POLINOMIOS.

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1 POLINOMIOS

2 a es el COEFICIENTE (un número real)
POLINOMIOS Una expresión algebraica, es una expresión que contiene operaciones de letras y números. Un MONOMIO, es una expresión algebraica que solamente contiene productos (“y por tanto divisiones”) de potencias de letras y números. x, y, … , z se denomina VARIABLES a es el COEFICIENTE (un número real) El GRADO del MONOMIO es n+m+…+ p . (n, m, … , p son Números naturales). Observa, que como todo número real a, se puede poner como: Los números reales son monomios de grado cero..

3 REPASO DE OPERACIONES CON MONOMIOS.
SUMA O RESTA (SOLAMENTE SI SON SEMEJANTES): Ejemplos: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Ejemplos:

4 POLINOMIOS. Un POLINOMIO, esta compuesto por sumas o restas de MONOMIOS. Un POLINOMIO DE VARIABLE x, y grado n se puede representar : Habitualmente, solemos representar los polinomios mediante una letra mayúscula, y entre paréntesis las variables, o abusando de notación solamente por una letra mayúscula : Ejemplos: Se denomina VALOR NUMÉRICO de un polinomio, al valor que toma dicho polinomio cuando se sustituyen las variables por números: Ejemplo: Si P(x) es un polinomio de variable x, y r es un número tal que P(r) = 0, decimos que r es una RAÍZ del polinomio P(x).

5 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
SUMA O RESTA: (se suman o restan monomios semejantes): Ejemplo:

6 PROPIEDADES DE LA SUMA DE POLINOMIOS.
Conviene conocer las propiedades de la suma de polinomios, que en ocasiones nos pueden ser útiles para simplificar las operaciones. Además estas propiedades, son las mismas que las que tiene la suma de números enteros: Asociativa: ( P(x) + Q(x) ) + R(x) = P(x) + (Q(x) + R(x) ) Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x) El 0 cumple: P(x) + 0 = P(x) El Opuesto de P es – P, ya que: P(x) + ( - P(x) = 0

7 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
MULTIPLICACIÓN: (se multiplica cada uno de los monomios por los monomios del polinomio a multiplicar. Y se suman): Ejemplo:

8 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
DIVISIÓN: (se divide el polinomio por cada uno de los monomios del polinomio a dividir): Ejemplo:

9 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS.
Conviene conocer las propiedades de la multiplicación de polinomios, que en ocasiones nos pueden ser útiles para simplificar las operaciones. Además, estas propiedades, son las mismas que las que tiene la multiplicación de números enteros: Asociativa: ( P(x) . Q(x) ) . R(x) = P(x) . (Q(x) . R(x) ) Conmutativa: P(x) . Q(x) = Q(x) . P(x) El 1 cumple: P(x) . 1 = P(x) Respecto de la suma y del producto, los polinomios, también se cumple la propiedad Distributiva: ( P(x) + Q(x) ) . R(x) = P(x) . R(x) + Q(x) . R(x)

10 IDENTIDADES NOTABLES DE POLINOMIOS.
Teniendo en cuenta que una POTENCIA enésima de un polinomio es un producto de n veces, podemos deducir (multiplicando) las siguientes igualdades (“denominadas IDENTIDADES NOTABLES”): ( P(x) + Q(x) ) ² = P(x) ² + 2. P(x).Q (x) + Q(x) ² ( P(x) - Q(x) ) ² = P(x) ² - 2. P(x).Q (x) + Q(x) ² ( P(x) + Q(x) ) . ( P(x) - Q(x) ) = P(x) ² - Q(x) ² Ejemplos:

11 REGLA DE RUFFINI. EL TEOREMA DEL RESTO.
Si P(x) es un polinomio, para efectuar la división: P(x) : (x-a), podemos aplicar la Regla de Ruffini. Ejemplo: - 3 21 - 63 171 1 - 7 21 - 57 170 TEOREMA DEL RESTO.- el resto de la división P(x) / (x-a) es igual a P(a) Ejemplo:

12 CÁLCULO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO.
Cualquier raíz entera a de un polinomio P(x) es divisor del término independiente. Por tanto, para buscar las raíces enteras de un polinomio P(x), aplicaremos el teorema del Resto, a todos los divisores del termino independiente Ejemplo: Si tiene raíces enteras serán alguno de los números -4, -2, -1, 1, 2, 4 Como: P(-4) = -100 , P(-2) = -24, P(-1) = -10, P(1) = 0, P(2) = 8, P(4) = 60 Se tiene que la única raíz entera de P(x) es 1

13 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS.
Para factorizar un polinomio de grado 2, de la forma: 1) Si la ecuación de P(x) = 0 , no tiene raíces no se puede factorizar. 2) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r como raíz única P(x) = a.(x-r)2. 3) Si la ecuación de P(x) = 0 , tiene r y s como raíces P(x) = a.(x-r).(x-s). Para factorizar un polinomio de grado mayor que 2, podemos intentar factorizar el polinomio aplicando la regla de Ruffini, utilizando divisores (enteros o algún fraccionario) divisores del término independiente, por lo menos hasta llegar a un factor de grado 2, y aplicar el punto anterior. Ejemplo: Aplicando Ruffini para x = 1

14 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.) DE POLINOMIOS.
Para calcular el M.C.D. (P(x),Q(x)), primero factorizamos P(x) y Q(x): Y tomamos los factores primos comunes (polinomios) elevados a su menor exponente. Ejemplo: Como, descomponiendo P(x) y Q(x) será:

15 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m. c. m.) DE POLINOMIOS.
Para calcular el m. c. m. (P(x),Q(x)), primero factorizamos P(x) y Q(x): Y tomamos los factores primos comunes y no comunes (polinomios) elevados a su mayor exponente. Ejemplo: Como, descomponiendo P(x) y Q(x) será:

16 Relación entre M.C.D y m.c.m. DE POLINOMIOS.
Dados dos polinomios P(x) y Q(x), se cumple la siguiente igualdad: P(x).Q(x) = [ M.C.D. (P(x),Q(x)) ].[ m. c. m. (P(x),Q(x)) ] Esta igualdad, se utiliza para: Conocido P(x),Q(x) y M.C.D.(P(x),Q(x)), hallar m.c.m. (P(x),Q(x)). Conocido P(x),Q(x) y m.c.m. .(P(x),Q(x)), hallar M.C.D.(P(x),Q(x)). Conocido P(x), M.C.D.(P(x),Q(x)) y m.c.m. (P(x),Q(x)), hallar Q(x). Conocido Q(x), M.C.D.(P(x),Q(x)) y m.c.m. (P(x),Q(x)), hallar P(x).

17 Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia ( En la siguiente diapósitiva

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Mas ayuda del tema de la página lasmatemáticas.es Videos del profesor Dr. Juan Medina Molina ( En la siguiente diapósitiva

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21 Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada (figuras de GeoGebra) ( En la siguiente diapósitiva

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