Teoría de Colas “El tiempo que la población de un país pierde al esperar en la colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia.

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1 Teoría de Colas “El tiempo que la población de un país pierde al esperar en la colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía.”

2 Introducción Ejemplos de esperas Ejemplo Resultados
Personas esperando ser atendidas Calidad de vida, perdida de tiempo de trabajo. Maquinas esperando ser reparadas Perdida de producción Vehículos (camiones, barcos) esperando descarga Retrasos en envíos subsecuentes Aviones que esperan despegar o aterrizar Desorganizar programación posterior de vuelos Transmisiones de telecomunicaciones saturadas Fallas inesperadas en los datos Esperas en los procesos de fabricación Perturbación de la producción subsecuente Retrasos en trabajos de servicio Pérdida de negocios futuros

3 Introducción Teoría de colas:
Estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera. Estos modelos son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre los costos de servicios y la cantidad de espera.

4 Agenda Introducción Proceso de nacimiento y muerte
Modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte Modelos de colas con distribuciones no exponenciales Redes de colas

5 1. Introducción Fuente de entrada Cola Mecanismo de servicio
Sistema de colas Proceso básico de colas Fuente de entrada Cola Mecanismo de servicio Clientes Clientes servidos Fuente de entrada Tamaño (finito, infinito) Patrón de generación Tiempo entre llegadas Nº de clientes hasta el tiempo t Comportamiento delos clientes Cola Número máximo admisible (finito, infinito) Disciplina de la cola Orden para seleccionar a los que esperan en la cola (FIFO, LIFO, prioridad, aleatorio, etc.) Con o sin interumpciones Mecanismo de servicio Medio de servicio (paralelo) Disposición de los medios Tiempo de servicio (exponencia, degenerada, erlang (gamma), etc.)

6 Proceso de colas elemental
1. Introducción Proceso de colas elemental Mecanismo de Servicio S C Clientes Cola Clientes servidos Sistema de colas

7 Proceso de colas elemental
1. Introducción Proceso de colas elemental Persona Pareja Máquina Producto Clientes tipo Una Persona Varias Personas Máquina Servidores tipo

8 1. Introducción Sistemas de servicio comercial
Peluquerías, cajas de banco o supermercado, reparación de aparatos domésticos, maquina de monedas, gasolinera, etc. Sistemas de servicio de transporte Vehículos clientes: semáforo, camión esperando cargar, avión esperando aterrizar, etc. Vehículos servidor: taxis, camiones de bomberos, elevadores, etc. Sistemas de servicio interno Sistemas de manejo de materiales, mantenimiento, etc. Sistemas de servicio social Sistema judicial, sistema legislativo, sistema de salud pública, etc. Sistemas personales Tareas, libros por leer, etc.

9 Etiquetación de los modelos
1. Introducción Etiquetación de los modelos Distribución de tiempos de servicio Número de servidores / Distribución de tiempos entre llegadas En lo cual las distribuciones se denota con… M = distribución exponencial (markoviana); también se llama Poisson D = distribución degenerada (tiempos constantes) Ei = distribución Erlang (parámetro de forma = i) G = distribución general (permite cualquier distribución arbitraria)

10 Análisis Asintótico (Estado estable)
1. Introducción Análisis Asintótico (Estado estable) Cuando un sistema de colas apenas inicia su operación, es estado del sistema (el número de clientes en el sistema) se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio. Se dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria. Una vez que ha pasado suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia, independiente del estado inicial y del tiempo trascurrido. Así se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable. La teoría de colas tiende a dedicar su análisis a la condición de estado estable, en parte porque el caso transitorio es analíticamente más difícil.

11 Terminología y notación
1. Introducción Terminología y notación Parámetros Estado Aleatorias (NSis es una discripción suficiente; es decir que NCola se puede deducir de NSis, dado s) Análisis Asíntotico

12 Terminología y notación (Hillier, 9ª Ed.)
1. Introducción Terminología y notación (Hillier, 9ª Ed.) Van a encontrar la siguiente notación en el libro de Hillier, 9a Ed. : L = número esperado de clientes en el sistema  nSis Lq = número esperado de clientes esperando en la cola  nCola W = tiempo esperado que un cliente entrante pasará dentro del sistema  tSis Wq = tiempo esperado que un cliente entrante pasará en la cola  tCola Ediciones anteriores tienen aun otra notación.

13 Terminología y notación
1. Introducción Terminología y notación Si λj es constante para toda j, se denota λ . Si la tasa media de servicio por servidor ocupado es constante para toda j > 1, se denota μ. En este caso μj = sμ cuando j > s μj = jμ cuando j < s sμ cuando j > s En este caso: Tiempos entre llegadas esperados y los tiempos de servicio esperados, respectivamente. Factor de utilización para la instalación de servicio, es decir, la fracción de capacidad del servicio que esta siendo utilizado en promedio por los clientes que llegan

14 1. Introducción Análisis Asintótico
Relaciones entre nSis, nCola, tSis y tCola (1) (2) (3) (Fórmula de Little) en lo cual, Una vez que tenemos uno de los valores asintóticos, los tenemos todos , por las fórmulas 1-3.

15 1. Introducción Análisis Asintótico
La fórmula de Little tiene dos formas equivalente. En primero, Dividiendo por , y aplicando las fórmulas (1) y (2), tenemos

16 2. Proceso de nacimiento y muerte
La mayor parte de los modelos elementales de colas se basan en el proceso de nacimiento y muerte. Nacimiento = llegada de un nuevo cliente al sistema Muerte = salida del cliente servido NSis(t): estado del sistema en el tiempo t (t > 0), número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia NSis(t) al aumentar t. Los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema.

17 2. Proceso de nacimiento y muerte
Suposiciones: Dado NSis(t) = j, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro λj, (j = 0,1,2,…). Dado NSis(t) = j, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro μj, (j = 0,1,2,…). La variable aleatoria de la suposición 1 y de la suposición 2 son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es: j j + 1 (un solo nacimiento) j  j – 1 (una sola muerte) Dependiendo de cuál de las dos variables es más pequeña El proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo

18 2. Proceso de nacimiento y muerte
Proceso de nacimiento puro: (no tiene muerte, j = 0) (los super-conejos, por ejemplo) 1 2 3 j-1 j j+1 λ0 λ1 λ2 λ3 λj λj-1 Proceso de muerte pura: (no tiene nacimiento, j = 0) 1 2 3 j-1 j j+1 μ1 μ2 μ3 μ4 μj μj+1 μj-1

19 2. Proceso de nacimiento y muerte
1 2 3 j-1 j j+1 λ0 λ1 λ2 λ3 λj λj-1 μ1 μ2 μ3 μ4 μj μj+1 μj-1 λj+1 Muchas veces se supone que hay un Estado Estacionario, (lo cual no alcanzamos en el ejemplo de los super-conejos) Contemos las veces en el tiempo que el sistema ENTRA a un cierto estado y las veces en que el sistema SALE del mismo estado. PRINCIPIO CLAVE: TASA DE ENTRADA = TASA DE SALIDA Llegada/Servicio/Servidores/Capacidad/Población

20 2. Proceso de nacimiento y muerte
Ecuaciones de Balance: Estados (0) y (1) λ0 μ1 1 λ0 λ1 μ2 μ1

21 2. Proceso de nacimiento y muerte
Ecuaciones de Balance: Estados (n) j-1 λj-1 μj μj-1 λj-2

22

23 2. Proceso de nacimiento y muerte
Series típicas

24 3. Modelos de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte
Caso M/M/1 Caso M/M/s Caso M/M/1/ k / ∞ Caso M/M/s/ k / ∞ Caso M/M/1/ ∞/ n Caso M/M/s/ ∞/ n CAPACIDAD FINITA POBLACION FINITA

25 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1 : j-1 j j+1 λ μ 1 2 λ μ Se nota que Se requiere la condición para poder llegar a un estado estacionario (De otra forma nSis = nCola = tSis = tCola = )

26 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1 : Luego, se aplican las fórmulas generales,

27 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Ejercicio 1 Los clientes llegan a un sistema de colas de un servidor según un proceso de Poisson con tasa media de 10 por hora. Si el servidor trabaja continuamente, el número de clientes que puede servir en una hora tiene distribución Poisson con media de 15. Determine la proporción del tiempo durante el cual nadie espera servicio.

28 Caso M/M/1 Proporción del tiempo durante el cual nadie espera servicio:

29 Ejercicio 2 Todos los pasajeros y su equipaje tienen que ser revisados para investigar si no llevan armas. Suponga que 10 pasajeros por minuto, en promedio, llegan al aeropuerto de GC (los tiempos entre llegadas son exponenciales). Para investigar si los pasajeros llevan armas, el aeropuerto debe contar con un punto de revisión que consta de un detector de metales y un aparato de rayos X. Se requieren dos empleados siempre que el punto de revisión está en operación. Un punto de revisión puede verificar un promedio de 12 pasajeros por minuto (el tiempo para revisar a los pasajeros es exponencial). Si se supone que el aeropuerto tiene solo un punto de revisión, conteste: a.- ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar antes de ser revisado en busca de armas? b.- ¿Cuántos pasajeros, en promedio, hacen fila para pasar al punto de revisión?

30 Solución Ejercicio 2 Caso M/M/1
¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar antes de ser revisado en busca de armas? Cuenta con 1 servidor, con tiempo de servicio exponencial (No importa que haya dos etapas) Luego la probabilidad pedida es:

31 b) ¿Cuántos pasajeros, en promedio, hacen fila para pasar al punto de revisión?
Se quiere conocer el valor de nCola:

32 Ejercicio Nº 3 (Arrendar Fotocopiadora)
3. Modelos de colas basados en el proceso N y M Ejercicio Nº 3 (Arrendar Fotocopiadora) Un departamento pretende determinar si arrienda una fotocopiadora lenta o una rápida. El departamento opina que el tiempo de un empleado vale 15 $/hr. El arriendo de la máquina lenta es de 4 $/hr, y un empleado requiere un promedio de 10 minutos para completar el copiado (tiempo exponencial). El arriendo de la máquina rápida es de 5 $/hr y a un empleado le toma un promedio de 6 minutos terminar el copiado. Un promedio de 4 empleados por hora necesita usar la fotocopiadora (tiempos exponenciales). ¿Cuál Fotocopiadora arrendar?

33 Solución Ejercicio 3

34 Solución Ejercicio 3

35 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/s : (j > s) 1 2 λ μ 2μ 3μ s-1 sμ j-1 j j+1 s+1 s

36 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/s :

37 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1/k/ ∞ : CAPACIDAD FINITA 1 2 λ μ j-1 k-1 k j+1 j

38 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1/k/ ∞ : CAPACIDAD FINITA

39 Ejercicio Nº 4 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Considere un sistema de colas de un servidor donde algunos clientes potenciales desisten (se rehusan a entrar al sistema) y algunos que entran más tarde se impacientan y se van (sin recibir el servicio). Los clientes potenciales llegan según un proceso Poisson con tasa media de 4 por hora. Un cliente potencial que al llegar encuentra j clientes desistirá con las siguientes probabilidades: Los tiempos de servicio tienen distribución exponencial con media 1 hora. Un cliente que ya está en servicio nunca desiste, pero los clientes en la cola lo hacen. En particular el tiempo que un cliente al principio de la cola está dispuesto a esperar antes de desistir tiene distribución exponencial con una media de 1 hr. Para un cliente en la segunda posición en la cola, el tiempo que espera antes de desistir tiene una distribución exponencial con media 2 hr. Calcula lo siguiente: a.- Distribución de estado estable del número de clientes que están en el sistema. b.- Fracción esperada de clientes potenciales que se pierden porque desisten.

40 Solución Ejercicio 4 Podemos comparar este j particular, y lo del caso clásico de M/M/1/3, v/s (particular) (clásico) En el caso particular, se baja la tasa de entrada aún antes que el sistema se llena. Comparemos también los j , v/s (particular) (clásico, s = 1)

41 Solución Ejercicio 4 Ya tenemos listo las fórmulas para los casos clásicos de M/M/1/k, para cualquier capacidad k =1, 2, 3, … (Vamos a ver fórmulas aún más generales, de M/M/s/k para cualquier s = 1, 2, 3,… y cualquier k = s, s+1, s+2, …) Por este caso particular tendremos que trabajar directamente con las ecuaciones balances Encontrar la distribución probabilística de estados, {P0, P1, P2, P3} Balance alrededor del estado 0: P0 = 1P1 Balance alrededor del estado 1: (1+2)P1 = 4P0 + 2P2 Balance alrededor del estado 2: (2+1)P2 = 2P1 + (5/2)P3 Balance alrededor del estado 3: No es necesario, sería redundante Condición de totalidad: P0 + P1 + P2 + P3 = 1

42 Solución Ejercicio 4 es de encontrar la distribución probabilística de los estados {P0, P1, P2, P3} Utilice las balances para exprimir P1, P2 y P3 en termino de P0, 4P0 = P1 3P1 = 4P0 + 2P2 3P2 = 2P1 + (5/2)P3 P1 = 4P0 P2 = [3P1 - 4P0]/2 = ([12 -4]/2) P0 = 4P0 P3 = [3P2 - 2P1](2/5) = [12 -8](2/5) P0 = (8/5)P0 Ahora se aplique la ecuación de totalidad para despejar P0, P0 + P1 + P2 + P3 = 1 P0 + 4P0 + 4P0 + (8/5)P0 = 1 (53/5)P0 = 1 P0 = 5/53 P0 = 5/53 P1 = 20/53 P2 = 20/53 P3 = 8/53 Luego, P1 = P2 = 4P0 y P3 = (8/5)P0 nos da la distribución

43 Solución Ejercicio 4 Proporción de llegadas que desisten = (0 ∙ P0) + (½ ∙ P1) + (¾ ∙ P2) + (1 ∙ P3) = 33/53 = 62,2% !!!!!!!!! Tasa de desistir = (Tasa de llegadas)  (Proporción que desisten) = λ  (33/53) = 2,49 clientes potenciales por hora

44 Ejercicio Nº 5: (Paquetes de Datos Internet)
3. Modelos de colas basados en el proceso N y M Ejercicio Nº 5: (Paquetes de Datos Internet) Llega un promedio de 125 paquetes de información por minuto a un selector de vía para Internet. Se requiere un promedio de segundos para procesar un paquete de información. El diseño del selector de vía permite tener una memoria temporal limitada para almacenar mensajes en espera. Cualquier mensaje que llegue cuando esta memoria está llena, se pierde. Si suponemos que los tiempos entre llegadas y de servicio siguen una distribución exponencial, ¿de qué tamaño debe ser la memoria temporal para tener la certeza de que se pierde, cuando mucho un mensaje en un millón?

45 Solución: Supongamos que la capacidad del sistema será k, entonces un mensaje se pierde cuando esta capacidad esta llena, entonces estamos frente a un M/M/1/k/  y, de acuerdo al problema: Pk < 10-6 Como: Entonces: ya que  = 125 [paq/min] y  = [paq/min], da  = 1/240 k Pk 1 4,15∙10-3 2 1,73∙10-5 3 7,20∙10-8 Se necesita k = 3 paquetes, para asegurar que Pk < 10-6

46 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/s/k/ ∞ : CAPACIDAD FINITA 1 2 λ μ 2μ 3μ s-1 sμ k-1 k s+1 s

47 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/s/k/ ∞ : CAPACIDAD FINITA

48 Ejercicio Nº 6 (Burbujas partidas, …)
3. Modelos de colas basados en el proceso N y M Ejercicio Nº 6 (Burbujas partidas, …) Considere un sistema de colas con dos clases de clientes, dos servidores para atenderlos y sin cola. Los clientes potenciales de cada clase llegan según un proceso Poisson con tasa media de 10 clientes/hr para la clase 1 y 5 clientes/hr para la clase 2, pero estas llegadas se pierden si no pueden entrar a servicio de inmediato. Cada cliente de la clase 1 que entra al sistema recibirá servicio de cualquiera de los dos servidores que esté desocupado, donde los tiempos de servicio tienen distribución exponencial con tasa media de 5 min. Cada cliente de la clase 2 que entra al sistema requiere la atención simultanea de los dos servidores (los dos trabajan juntos como un servidor), donde los tiempos de servicio tienen distribución exponencial con media de 5 min. Entonces, un cliente de este tipo se pierde a menos que ambos servidores estén libres para servirlos de inmediato. Para cada clase de cliente, ¿Cuál es la fracción esperada de llegadas que no pueden entrar al sistema?

49 Solución Ejercicio 6 Con un tipo de cliente, sería un sistema clásico de M/M/s/k. Pero con dos tipos de clientes, tendremos que trabajar con las ecuaciones de balance.

50 Solución Ejercicio 6 (En vez de aplicar lo matricial, se puede poner {P0,1 P1,0 P2,0} en termino de P0,0, luego aplicando la totalidad P = 1 para despejar P0,0, como lo hicimos en el ejercicio anterior)

51 Solución Ejercicio 6

52 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
POBLACION FINITA Caso M/M/1/ ∞ /n : 1 2 λ λ (n-1)/n λ (n-2)/n μ n-1 n λ (2/n) λ(1/n)

53 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1/ ∞ /n : POBLACION FINITA Permutación

54 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1/ ∞ /n : Ojo, Hillier utilice un “lambda especial” pero solo por los casos de población finita, Especial = (0/n) La gracia de ser consistente con los  es que se puede recuperar M/M/1, tomando el limite de n ∞ Dicho de otra forma, las fórmulas que Hillier presenten una inconsistencia entre (M/M/1/ ∞ /n) y (M/M/1), y entre (M/M/s/ ∞ /n) y (M/M/s) Pero nuestras fórmulas sí son consistente, siempre con   0 POBLACION FINITA

55 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
Caso M/M/1/ ∞ /n : Es clave calcular P0 porque otras cantidades siguen de P0 POBLACION FINITA Podemos despejar la suma, En caso de que n es medio grande, no es necesario incluir todos los términos, solo hasta n’  n ,por lo cual empiece a ser pequeño

56 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
POBLACION FINITA Caso M/M/s/ ∞ /n : 1 2 λ λ(n-1)/n λ(n-2)/n μ 2μ 3μ s-1 λ(n-s+1)/n sμ n-1 n λ(2/n) λ/n s+1 λ(n-s-1)/n s λ(n-s)/n De nuevo, las fórmulas de Hillier son diferentes (inconsistentes) porque utilicen otro lambda, (0)

57 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
POBLACION FINITA Caso M/M/s/ ∞ /n : Permutación Combinación Para s ≈ 1 Para s ≈ n

58 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
POBLACION FINITA Caso M/M/s/ ∞ /n :

59 3. Modelos de colas basados en el proceso N y M
POBLACION FINITA Caso M/M/s/ ∞ /n : Igual que antes, es clave calcular P0 porque otras cantidades siguen de P0 Ahora hay dos sumas: En la primera suma, en caso de que s sea medio grande, no es necesario incluir todos los términos, solo hasta s’  s-1 por lo cual sea pequeño En la segunda suma, en caso de que (n-s) sea medio grande, no es necesario incluir todos los términos, solo hasta n’  n por lo cual sea pequeño

60 Ejercicio Nº 7 (Lavandería)
3. Modelos de colas basados en el proceso N y M Ejercicio Nº 7 (Lavandería) Una lavandería tiene cinco lavadoras. Una máquina se descompone una vez cada cinco días. Un mecánico es capaz de reparar la lavadora en un promedio de 2,5 días. Tres mecánicos están en servicio, por ahora. El dueño de la lavandería tiene la opción de reemplazarlos con un supertrabajador, que puede reparar una lavadora en un promedio de 5/6 de día. El salario del supertrabajador es igual al pago de los tres empleados regulares. Los tiempos de descomposturas y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Debe la lavandería reemplazar a los tres trabajadores por el supertrabajador?

61 Solución: Según lo planteado en el problema, se debe comparar, calculando los nSis de cada opción, ya que como los salarios de las dos alternativas son iguales, nos quedaremos con la alternativa que tenga un menor promedio de lavadoras en el sistema en cualquier momento, ya que eso te traducirá en una mayor cantidad de lavadoras trabajando para la empresa, y por tanto mayores utilidades. λ = tasa máxima de descomposiciones = λ0 = 5 máquinas  (1 descomposición por máquina, cada 5 días) = 5  1/5 descomposiciones por día = 1 desc/por día Caso 1 es M/M/3//5. (3 trabajadores) s = n =  = 2/  = λ/(s) = 5/6 Con (s/n) = 1/2 (/n) = 1/6

62 Solución: Tenemos Con s = 3 n = 5  = 5/6 (/n) = 1/6 P0 = 0,12926

63 El supertrabajador es mejor
Solución: Caso 2 es M/M/1//5. (1 supertrabajador) n =  = 6/  = λ/ = 5/6 El supertrabajador es mejor = 1,1624

64 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
En algunos casos, tanto llegadas como salidas pueden no distribuirse de manera Poisson o exponencial. El análisis matemático de modelos de cola con distribución no exponenciales resulta más difícil. MODELO M/G/1 Este modelo asume que las llegadas son a un solo servidor y se distribuyen Poisson. Sin embargo, no hay restricciones en la distribución del tiempo de servicio. Solo se debe calcular la media 1/m y varianza s2 de la distribución. Luego: (Falta solo el Pj, lo cual depende de la distribución del tiempo de servicio)

65 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
MODELO M/D/1 Cuando el servicio consiste en una misma rutina para todos los clientes, tiende a existir poca variación en el tiempo de servicio requerido. Este modelo asume que los tiempos de servicio son constantes (no hay variabilidad) y las llegadas se distribuyen Poisson con tasa de llegada l. Luego: Para obtener Pj, se puede utilizar la simulación

66 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
MODELO M/Ei/1 Quizás el servicio se descompone en i etapas, en lo cual cada es un proceso markoviano, y cada tiene la mismo tiempo esperado En este caso, el tiempo de servicio se distribuye Erlang. Luego: Nota que E1 = M OTROS MODELO Claro que se puede considerar estos mismos modelos, con s > 1 Existan otros modelos , e.g. D/Ei/s , Ei/Ej/s, etc. que no suponen que el proceso de entrada sea Poisson Por estos casos, se han producido gráficos

67 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
M/M/S (En este caso el grafico no es esencial porque ya tenemos las formulas) nSis

68 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
M/D/S nSis

69 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
M/Ei/2 nSis

70 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
D/M/S nSis

71 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
Ei/M/2 nSis i i i

72 Ejercicio Nº 8 (Servicio por pareja)
4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales Ejercicio Nº 8 (Servicio por pareja) Los clientes llegan a un sistema de colas de dos servidores según un proceso de Poisson con tasa media de 8 por hora. Si un servidor trabaja continuamente, el número de clientes que puede servir en una hora tiene distribución Poisson con media de 5 clientes por hora. a) En el estado estacionario, ¿Cuántos clientes se esperen ver en el sistema? ¿Cuántos clientes se esperen ver en la cola? b) Repite el inciso anterior, pero ahora con la suposición de que los clientes siempre entran en el sistema por pareja.

73 Solución Ejercicio 8 La parte a) sigue directamente de las fórmulas de M/M/2, con = 8 y  = 5  = /s = 0.8 El la parte b), el gráfico nos da Luego,

74 4. Modelos de colas con distribuciones no exponenciales
Ei/M/2 nSis i i i

75 5. Redes de Colas Propiedad de Equivalencia:
Suponiendo un sistema que cuenta con s servidores, un proceso de entradas Poisson con parámetro λ y la misma distribución de los tiempos de servicio para cada servidor con parámetro μ (modelo M/M/s) con sμ>λ. Entonces, la salida en estado estable de esta instalación de servicio también será un proceso Poisson con parámetro λ .

76 5. Redes de Colas Observaciones:
- La propiedad no hace suposiciones sobre la disciplina de la cola (FIFO, LIFO, etc.) - Los clientes servidos dejan la instalación de servicio con un proceso Poisson (si los clientes tienen que pasar a otra instalación para continuar con su servicio, esta segunda instalación también tendrá entradas Poisson).

77 Colas infinitas en serie:
5. Redes de Colas Colas infinitas en serie: Suponiendo que todos los clientes deben recibir servicio en una serie de m instalaciones, en una secuencia fija y que cada instalación tiene una cola infinita, es decir, sin límite en el número de clientes que acepta. De esta manera, las instalaciones en serie forman un sistema de colas infinitas en serie. Suponiendo además, que los clientes llegan a la primera instalación de acuerdo a un proceso Poisson con parámetro λ y que cada instalación i (i=1, 2,…, m) tiene la misma distribución exponencial de tiempos de servicio con parámetro μi, para sus si servidores, en donde si μi> λ. Por la propiedad de la equivalencia se puede decir que cada instalación de servicio tiene entrada Poisson con parámetro λ.

78 Colas infinitas en serie:
5. Redes de Colas Colas infinitas en serie: Si se utiliza un modelo M/M/s para obtener las medidas de desempeño para cada instalación independiente, en lugar de analizar la interacción entre las instalaciones, se tiene una simplificación enorme, ya que por ejemplo, la probabilidad de tener n clientes en una instalación en particular está dada por Pj, donde la probabilidad conjunta de j1 clientes en la instalación 1, j2 clientes en la instalación 2, etc., es entonces, el producto de las probabilidades individuales obtenidas de esta manera sencilla: Formula:

79 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
El siguiente gráfico es de un flow-shop en lo cual las piezas tienen que pasar por cada etapa, de (1) hasta (4). El producto final sale de la etapa (4) y pasa a la inspección. En promedio, 75% de los productos aprueban la inspección para pasarse al distribuidor, y lo demás se bota. Se empieza a producir una nueva pieza desde la materia prima, cada vez que llega un pedido. El tiempo entre un pedido y el siguiente pedido sigue una distribución exponencial, con una tasa promedio de 2,2 pedidos por día.

80 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
Las características de cada etapa están descritas en la siguiente tabla: Etapa Nº servidores Tasa esperada (piezas/día/servidor) (1) Corte Bruto 1 4,4 (2) Corte Fino 4 0,6 (3) Tratamiento de Superficies 2 1,2 (4) Pintura 0,9 Se ha notado por estudios anteriores que el tiempo de servicio sigue una distribución exponencial para cualquier servidor en el sistema.

81 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
a) Verifique que haya capacidad suficiente en cada etapa del flow-shop. ¿Dónde se podría eliminar un servidor sin afectar la tasa global de producción? b) Determine cuál es la tasa promedio que se mandan productos al distribuidor si… (i) La tasa máxima de inspección es infinita (ii) La tasa máxima de inspección es de 2 piezas por día c) En cualquier momento, ¿cuál es la probabilidad de que haya cola en la etapa 1? d) En cualquier momento, ¿cuál es la probabilidad de que haya un total de dos piezas en las etapas 1 y 2?

82 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
a) Verifique que haya capacidad suficiente en cada etapa del flow-shop. ¿Dónde se podría eliminar un servidor sin afectar la tasa global de producción? Capacidad (piezas/día) 4,4 2,4 3,6 Etapa Nº servidores Tasa esperada (piezas/día/servidor) (1) Corte Bruto 1 4,4 (2) Corte Fino 4 0,6 (3) Tratamiento de Superficies 2 1,2 (4) Pintura 0,9 Todas las capacidades superan a la tasa de pedidos que es 2,2. Además, se podría cerrar un servidor de pintura (4), y todavía capacidad suficiente

83 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
b) Determine cuál es la tasa promedio que se mandan productos al distribuidor si… (i) La tasa máxima de inspección es infinita (ii) La tasa máxima de inspección es de 2 piezas por día Si la tasa de inspección es infinita, la balance de flujo lleva a que los 2,2 p/día que entran, también van a salir con una tasa promedia de 1,65 p/día. Si la tasa de inspección es de 2 piezas por día, allí se formará un cuello de embotellamiento, que lleva a una tasa de salida promedia de 1,5 p/día. (Además se espere una cola infinita que se acumulará en la etapa de inspección, aparte de si que el sistema sea modificada)

84 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
c) En cualquier momento, ¿cuál es la probabilidad de que haya cola en la etapa 1? Corresponde a un sistema de MM1 con  = 2,2 y  = 4,4 Entonces  = 0,5 Se pide P(N1 > 1) = 1 – P(N1 = 0) – P(N1 = 1) = 1 – (1-0,5) – (0,5)(1-0,5) = 25%

85 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
d) En cualquier momento, ¿cuál es la probabilidad de que haya un total de dos piezas en las etapas 1 y 2? P(N1 + N2 = 2) = P(N1 = 2) P(N2 = 0) + P(N1 = 1) P(N2 = 1) + P(N1 = 0) P(N2 = 2) Ya hemos visto que la etapa 1 es un MM1 con  = 0,5. Entonces P(N1 = 0) = 1 - 0,5 = 0,5 P(N1 = 1) = 0,5(1 - 0,5) = 0,25 P(N1 = 2) = 0,5(1 - 0,5)2 = 0,125 La etapa dos es un MM4 con  = 2,2 y  = 0,6 entonces  = 11/12. Encontramos que P(N2 = 0) = (1+4+ 82+ (32/3)3 + (32/3)4/(1-))-1 = 54/5939 =0,0091 P(N2 = 1) = (4/1!)(11/12)(54/5939) = 0,0333 P(N2 = 2) = (16/2!) (11/12)2(54/5939) = 0,0611

86 5. Redes de Colas Ejemplo 9 (Flow shop)
d) En cualquier momento, ¿cuál es la probabilidad de que haya un total de dos piezas en las etapas 1 y 2? P(N1 + N2 = 2) = P(N1 = 2) P(N2 = 0) + P(N1 = 1) P(N2 = 1) + P(N1 = 0) P(N2 = 2) = (0,125) (0,0091) + (0,25) (0,0333) + (0,5)(0,0611) = 0,0040 = 0,40 %

87 Red de Jackson: 5. Redes de Colas
En condiciones de estado estable cada instalación j (j = 1, 2, … m) en una red de Jackson se comporta como si fuera un sistema de colas M/M/s independiente con tasa de llegadas donde sjj>λj Se nota que un sistema de colas infinitas en series es un caso simple de una red de Jackson.