ECONOMETRíA GECO Tema 7 (Libro M. Matilla et al. Tema 14) TENDENCIAS, RAÍCES UNITARIAS Y REGRESIONES ESPUREAS CONCEPTO DE TENDENCIA Tendencias.

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1 ECONOMETRíA GECO Tema 7 (Libro M. Matilla et al. Tema 14) TENDENCIAS, RAÍCES UNITARIAS Y REGRESIONES ESPUREAS. 14.1. CONCEPTO DE TENDENCIA. 1.1. Tendencias deterministas. 1.2. Tendencias estocásticas. Paseo aleatorio sin deriva. Paseo aleatorio con deriva. 1.3. Ejemplo. 14.2. REGRESIONES ESPURIAS. 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. BIBLIOGRAFIA: ECONOMETRÍA Y PREDICCIÓN. (Tema 14) MARIANO MATILLA GARCÍA et al. Edit. Mc Graw HillBERNARDÍ CABRER UNED Valencia

2 TENDENCIAS, RAÍCES UNITARIAS Y REGRESIONES ESPUREAS. En la especificación y estimación del modelo de regresión lineal se imponen una serie de hipótesis que difícilmente se podrán cumplir si las series o variables utilizadas en el modelo no son estacionarias, entre otras: 1.No se puede recurrir ni aplicar el teorema central del limite ni siquiera asintóticamente. En estos casos las conclusiones obtenidas de sus resultados pueden ser erróneas. 2.Difícilmente se va a cumplir la hipótesis de no existencia de cambio estructural (parámetros estables en el tiempo). 3.Difícilmente se va a cumplir la hipótesis no existencia de autocorrelación. 4.Difícilmente se va a cumplir la hipótesis de homocedasticidad. 5.Las varianzas de los estimadores, los intervalos de confianza y las predicciones pueden resultar poco fiables. Cuando las series utilizadas en la especificación del modelo son estacionarias estas estarán asintóticamente incorreladas y serán ergódicas. En consecuencia se podrá aplicar la ley de los grandes números y el teorema central del límite. ¿Qué tipos de NO ESTACIONARIEDAD existen?. ¿Cómo transformar una serie no estacionaria en estacionaria?

3 14.1. CONCEPTO DE TENDENCIA. Muchas series o variables económicas no son estacionarias pero con una pequeña transformación se convierten en estacionarias. Las transformaciones mas habituales en la realidad son a partir de la serie original : 1.Tomar primeras diferencias ordinarias: 2. Calcular el logaritmo neperiano de la serie y posteriormente tomar primeras diferencias: 3. Calcular la tasa de crecimiento de la variable original: La segunda transformación y la tercera son aproximadamente iguales ya que:

4 14.1. CONCEPTO DE TENDENCIA. La interpretación económica de las transformaciones antes descritas son inmediatas. Es por ello que son las mas utilizadas en la modelización econométrica. No obstante, estos tipos de transformación suponen que la serie original presentan diferentes tipos de tendencia. Se define a la tendencia a un movimiento sistemático a largo plazo en el tiempo. Las observaciones de la serie fluctúan alrededor de la tendencia. En general se van a considerar dos tipos de tendencia: 14.1.1. Tendencia determinista: La esperanza de la serie está en función del tiempo. 14.1.2. Tendencia estocástica: La varianza de la serie está en función del tiempo. Ejemplos de series temporales:

5 14.1. Ejemplos Gráficos de series con tendencia. Serie sin tendencia. Serie con tendencia determinista. Serie con tendencia determinista. Serie con tendencia estocástica.

6 -3 -2 0 1 2 3 4 1020304050607080900010 -20 0 20 40 60 80 100 120 1020304050607080900010 0 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 193019401950196019701980199020002010 1965.000.004.008.012.016.020.024 19701975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 LOG(POB_ESP)-LOG(POB_ESP(-1))

7 14.1.1. TENDENCIAS DETERMINISTAS. Una tendencia determinista es una función no aleatoria del tiempo. Por consiguiente una serie con tendencia determinista es necesariamente no aleatoria. Las tendencias deterministas mas habituales son: 1.Tendencia lineal: 2.Tendencia cuadrática: 3.Tendencia exponencial:

8 14.1.1. Ejemplos de tendencias determinostas: lineal, cuadrática y exponencial.

9 14.1.1. Ejemplos de tendencias deterministas: lineal, cuadrática y exponencial. 1020304050607080900010 20304050607080900010 20304050607080900010

10 14.1.1. Especificación de modelos con tendencia determinista. La especificación de un modelo econométrico cuando las variables (regresor y regresando) presentan tendencia determinista se puede realizar a través de la siguiente ecuación de comportamiento: En el caso de que se estimara el modelo: Este último modelo seguramente presentaría autocorrelación.

11 14.1.1. Especificación de modelos con tendencia determinista. Ejemplo. 1.Modelo estimado con autocorrelación (variables con tendencia deterministas): 2.Modelo estimado sin autocorrelación (variables con tendencia deterministas):

12 14.1.2. Tendencias estocásticas. Se dice que una serie temporal presenta tendencia estocástica cuando su varianza evoluciona en el tiempo. Una serie que presenta tendencia estocástica es no estacionaria. Una serie transformada es integrada de orden uno, y se representa por I(1), si mediante una sola integración se obtiene la serie original. En otras palabras, una serie original, no estacionaria, es I(1), si mediante su transformación utilizando sus primeras diferencias ordinarias se obtiene una serie estacionaria. Serie original no estacionaria: Serie transformada estacionaria: La relación entre la serie original y la serie transformada se puede escribir a través de la siguiente ecuación: En general la ecuación anterior también se puede expresar como: En este caso si la serie original no es estacionario por el contrario si es el valor de es menor que la unidad la ecuación representaría un modelo AR(1) y la serie original seria estacionaria.

13 14.1.2. Tendencias estocásticas. PASEO ALEATORIO. Se trata de un proceso no estacionario que se puede representar a través de las siguientes ecuaciones: Paseo aleatorio sin deriva: donde: es una variable ruido blanco. Este proceso no estacionario se caracteriza por: su esperanza no depende del tiempo: su varianza depende del tiempo: Paseo aleatorio con deriva: donde: es una variable r. b. Este proceso no estacionario se caracteriza por: su esperanza depende del tiempo: su varianza depende del tiempo:

14 14.1.2. Tendencias estocásticas. Ejemplos. Paseo aleatorio sin deriva: Paseo aleatorio con deriva:

15 14.1.2. Tendencias estocásticas. Ejemplos. Paseo sin deriva Paseo con deriva 1020304050607080900010 20304050607080900010

16 14.1.2. Tendencias estocásticas. Ejemplos serie PIB de España. La serie del PIB de España podemos observar que no es estacionaria. Tanto su representación gráfica como su función de autocorrelación confirman dicha característica.

17 14.1.2. Tendencias estocásticas. Ejemplos serie PIB de España. Además la serie transformada mediante sus primera diferencias a través de su representación gráfica y su función de autocorrelación lo confirman.

18 14.2. REGRESIONES ESPUREAS. Cuando se especifica un modelo econométrico y se estima dicho modelo utilizando variables no estacionarias se obtienen generalmente unos resultados incorrectos. A este tipo de regresión se le denomina en el contexto econométrico “regresión espurea” que se caracteriza por presentar un coeficiente de determinación muy elevado (próximo a la unidad) y una alta autocorrelación, un coeficiente DW, generalmente próximo a cero. En otras palabras, cuando se tiene un modelo econométrico estimado en el que el estadístico DW es inferior al coeficiente de determinación es un indicativo de que la estimación es incorrecta. Ejemplo: Modelo econométrico para la economía española 1955-2012 o bien, tomando logaritmos neperianos Donde: es el logaritmo neperiano del PIB es el logaritmo neperiano del stock de capital físico El modelo estimado es el siguiente:

19 14.2. REGRESIONES ESPUREAS. Modelo estimado: Los resultados obtenidos son, a todas luces inadecuados, a pesar de que el coeficiente de determinación es muy elevado pero existe una alta autocorrelación. Si ahora se incluye la variable tendencia en el modelo se obtiene: En este caso lejos de solucionar el problema ya que el DW no ha mejorado. Además, el signo negativo del coeficiente del capital físico es incorrecto desde el punto de vista económico.

20 14.2. REGRESIONES ESPUREAS. Otra posible solución, es utilizar tanto el regresor como el regresando en incrementos de las variables en logaritmos neperianos. En este caso se obtiene: Como se puede observar la estimación obtenida es totalmente inadecuada.

21 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. ¿Cómo contrastar si una serie no es estacionaria? Una forma alternativa de comprobar si una serie es estacionaria es efectuando el contraste probabilístico en el modelo AR(1) habitual. En este caso se va a utilizar el contraste de propuesto por Dickey-Fuller (1979). Se trata de contrastar la hipótesis nula frente a la hipótesis alternativa En el modelo: en el caso de que se acepte la hipótesis nula concluiríamos que la serie no es estacionaria. Limitaciones: El estimador es inadecuado, el denominador tiende a infinito El estadístico ya no se distribuye según una t-Student. (Distribución DF) La serie puede presentar simultáneamente tendencia determinista. El contraste tan sólo es valido si en el modelo estimado no existe autocorrelación de primer orden.

22 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Con el fin de superar la primera limitación Dickey-Fuller (DF) proponen estimar el siguiente modelo: o bien: donde: Ahora, para contrastar si la serie es no estacionaria o bien que presentan una raíz unitaria, esto es si es I(1), se debe contrastar: Hipótesis nula (existe tendencia estocástica o la serie es I(1) ) frente a la hipótesis alternativa (no existe tendencia estocástica o la serie es I(0) ) En el modelo propuesto por DF: El estadístico se distribuye según la distribución propuesta por DF siempre y cuando el modelo anterior no presente autocorrelación de primer orden (DW próximo a 2).

23 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Con el fin de superar la tercera limitación al modelo propuesto Dickey-Fuller (DF) se puede incluir un término que recoja dicha característica: En el caso de que simultáneamente: Se rechace la hipótesis Se acepte la hipótesis Se concluye que la serie objeto del análisis presenta simultáneamente tendencia determinista y estocástica.

24 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Con el fin de superar la presencia de autocorrelación en el modelo propuesto Dickey-Fuller (DF) se puede incluir como regresor el regresando desfasado. A este test se le denomina de Dickey-Fuller Ampliado (ADF) o bien: ¿Cuántos retardos se deben incluir del regrasando defasado se deben incluir? Los necesarios para que el modelo estimado no presente autocorrelación de primer orden. Además, se puede hacer uso del criterio AIC-Akaike. En general tendremos el modelo:

25 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Ejemplo logaritmo del PIB economía española. Iniciamos el estudio estimando el modelo: Como se puede observar que el modelo presenta autocorrelación de primer orden (dl=1.528; du=1.601), para solucionar dicho problema se debe incluir como regresor el regresando desfasado. El segundo modelo estimado, a pesar de que el DW ha aumentado considerablemente no podemos rechazar la existencia de autocorrelación de primer orden (dl=1.490; du=1.641). Con el fin de solucionar dicho problema se debe incluir como regresor el regresando desfasado de segundo orden.

26 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Ejemplo logaritmo del PIB economía española. El modelo estimado para el test de DFA, con dos desfases del regresor se presenta a continuación: En el presente modelo se puede comprobar que el modelo no presenta autocorrelación de primer orden (dl=1.452; du=1.681). A continuación vamos a proceder a docimar si el coeficiente que afecta a la variable puede ser igual a cero.

27 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Ejemplo logaritmo del PIB economía española. El contraste que vamos a efectuar es el siguiente: Hipótesis nula Hipótesis alternativa (la serie presenta tendencia estocástica) (la serie no presenta tendencia estocástica) (la serie es (1) ) (la serie es I(0) ) Si se cumple la desigualdad probabilística : Aceptamos la hipótesis nula con una probabilidad de En nuestro caso se tiene: Sustituyendo por cero debido a la hipótesis nula. Además, se sabe que el valor crítico de para una probabilidad del 95% es -2.86. Se obtiene que:

28 14.3. CONTRASTE DE RAÍCES UNITARIAS. Ejemplo logaritmo del PIB economía española. Se obtiene la siguiente desigualdad: - 2.86 < -2.498 Dado que se cumple la desigualdad probabilística se puede concluir que la serie objeto del análisis, el logaritmo neperiano del PIB de España es una serie I(1), con una probabilidad del 95%.