se encuentra en la tabla de verdad. Permite simplificar una función booleana de manera sencilla. En un mapa de Karnaugh cada combinación posible de entradas está representada por una caja dentro de una rejilla, y el valor correspondiente de la salida se escribe dentro de la caja. Las cajas están escritas de forma que al cambiar de una a otra sólo varía una de las entradas. Mapa de Karnaugh de dos entradas

59 Mapa de Karnaugh de tres entradas

60 Mapa de Karnaugh de cuatro entradas

61 Minimización por Mapas de Karnaugh
Coloque 1’s en las celdas correspondientes a los mintérminos de la función, Agrupe en un elipse lo mas grande posible, en conjuntos rectangulares o cuadrados de 1’s, # de 1’s en cada conjuntos debe ser potencia de 2, Se permite crusar elipses. El térmico producto resultante tendrá: Si la variable es 1 => incluya la variable, Si la variable es 0 => incluya la variable complementada, Si la variable es tanto 0 y 1 => no incluya la variable. Las elipses correspondientes a los términos productos se llaman “implicantes primos”.

62 Ejemplos:

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