BACHILLERATO FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

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1 BACHILLERATO FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

2 2 CONTENIDOS 1. El movimiento de los planetas a través de la Historia  2. Nociones actuales sobre el sistema solar  3. La traslación de los planetas  4. Precedentes de la ley de gravitación  5. La ley de gravitación universal  6. Consecuencias de la ley de gravitación universal  7. Análisis de los factores que intervienen  8. Las mareas CRITERIOS DE EVALUACIÓNESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 1. Contextualizar las leyes de Kepler en el estudio del movimiento planetario. 1.1. Comprueba las leyes de Kepler a partir de tablas de datos astronómicos correspondientes al movimiento de algunos planetas. 1.2. Describe el movimiento orbital de los planetas del Sistema Solar aplicando las leyes de Kepler y extrae conclusiones acerca del periodo orbital de los mismos. 2. Asociar el movimiento orbital con la actuación de fuerzas centrales y la conservación del momento angular. 2.1. Aplica la ley de conservación del momento angular al movimiento elíptico de los planetas, relacionando valores del radio orbital y de la velocidad en diferentes puntos de la órbita. 2.2. Utiliza la ley fundamental de la dinámica para explicar el movimiento orbital de diferentes cuerpos como satélites, planetas y galaxias, relacionando el radio y la velocidad orbital con la masa del cuerpo central. Índice

3 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 3 CRITERIOS DE EVALUACIÓNESTÁNDARES DE APRENDIZAJE 3. Determinar y aplicar la ley de Gravitación Universal a la estimación del peso de los cuerpos y a la interacción entre cuerpos celestes teniendo en cuenta su carácter vectorial. 3.1. Expresa la fuerza de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera, conocidas las variables de las que depende, estableciendo cómo inciden los cambios en estas sobre aquella. 3.2. Compara el valor de la atracción gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo en su superficie con la acción de cuerpos lejanos sobre el mismo cuerpo. Índice

4 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 4 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.1. Teorías geocéntricas Teoría geocéntrica de Aristóteles (384 – 322 a.C.) alrededor de la Tierra Postulaba que todos los cuerpos celestes giraban en esferas concéntricas alrededor de la Tierra. cuatro elementos quinta esencia  El Universo estaba formado por los cuatro elementos de la región terrestre (tierra, agua, aire y fuego) más la quinta esencia ( el éter).  Ideas mecanicistas sobre el movimiento: el “primum mobile”.  Movimientos naturales y violentos.  No explicaba el movimiento retrógrado ni las variaciones del brillo de los planetas.

5 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 5 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.1. Teorías geocéntricas Teoría geocéntrica de Ptolomeo (100 – 170 d.C.) epiciclo deferente Postulaba que los planetas (salvo el Sol y la Luna) efectuaban dos tipos de movimientos: orbital (en el epiciclo) y otro que llevaba a cabo el centro del epiciclo alrededor de la Tierra en la órbita llamada deferente.  Tuvo una gran aceptación, pero el artificio de los epiciclos era demasiado complejo y se abogaba por una mayor simplicidad.

6 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 6 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.2. Teorías heliocéntricas Aristarco de Samos (siglo III a.C.)  Recoge las ideas de Heráclito de Ponto.  Sitúa al Sol en el centro del Universo.  La Tierra tiene dos movimientos: rotación y traslación. Objeciones:  Violaba la inmutabilidad del “corazón del Universo”.  No se observaba el “paralaje estelar”.

7 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 7 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.2. Teorías heliocéntricas Nicolás Copérnico (1473 – 1543)  “Sobre las revoluciones (de las órbitas celestes)” supone un cambio profundo en el desarrollo de la astronomía y la ciencia.  El Sol se sitúa en el centro del Universo, y que todos los planetas se movían en esferas concéntricas.  Establece los periodos orbitales alrededor del Sol (muy aproximados a los que hoy conocemos) y las distancias relativas de los planetas al Sol.  Explica de manera muy sencilla el movimiento retrógrado.

8 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 8 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.2. Teorías heliocéntricas Contribución de Galileo Galilei (1564 – 1642)  Hace una defensa del sistema copernicano aportando pruebas.  Establece el principio de inercia y el principio de caída libre de los cuerpos y su independencia de la masa.  La Inquisición le hace “abjurar”.

9 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 9 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.3. Las leyes de Kepler (1571 – 1630) Tycho Brahe(1546 – 1601)  Elaboró las mejores tablas sobre las posiciones de los seis planetas conocidos por entonces (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno).  Propuso un modelo intermedio entre el geocéntrico y el heliocéntrico.

10 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 10 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.3. Las leyes de Kepler (1571 – 1630) Ocho minutos de arco que cambiaron el mundo  Kepler trabajó con Tycho Brahe y a la muerte de este decidió interpretar los datos de las tablas adaptándolos a las órbitas circulares de Copérnico. ocho minutos de arco  Los datos de la órbita de Marte lo situaban ocho minutos de arco (0,13º) fuera del esquema de Copérnico. órbita elíptica  Kepler se dio cuenta de que adoptando una órbita elíptica, en uno de cuyos focos se situaba el Sol, todo cuadraba a la perfección.

11 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 11 1 El movimiento de los planetas en la Historia 1.3. Las leyes de Kepler (1571 – 1630) Leyes de Kepler Primera Ley Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse. Primera Ley Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse. R(UA ) T(año s)R3R3 T2T2 Mercurio0,3800,2410,0550,058 Venus0,7200,6150,3730,378 La Tierra1,000 Marte1,5201,8803,5123,534 Júpiter5,20011,860140,608140,660 Saturno9,54029,460868,251867,892 Segunda Ley La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante). Segunda Ley La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante). Tercera Ley T 2 = k·R 3 Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias medias al Sol: T 2 = k·R 3 Tercera Ley T 2 = k·R 3 Los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias medias al Sol: T 2 = k·R 3

12 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 12 1 El movimiento de los planetas en la Historia EJERCICIO 1 A partir de los datos orbitales terrestres con respecto al Sol ( T = 365 días y distancia Sol-Tierra = 1,496·10 11 m) determina cuánto tardará Júpiter en completar una órbita alrededor del Sol (en segundos y años terrestres) sabiendo que su distancia al Sol es de 7,78·10 11 m.

13 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 13 2 Nociones actuales sobre el sistema solar  El Sol no es centro de nada y nuestro sistema planetario es uno más.  Nuestra galaxia (Vía Láctea) es una de los billones de galaxias que existen.  Todos los planetas efectúan dos movimientos: rotación y traslación.  Todos los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol, casi todas ellas en el mismo plano.  Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.  El eje de rotación (excepto Urano y Plutón), es prácticamente perpendicular al plano de la órbita.

14 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 14 3 Traslación de los planetas Al estudiar la traslación de un planeta o satélite los consideraremos como punto materiales dotados de masa.  La magnitud física que nos informa del estado de movimiento de un cuerpo es el momento lineal o cantidad de movimiento.  Sin embargo esta magnitud no permanece constante en el movimiento planetario.

15 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 15 3 Traslación de los planetas 3.1. Momento angular Se define como:  ¡Depende del origen de referencia que se escoja!

16 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 16 3 Traslación de los planetas 3.1. Momento angular Movimiento circulares Como: r Donde r permanece constante.

17 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 17 3 Traslación de los planetas 3.1. Momento angular Movimiento curvilíneos En este caso: El módulo: r Donde r no permanece constante.

18 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 18 3 Traslación de los planetas EJERCICIO 2

19 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 19 3 Traslación de los planetas 3.2. Conservación del momento angular momento angular momento de una fuerza El momento angular de un cuerpo varía cuando sobre él actúa el momento de una fuerza. momento angular será constante El momento angular será constante cuando:

20 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 20 3 Traslación de los planetas 3.3. Momento angular de traslación de los planetas Según la 2ª ley de Kepler  El área barrida en un dt es dA, que es prácticamente el área del triángulo isósceles SPP’,  Teniendo en cuenta que L es constante Cómo dA/dt es constante y m tabién, ¡L es constante!

21 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 21 3 Traslación de los planetas EJERCICIO 3 Teniendo en cuenta que la masa de la Tierra es de 6·10 24 kg, que su distancia media al Sol es de 1,496·10 11 m y que su período orbital es de 365 días, determina: a)El valor de su momento angular de traslación respecto del Sol. b)La velocidad areolar del movimiento de traslación terrestre (expresando sus unidades). c)A partir del valor anterior y dando por cierto que la distancia al Sol permanece invariable en el transcurso de un día, determina qué distancia recorre la Tierra en un día durante su movimiento orbital. Compáralo con el que se obtendría al dividir la longitud orbital entre los 365 días.

22 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 22 3 Traslación de los planetas 3.4. Consecuencias de la constancia del momento angular órbitasplanas  Las órbitas de los planetas son planas. fuerzacentral  La fuerza que gobierna el movimiento planetario es central. órbitasestables  Las órbitas de los planetas son estables. órbitas de los satélites estables y planas  Los órbitas de los satélites en torno a los planetas son estables y planas. fuerzasatélites es central  La fuerza que gobierna el movimiento de los satélites es central.

23 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 23 3 Traslación de los planetas EJERCICIO 4 Deduce cuál es la relación entre las velocidades del planeta en los puntos A y B de la figura en función de la distancias r A y r B de esos puntos al Sol. ¿Avalan estos resultados las observaciones de Kepler?

24 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 24 4 Precedentes de la ley de gravitación universal La fuerza que gobierna el movimiento de los astros es de tipo centrípeta, es decir, está dirigida hacia un puto.  ¿Cuál es la causa de dicha fuerza?  Kepler propuso que era de naturaleza magnética. disminuía con el cuadrado de la distancia  Hooke y Halley suponían que era atractiva y centrípeta y que disminuía con el cuadrado de la distancia.  Newton que esa fuerza era la misma que hacia que una piedra cayera al suelo.  Supuso que la Luna “caía” de forma continua igual que un proyectil. Así halló que la aceleración de caída disminuía con el cuadrado de la distancia.

25 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 25 4 Precedentes de la ley de gravitación universal EJERCICIO 5 Supongamos que el movimiento de la Luna se compone de otros dos: uno de ellos de avance y otro de caída hacia la Tierra, regido este último por las ecuaciones de caída libre. Con estos datos que se te ofrecen, y siguiendo las sugerencias de la figura, contesta a las siguientes preguntas: a)¿Qué ángulo se ha desplazado la Luna en 1 hora? b)¿Qué altura h ha “caído” la Luna en esa hora? c)¿Qué valor de la aceleración g L de caída corresponde a esa distancia y ese tiempo? d)¿Cuántas veces es menor ese valor que el valor g T = 9,8 m/s2, que corresponde a la superficie terrestre? e)¿Cuántas veces es mayor la distancia Tierra-Luna que el radio terrestre? f)¿Qué relación puedes encontrar entre la variación de la aceleración y la de la distancia? Datos: R T = 6 370 km; d TL = 384 000 km; T L = 27,31 días. Luna Tierra h d TL 

26 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 26 4 Precedentes de la ley de gravitación universal 4.1. Las fuerzas centrípetas y el inverso del cuadrado de la distancia La fuerza centrípeta es, Haciendo uso de la 3ª ley de Kepler,  Las fuerzas que gobiernan los movimientos planetarios son centrípetas.  Dichas fuerzas varían según el inverso del cuadrado de la distancia. Pero, ¿cuál era el significado físico de la constante k de la 3º ley de Kepler?

27 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 27 4 Precedentes de la ley de gravitación universal EJERCICIO 6 Teniendo en cuenta que la aceleración de “caída hacia la Tierra” es de aproximadamente 0,002 7 m/s 2, y que esta aceleración se debe a una fuerza centrípeta que responde a la expresión: Determina el valor de k para el movimiento lunar despejándolo de dicha expresión. Compáralo posteriormente con el que se obtendría a partir de la tercera ley de Kepler.

28 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 28 5 La ley de gravitación universal  Newton desarrolló en el III libro de los “Principios matemáticos de la filosofía natural” sus ideas sobre la gravitación.  La ley de gravitación universal se formula de la siguiente manera: interacción gravitatoria La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza central directamente proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa (desde sus centros).

29 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 29 5 La ley de gravitación universal EJERCICIO 7 Si G = 6,67·10 -11 N·m 2 /kg 2, la masa de la Tierra = 6·10 24 kg, y el radio de la Tierra = 6 370 km, determina: a)La magnitud de la fuerza con que la Tierra atrae a una piedra de 100 g. b)La magnitud de la fuerza con que la piedra atrae a la Tierra. c)El valor de la aceleración que adquiere la piedra sometida a esa fuerza. d)El valor de la aceleración que adquiere la Tierra sometida a esa misma fuerza. e)La fuerza con que la Tierra atraerá a otra piedra cuya masa es de 10 kg, así como la aceleración que adquiere.

30 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 30 5 La ley de gravitación universal 5.1. Fuerzas gravitatorias en un conjunto de masas La fuerza que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de masas es igual a la resultante de las fuerzas que las demás ejercen sobre ella, consideradas individualmente.

31 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 31 5 La ley de gravitación universal EJERCICIO 8 Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Determina el módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres.

32 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 32 6 Consecuencias de la ley de gravitación universal 6.1. Aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias Un cuerpo de masa m se encuentra a una altura h sobre la superficie de la Tierra, se halla sometido a una fuerza: Dicha fuerza le comunica una aceleración:  La aceleración con la que cae a la Tierra un objeto de masa m solo depende de la masa de la Tierra y no de la del objeto.  La aceleración varía de manera inversa al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si h << R T :

33 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 33 6 Consecuencias de la ley de gravitación universal EJERCICIO 9 El diámetro de Venus es de 12 120 km y su densidad media es de 5 200 kg/m 3. ¿Hasta que altura ascendería un objeto lanzado desde su superficie con una velocidad inicial de 30 m/s?

34 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 34 6 Consecuencias de la ley de gravitación universal 6.2. Significado físico de la constante k en la 3ª ley de Kepler Determinación de las masas planetarias Consideremos un satélite de un planeta

35 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 35 6 Consecuencias de la ley de gravitación universal EJERCICIO 10 El satélite de Júpiter llamado Ío tiene un período de revolución de 42 horas 29 minutos, y su distancia media a Júpiter es de 422 000 km. ¿Cuál es la masa de Júpiter?

36 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 36 7 Análisis de los factores que intervienen 7.1. La constante de gravitación universal G  Newton no mencionó la constante G.  Para calcularla sería necesario conocer la masa de la Tierra:  Cavendish  Cavendish (1731 – 1810), utilizando la balanza de torsión, logro medir la constante G. O, dicho de otra forma, ¡logró medir la masa de la Tierra!  La primera medida fue:  El valor actual es de:

37 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 37 7 Análisis de los factores que intervienen 7.2. Masa inercial y masa gravitacional  Masa inercial  Masa inercial, m i, se define como la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo.  Masa gravitatoria  Masa gravitatoria, m G, es la responsable de la interacción gravitatoria.  ¿La masa inercial es a su vez responsable de la gravitación? Como g es la misma para todos los cuerpos, (m G /m i ) siempre es igual para todos los cuerpos masa inercial gravitacional La masa inercial y la gravitacional son la misma magnitud principio de equivalencia Esta es la base del principio de equivalencia, fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad.

38 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 38 7 Análisis de los factores que intervienen 7.3. El inverso del cuadrado de la distancia Partimos de:  La acción gravitatoria se distribuye por igual en todas direcciones.  La masa del cuerpo está concentrada en su centro. Ley del inverso del cuadrado de la distancia

39 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 39 7 Análisis de los factores que intervienen EJERCICIO 11 Si el período de un péndulo simple que oscila bajo ángulos pequeños viene dado por: a)¿Qué le ocurriría a dicho período si lo alejáramos hasta el doble de la distancia que hay entre el péndulo y el centro de la Tierra? b)¿Qué le ocurriría en ese mismo caso a la frecuencia de oscilación?

40 1. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL 40 8 Las mareas Mareas vivas Mareas muertas