Fís. Abraham Vilchis Uribe©

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1 Fís. Abraham Vilchis Uribe©
Apuntes para el Laboratorio de 1 MEDICIONES E INCERTIDUMBRES Fís. Abraham Vilchis Uribe©

2 ¿Cómo navegar en estos Apuntes?
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3 Método Subjetivo Método Objetivo MEDICIONES
MAPA CONCEPTUAL Sí, entonces asignamos Desviación estándar media (objetivo) Incertidumbre absoluta o tolerancia (subjetivo) No, entonces asignamos ¿El número de mediciones es mayor o igual a 10? ¿N≥10? para para para para para Mediciones Directas Reproducibles Mediciones Directas Mediciones Indirectas Mediciones Directas No Reproducibles Mediciones Indirectas Calculamos Calculamos Calculamos Calculamos Calculamos Promedio: Error: Dif. Total Promedio: Error: Desv. est. media: Promedio: Error: Desv. est. media: Promedio: Incertidumbre: Ix: mitad de la mínima escala o tolerancia Promedio: Incertidumbre: Ix = Li Salida Salida Salida Salida 68 % de probabilidad “Aproximadamente” “Aproximadamente” 68% de probabilidad

4 Mediciones Ir a Ejemplo 1 Ir a Ejemplo 2
MEDIR:es un proceso mediante el cual se busca asignar un número a una cantidad física determinada. Ir a Ejemplo 1 Ir a Ejemplo 2

5 Ejemplo 1: medición directa
MEDIR: la LONGITUD de un campo de fútbol. mínimo 90 m. maximo 120 m.

6 Ejemplo 2: medición indirecta
MEDIR: la constante de la gravitación G Conociendo F, las masas: m y M; y la separación: r, se despeja la constante G de la fórmula de la fuerza de atracción: Péndulo de torsión r mM G F Û = ( ) 2 11 kg Nm 10 x 0.3 6.7 G - =

7 Número De Mediciones Para obtener una medición con su incertidumbre absoluta: Es suficiente con tener menos de diez mediciones, inclusive una sola es suficiente, dado que se trabaja con la: Escala del aparato o con su tolerancia. Para obtener una medición con su desviación estándar: Es preciso contar con una muestra representativa de los posibles valores: Esto lo aseguramos midiendo la cantidad, al menos: Diez veces bajo las mismas circunstancias experimentales

8 Incertidumbre o Tolerancia Definiciones Preliminars
En todo proceso de medición se cometen errores que los podemos clasificar como: ERRORES SISTEMÁTICOS: son aquellos que se pueden evitar y suceden en una misma dirección, es decir, siempre se mide por exceso o por defecto. ERRORES ALEATORIOS: son aquellos que no se pueden evitar, pero sí se pueden minimizar midiendo al menos diez veces la cantidad bajo las mismas circunstancias experimentales. Estos errores suceden en ambas direcciones: por exceso y por defecto indistintamente. Por ejemplo: una distracción al tomar la lectura del el aparato. Durante el desarrollo del proceso experimental se cometerán ambos tipos de error indistintamente y se debe ser muy cuidadoso con su manejo. De tal manera que medir bien o efectuar una: MEDICIÓN BIEN HECHA: es aquel proceso en el que se han eliminado todos los errores sistemáticos y se han minimizado al máximo todos los errores aleatorios.    EXACTITUD: se dice que toda medición bien hecha es exacta, pero puede diferir en precisión. PRECISIÓN: es el número de cifras significativas que se conocen de una cantidad cualquiera y usualmente nos las brinda el aparato de medición. Ir a Ejemplo  Ir a Ejemplo  Ir a Ejemplo  Ir a Ejemplo  Ir a Ejemplo  Continuar: Incertidumbre o Tolerancia 

9 Error Sistemático, Ejemplo
Báscula bien calibrada Báscula descalibrada ERROR SISTEMÁTICO: un ejemplo típico es el error de calibración, es decir, cuando el aparato no mide cero apropiadamente. Por ejemplo, considere una báscula que no está calibrada, entonces siempre medirá de más o de menos, según sea el monto de tal descalibración.

10 Error Aleatorio, Ejemplo
ERROR ALEATORIO: un ejemplo típico es el que se comete al tomar la lectura con un cronómetro, es decir, el tiempo de respuesta al iniciar o detener el aparato: algunas veces se comenzará a medir antes y otras veces después; de tal manera que algunas veces se medirá de más y otras veces de menos.

11 Exactitud y Precisión, Ejemplos
Medición bien hecha: se midió un espesor con: A) Flexómetro: e = 2.1 ± 0.05 cm. B) vernier: e = ± cm. Ambas mediciones, A) y B), están bien hechas porque se eliminaron todos los errores sistemáticos y se minimizaron al máximo los errores aleatorios, es decir, ambas: Son EXACTAS porque se midieron cuidadosamente, pero difieren en: PRECISIÓN: la medición A) tiene precisión de un milímetro, y la medición B) tiene precisión de un veinteavo de milímetro. En otras palabras, la medición A) tiene menos cifras significativas que B): A) tiene menor precisión que B).

12 Incertidumbre o Tolerancia
INCERTIDUMBRE ABSOLUTA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que denota el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IL, Im, It, para la incertidumbre de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica la precisión del aparato y el tamaño del intervalo dentro del cual puede estar el valor real de la medición, con cierta confianza. Usualmente se le asigna un valor igual a la mitad de la mínima escala.  . TOLERANCIA: es la cantidad que asigna el fabricante de un aparato para cuantificar el error asociado a las mediciones efectuadas con dicho aparato. Usualmente se muestra en el propio aparato o se especifica en el manual. Cuando aparece sustituye a la incertidumbre absoluta. INCERTIDUMBRE RELATIVA: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que incluye una R mayúscula y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: IRL, IRm, IRt, para la incertidumbre relativa de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica cuánto error se tiene por cada unidad que se mide con un método determinado; se calcula como: incertidumbre absoluta, dividida entre el valor medio de la cantidad. Matemáticamente: INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: se denota de mediante una I latina mayúscula a la cual se pone un subíndice que incluye un signo de % y el nombre de la cantidad a la que se le está asignando el error: I%L, I%m, I%t, para la incertidumbre porcentual de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica el porcentaje de error respecto de la media. Matemáticamente: Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

13 Incertidumbre Absoluta, Ejemplo
Una compañía fabricante de controles reporta las siguientes especificaciones para juntas de acero. Observa que se muestra el nombre de la cantidad con sus unidades, un valor promedio y un error o incertidumbre (+/-) que proporciona la confianza en la medición. En este caso, la incertidumbre tiene un valor de: IJ = ± 0.5 mm. La medición se reportará entonces de la siguiente manera: J =12.0 ± 0.5 mm. Steel Ball Joints B1 B2 B3 B4 B5 B6 B8 B9 J (+/-) 12.0mm 0.5mm 13.0mm 0.2mm 16.0mm 0.25mm NO K (+/-) 9.0mm 0.3mm 12.5mm 0.5mm 16.5mm 0.5mm 20.0mm 0.5mm PIN Nombre de la cantidad Error Unidades Valor promedio

14 Tolerancia, Ejemplo La mayoría de las veces el fabricante especifica el grado de error que se obtiene al medir con determinado aparato. En este caso, el micrómetro que se ilustra posee una tolerancia de ± mm ; de tal manera que al medir, por ejemplo, un espesor de mm, esta medida se reportará como a = ± mm. Tolerancia

15 Incertidumbre Relativa, Ejemplo
Tomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta donde: J =12.0 ± 0.5 mm. La incertidumbre relativa se calcula como: Nota que no tiene unidades porque se cancelan al efectuar la división. La cantidad se reporta como: J =12.0 mm ± 0.04. Este número indica que se tiene 0.04 de error por cada mm medido con este método. En otras palabras, éste método es bueno para medir milímetros, pero ya no es bueno para medir, por ejemplo: 1.5 m, porque el error crece hasta: mm = (1500mm)(.04) por cada metro medido.

16 Incertidumbre Porcentual, Ejemplo
Tomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta con: J =12.0 ± 0.05 mm. La incertidumbre porcentual se calcula entonces como: Este valor nos indica el error respecto del valor promedio, y se reporta como: J =12.0 mm ± 4 %.

17 Mediciones Directas Reproducibles
MEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales. Ir a ejemplo 

18 Mediciones Directas Reproducibles EJEMPLO
Se desea medir la temperatura corporal de una persona sana. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas durante una semana, siempre a la misma hora y en el mismo lugar. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura: Tc = ± 0.03 ˚C. Es decir, se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales.

19 Mediciones Directas NO Reproducibles
MEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que NO se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales. Ir a ejemplo 

20 Mediciones Directas NO Reproducibles EJEMPLO
Se desea medir la temperatura corporal de una persona enferma. Para ello se utiliza una termocámara realizándose varias lecturas a lo largo del día para ver la evolución de la enfermedad. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura: Tc = 39 ± 2 ˚C. Es decir, NO se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales dado que la enfermedad evoluciona.

21 Mediciones Indirectas
Son aquellas que presumen el conocimiento de una o más mediciones directas y se obtienen efectuando un cálculo matemático utilizando dichas mediciones directas. Ir a ejemplo 

22 Mediciones Indirectas. Ejemplo.
Se desea establecer el peso que deberá soportar una estructura de 160 m2 de área al ser techada con lámina acanalada. El fabricante proporciona la siguiente información: P = ± kg/m2. De esta manera, la estructura debe soportar un peso de: We = 160*P*g <=> We = 8161 ± 8 N. Perfil de lámina acanalada Ir a cálculo 

23 Mediciones Indirectas. Cálculo.
Al multiplicar cantidades con error: We = 160*P*g. 160*P = 160*(5.21 ± 0.005) =. 160*P = 160* 5.21 ± 160* = ± 0.8 N. 160*P*g = (833.6 ± 0.8 )(9.79) =. 160*P*g = 833.6*9.79 ± 0.8*9.79 = ± 7.83 N. De esta manera, la estructura debe soportar un peso de: We = 8161 ± 8 N.

24 Cálculos Para Mediciones Directas Reproducibles
Para calcular el valor central o promedio: ; Donde xi son los valores de los diferentes datos, y n es el número de datos. Para asignar error reportando la incertidumbre absoluta, ix: Ix = mitad de la mínima escala del aparato que se esté utilizando. PRECAUCIÓN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersión de los datos experimentales. Para asignar error utilizando la tolerancia, ix: Ix = tolerancia, monto del error que asigna el fabricante a las mediciones hechas con determinado aparato. Ojo, la tolerancia sustituye a la incertidumbre absoluta. PRECAUCIÓN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersión de los datos experimentales. Ir a ejemplo  Ir a ejemplo 

25 CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: Ejemplo Con Incertidumbre
Se medió la longitud de un perfil de aluminio con un flexómetro obteniéndose los siguientes resultados: L1 = cm; L2 = 10.1 cm; L3 = cm. Así pues, la longitud promedio será: La mínima escala del flexómetro es: 0.1 cm. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es: Ix = 0.1/2 = 0.05 cm. El valor reportado para la longitud: L = 10.1 ± 0.05 cm. Ver Foto →

26 Medición Con Flexómetro
Perfil de aluminio Flexómetro Medición: L1 = cm Mínima escala del aparato: 0.1 cm

27 CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: Ejemplo Con Tolerancia
Se medió el volumen de un líquido con una probeta, obteniéndose los siguientes resultados: V1 = 40 ml; V2 = 40.5 ml; V3 = 40.5 ml ; V4 = 39.5 ml. El volumen promedio será: La probeta posee una tolerancia de: Ix = 0.6 ml. El valor reportado para el volumen: V = 40.1 ± 0.6 ml. Ver Foto →

28 Medición Con Probeta Medición: V1 = 40 ml Tolerancia: 0.6 ml Error
Se mide en la parte más baja del menisco Error reportado por el fabricante

29 Cálculos Para Mediciones Directas No Reproducibles
El valor promedio se calcula como: ; donde Li es el límite inferior, es decir, el valor más pequeño de la medición, y Ls es el límite superior, es decir, el valor más alto de la medición El error se calcula como: Ir a ejemplo 

30 CÁLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES Ejemplo
Se midió con un termómetro la temperatura ambiente a lo largo del día obteniéndose los siguientes valores: La temperatura promedio será: El error en la temperatura será: El valor reportado de la temperatura será: T = 16 ± 3 ˚C Cant./# 1 2 3 4 5 T, ± 0.05, ˚C 12.5 14.3 16.2 18.7 15.4

31 Cálculos Para Mediciones Indirectas
Sea la función f = f( x, y, z ,...), que depende de las variables x, y, z,…; medidas como: El valor promedio de la función será: ; es decir, la función f evaluada en los promedios de las variables El error calculado de la función (εf ) se obtiene utilizando el método de la diferencial total: Evaluándola en los promedios y en las incertidumbres correspondientes. Ir a ejemplo 

32 CÁLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTAS Ejemplo
Se tiene un resorte de constante, k = ± 0.07 N/m. Se desea conocer qué elongación soportará ante una fuerza de: F = 32.7 ± 0.1 N. Suponiendo obedece a la ley de Hooke: F = -kx. K = ± 0.07 N/m CALCULAR 

33 CÁLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTAS Ejemplo
Despejando para la elongación: La elongación promedio: El error en la elongación: Así pues, el valor reportado para la elongación: x = ± m. Evaluando en los promedios Obteniendo la diferencial total Evaluando la diferencial total

34 Salida De Mediciones Directas
Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: C = ± IC u Nombre de la cantidad Valor Central o promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

35 Nombre de la Cantidad El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la cantidad medida. Por ejemplo, si se desea medir una temperatura, una letra representativa será: T, es decir: T = 27.5 ± 0.5 ˚C

36 Valor Central o Promedio
El valor central o promedio se establece de acuerdo con el tipo de medición que se esté manejando: Mediciones directas reproducibles: Mediciones directas no reproducibles: EJEMPLO: t = 31.2 ± 0.2 s

37 Error El error se asignará de acuerdo con el tipo de medición que se esté llevando a cabo: Mediciones directas reproducibles: Incertidumbre: mitad de la mínima escala. Tolerancia: según reporte el fabricante. Mediciones directas NO reproducibles: IC = Li EJEMPLO: V = 12.7 ± 0.3 ml

38 Unidades EJEMPLO: T = 27.5 ± 0.5 ˚C EJEMPLO: t = 31.2 ± 0.2 s
Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: EJEMPLO: T = 27.5 ± 0.5 ˚C Termómetro EJEMPLO: t = 31.2 ± s Cronómetro EJEMPLO: V = 12.7 ± ml Probeta

39 Cifras Significativas
Se establecerán en base a la precisión de la medición o al error. El redondeo se hará desde la última cifra y subirá a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedará más claro. Se midió con el flexómetro: = 16.1 cm ; IL = 0.05 cm. Entonces, la longitud se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: L = 16.1 ± 0.05 cm. En total la cantidad tendrá tres cifras significativas. 2. Se midió con el cronómetro: = s ; It = 0.2s. El tiempo se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: t = 5.1 ± 0.2 s. En total la cantidad tendrá dos cifras significativas.

40 Salida De Mediciones Indirectas
Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: f = ± If u´ Nombre de la cantidad Valor Central o promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

41 Nombre De La Cantidad El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la función medida. Por ejemplo, si se desea medir una Área, la letra representativa será: A, es decir: A = ± 0.03 m2.

42 Valor Central O Promedio
Se calcula evaluando la función en los valores promedio de las variables. Consideremos a la función f que depende de las variables x, y, z, etcétera: f = f(x, y, z,…); Donde las variables están medidas como: El valor promedio será: Ir a ejemplo→

43 Valor Central O Promedio EJEMPLO
Se calcula evaluando la función en los valores promedio de las variables. Consideremos a la función densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V. r = r(M, V), M = 17.2 ± 0.05 g; V = 19.5 ± 0.6 ml. El valor promedio será: Ir a valor de la densidad→

44 Error El error se asignará obteniendo la diferencial total: sea la función f = f(x, y, z,…); Donde las variables están medidas como: El error se calcula de la siguiente manera: Es decir, se deriva respecto de la primera variable tomándose todas las otras variables como constantes, y luego se multiplica por su incertidumbre correspondiente. Se continúa derivando hasta que se completan todas las variables; Evaluándose, entonces, en los valores promedio y las incertidumbres. Ir a Cálculos más usuales → Ir a ejemplo→

45 Error, EJEMPLO El error se asignará obteniendo la diferencial total: Consideremos a la función densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V. , con: M = 17.2 ± 0.05 g; V = 19.5 ± 0.6 ml. El error será: Calculando la Diferencial total Ir a valor de la densidad→ Evaluando la Diferencial total

46 El Valor Reportado Para La Densidad Será:
ρ = 0.88 ± 0.03 g/ml Valor central o promedio (Ir a Cálculo)→ Error (Ir a Cálculo)→

47 Cálculos Más Usuales Sean las cantidades experimentales: SUMA: RESTA:
MULTIPLICACIÓN: MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR: DIVISIÓN:

48 Suma , Justificación  Regresar Ir a ejemplo→
En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, Y). La función explícita es f = X+Y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error  Regresar Ir a ejemplo→

49 Suma , Ejemplo Se desea medir una longitud, L, mayor a 40 cm y se dispone de una regla de 30 cm. Así, se debe utilizar más de una vez el aparato. Es razonable pensar que el error en la medición aumentará tantas veces como se utilice este aparato. Dado que se utiliza la regla dos veces, la primera vez será nuestra «x», y la segunda vez será nuestra «y», de la siguiente manera: x = 30 ± 0.05 cm, y = 27.7 ± 0.05 cm. x + y = ( ) ± ( ) cm. L = x + y = 57.7 ± 0.1 cm. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

50 Resta , Justificación  Regresar Ir a ejemplo→
En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, Y); Y la función explícita es f = X -Y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error  Regresar Ir a ejemplo→

51 Resta, Ejemplo Se desea medir una masa de agua utilizando una báscula y una probeta. 1. Al medir la masa de la probeta seca se obtuvo: y = ± 0.05 g. 2. Medir la masa de la probeta con agua se obtuvo: x = ± 0.05 g. x = ± 0.05 g, y = ± 0.05 g. x - y = ( ) ± ( ) g. m = x - y = 39.6 ± 0.1 g. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

52 Multiplicación , Justificación
En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, y). La función explícita es f = x *y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error  Regresar Ir a ejemplo→

53 Multiplicación, Ejemplo
Se quiere medir el área de un rectángulo: A =x*y. x = 17.3 ± 0.1 mm, y = 8.7 ± 0.1 mm. x * y = (17.3 * 8.7) ± (8.7* *0.1). A = x * y = 151 ± 3 mm2. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

54 Multiplicación Por Un Escalar , Justificación
En este caso, la función depende de UNA variables: f = f(x); Y la función explícita es f = a *x. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error  Regresar Ir a ejemplo→

55 Multiplicación Por Un Escalar, Ejemplo
Se desea medir el perímetro de un cículo conociendo su diámetro, x: P = π*x. x = 17.3 ± 0.1 cm. a* x = (3.1415* 17.3) ± ( *0.1). P = a * x = 54.4 ± 0.3 cm. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

56 División , Justificación
En este caso, la función depende de dos variables: f = f(x, y). La función explícita es f = x /y. Con esto calculamos: Valor central o promedio Error  Regresar Ir a ejemplo→

57 División, Ejemplo Se desea estimar la rapidez constante de un móvil que partió del origen: v = x / y. x = 1.33 ± m, y = 2.1 ± 0.2 s. Valores Ecuación Cálculo Valor reportado

58 Unidades EJEMPLO: A = 17.51 ± 0.03 m2 EJEMPLO: ρ = 0.88 ± 0.03 g/ml
Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: EJEMPLO: A = ± 0.03 m2 Área EJEMPLO: ρ = 0.88 ± 0.03 g/ml Densidad EJEMPLO: V = 2.7 ± m3 Volumen

59 Cifras Significativas
3. Se midió el volumen: = mm3 ; IV = mm3. El volumen se reportará con DOS cifras significativas después del punto decimal: V = ± 0.08 mm3. En total la cantidad tendrá cuatro cifras significativas. 4. Se midió el área: = cm2 cm2; IA = cm2. El área se reportará con CERO cifras significativas después del punto decimal: A = ± 12 cm2. En total la cantidad tendrá cinco cifras significativas.

60 Desviación Estándar Media
Es una manera de asignar error a una cantidad medida experimentalmente. Es una mejor alternativa para la incertidumbre absoluta o para la Tolerancia cuando se cuenta con un número grande (N≥ 10) de mediciones realizadas bajo las mismas condiciones experimentales. Proporciona la estimación más confiable para el valor de la cantidad medida. Calcula la probabilidad de encontrar el «valor real» para dicha cantidad dentro de un intervalo conocido. Continúa 

61 Desviación Estándar Media
Es un método estadístico que utiliza únicamente los valores experimentales medidos para encontrar una cantidad determinada estimando el valor más probable para su error. Se necesita conocer la distribución de probabilidad que describe al experimento. En física, usualmente, una buena aproximación para ésta es la distribución NORMAL O GAUSSIANA. Ir a ejemplo 

62 DESVIACIÓN ESTÁNDAR MEDIA, Ejemplo
d = ± cm Así pues, podemos decir que el «valor real» para esta cantidad se encuentra dentro del intervalo: a 37.1 cm con un 68 % de probabilidad; dado que se reporta una desviación estándar, y el experimento está descrito por una distribución normal. Gráficamente: Nombre = promedio ± desviación estándar unidades 37.07 37.04 37.1 Frecuencia Eventos Área que representa el 68 % de probabilidad. Distribución Normal o Gaussiana Desviación Estándar

63 Mediciones Directas (Objetivo)
Son aquellas que se realizan comparando directamente el patrón de medida con el objeto a medir. Se deben tomar, al menos, diez de estas mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. Por ejemplo, se midió la masa de diez tapones de plástico con una báscula, obteniéndose la siguiente tabla: No de Tapón 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m, ± 0.05, g 7.2 7.15 7.25 Ir a Cálculo 

64 Mediciones Directas, Cálculo (Objetivo)
Calculamos el valor central o promedio de la masa: Calculamos la desviación estándar media de la masa: Smm = g Ir a Formato estándar 

65 Mediciones Directas, SALIDA (Objetivo)
Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: Ejemplo: m = ± g C = ± SC u Nombre de la cantidad Valor Central o promedio Error Unidades Cifras significativas adecuadas

66 Nombre El nombre de la cantidad se escoge procurando que:
Sea breve y Represente a la cantidad medida. Por ejemplo, si se desea medir una masa, una letra representativa será: m, es decir: m = 7.20 ± 0.01 g.

67 Valor Promedio El valor central o promedio se calcula mediante el promedio aritmético: Por ejemplo: m = 7.20 ± 0.01 g

68 Error (Objetivo) El error se asignará calculando la desviación estándar media: Por ejemplo: m = 7.20 ± 0.01 g

69 Unidades, Ejemplo Las unidades las establece el aparato con el que se midió dicha cantidad: m = 7.20 ± 0.01 g Báscula

70 Cifras Significativas (Objetivo)
Se establecerán en base a la precisión de la medición o al error. El redondeo se hará desde la última cifra y subirá a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedará más claro. Se midió con un flexómetro: = 1.15 cm ; SmL = cm. Entonces, la longitud se reportará con UNA cifra significativa después del punto decimal: L = 1.1 ± 0.1 cm. En total la cantidad tendrá dos cifras significativas. 2. Se midió con el cronómetro: = s ; St = s. El tiempo se reportará con DOS cifras significativa después del punto decimal: t = 5.13 ± 0.04 s. En total la cantidad tendrá tres cifras significativas.

71 Mediciones Indirectas (Objetivo)
Son aquellas que presumen el conocimiento de una o más mediciones directas con sus respectivas desviaciones estándar, y se obtienen efectuando un cálculo matemático utilizando dichas mediciones directas. Por ejemplo: se desea medir la densidad de un cilindro de aluminio; para ello, se midieron las siguientes cantidades: La masa: m = ± 0.02 g. El volumen: V = ± 0.9 mm3. Se utilizó la siguiente ecuación: Ir a cálculo 

72 Mediciones Indirectas (Objetivo) Cálculo.
Dado que una medición indirecta se calcula, es preciso conocer entonces una función que defina este cálculo. Sea f una función que depende de las variables x, y z, etcétera: f = f(x, y, z, ...); donde: El valor central o promedio de la función se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total: Ir a ejemplo 

73 Mediciones Indirectas (Objetivo) Ejemplo.
Aquí la función es: ; que depende de las variables: m y V; donde: m = ± 0.02 g; V = ± 0.9 mm3. El valor central o promedio de la función se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total: Ir a Formato estándar 

74 Mediciones Indirectas, SALIDA (Objetivo)
Toda medición se reporta con el FORMATO ESTÁNDAR: Ejemplo: ρ = ± g/mm3 f = ± Sf u Nombre de la Cantidad Valor Central Error Unidades Cifras Significativas

75 Mediciones Indirectas Nombre
El nombre de la cantidad se escoge procurando que: Sea breve y Represente a la cantidad medida. Por ejemplo, si se desea medir la densidad, una letra representativa será: ρ, es decir: ρ = ± g/mm3.

76 Mediciones Indirectas Valor Central o Promedio
El valor central o promedio se calcula evaluando la función enlos valores promedio: Por ejemplo: ρ = ± g/mm3.

77 Mediciones Indirectas Error (Objetivo)
El error se asignará calculando la desviación estándar media: Por ejemplo: ρ = ± g/mm3.

78 Mediciones Indirectas Unidades, Ejemplo
Las establecen las unidades de las cantidades con la que se calculó dicha función: ρ = ± g/mm3.

79 Mediciones Indirectas Cifras Significativas
Se establecen a partir de la primera cifra que tiene error, por ejemplo: 3. Se midió el volumen: = mm3 ; IV = mm3. El volumen se reportará con DOS cifras significativas después del punto decimal: V = ± 0.08 mm3. En total la cantidad tendrá cuatro cifras significativas. 4. Se midió el área: = cm2 cm2; IA = cm2. El área se reportará con CERO cifras significativas después del punto decimal: A = ± 12 cm2. En total la cantidad tendrá cinco cifras significativas.