Tema V Programación Lineal

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1 Tema V Programación Lineal
MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2 DIETÉTICA ANIMAL Y HUMANA
TEMA * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
La dieta humana Un médico recomienda a un paciente una dieta en la que deben aparecer al menos DOCE unidades de hierro, DOCE de fósforo y OCHO de calcio. En las farmacias existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es: HIERRO FOSFORO CALCIO PRODUCTO A PRODUCTO B El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5 €, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 8 €. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Resolución: Sea x = Número de cajas de 100 gr del producto A a comprar. Sea y = Número de cajas de 200 gr del producto B a comprar. FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo será: f(x,y) = 5.x + 8.y CÁLCULOS PREVIOS  Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son: 12x20 = 240 u. de hierro 12x20 = 240 u de fósforo 8x20 = 160 u de calcio Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son:    Hierro Fósforo Calcio PRODUCTO A 6x10 = 60 4x10 = 40 2x10 = 20 PRODUCTO B 2x20 = 40 3x20 = 60 4x20 = 80 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
RESTRICCIONES Las restricciones del problema serán: 60.x + 40.y >= 240 40.x + 60.y >= 240 20.x + 80.y >= 160 x >=0 y >=0 Dibujamos las rectas correspondientes, para lo cual las expresamos de forma explícita ( despejando la ‘y’ y, si se puede, simplificando ) y >= 6 – 1,5.x y >= 4 – 0,66.x y >= 2 – 0,25.x x >= 0 y >= 0 A 6 Región Factible 4 B 2 C D 8 4 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
SOLUCIÓN A.- MODO GRÁFICO La función objetivo es: F(x,y) = 5.x + 8.y Dibujamos la recta: 5.x + 8.y = 0 y = – 5.x / 8 y = – 0,625.x Tabla: x = 0  y = 0 x = 4  y = – 2,5 Llevamos paralelas por cada vértice y miramos aquella que nos de el menor valor en el corte con el eje OY: Solución: Vértice C(5, 1) x= 5 cajas de A, y = 1 caja de B A Región Factible B C D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
SOLUCIÓN B.- MODO ANALÍTICO Vértice B y = 6 – 1,5.x y = 4 – 0,66.x 6 – 1,5.x = 4 – 0,6666.x 2 = 0,8333.x  x = 2,4  y = 2,4 y = 4 – 0,6666.x y = 2 – 0,25.x 2 – 0,25.x = 4 – 0,66.x 0,4166.x = 2  x = 4,8  y = 0,8 Los valores de x e y deben ser enteros, por lo que se debe buscar el punto más próximo a ambos vértices con coordenadas enteras: B(3, 3) y C(5, 1) A(0, 6) Región Factible B(3, 3) B(2,4, 2,4) C(5, 1) C(4,8, 0,8) D @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
La región factible en abierta. Los vértices válidos son: A(0,6) , B(3, 3) , C(5, 1) , D( 8,0) F (A) = = 0+48 = 48 F(B) = = = 39 F(C) = = = 33 F(D) = = 40 El mínimo coste será de 33 €, adquiriendo 5 cajas de A y 1 de B COMENTARIO IMPORTANTE Tendremos que comprar: 60.x + 40.y = = 340 , cien unidades más de las 240. 40.x + 60.y = = 260 , veinte unidades más de las 240. 20.x + 80.y = = 180 , veinte unidades más de las 160. Si el vértice C hubiera sido válido, al menos en uno de los tres productos hubiéramos adquirido la cantidad exacta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
La dieta animal Un veterinario recomienda a un perro una dieta en la que deben aparecer al menos CINCO unidades de hidratos de carbono, DIECISEIS de proteínas y SIETE de grasas. A la venta existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es: HIDRATOS PROTEINAS GRASAS PRODUCTO A PRODUCTO B El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5 €, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 7 €. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días?. Resolución: La función objetivo será: f(x,y) = 5.x + 7.y Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

10 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son: 5x20 = 100 u. de hidratos de carbono 16x20 = 320 u de proteínas 7x20 = 140 u de grasa Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son: HIDRATOS PROTEINAS GRASAS PRODUCTO A 4x10 = 40 6x10 = 60 2x10 = 20 PRODUCTO B 5x20 = 100 4x20 = 80 3x20 =60 De forma explícita ( despejando la y ) y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x >= 0 ,, y >= 0 Las restricciones del problema serán: 40.x y >= 100 60.x + 80.y >= 320 20.x + 60.y >= 140 x >=0 y >=0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
RESTRICCIONES: y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x = 0 ,, y = 0 Calculamos el vértice B: Por el M. de Igualación: y = 4 – 0,75.x y = 2,33 – 0,33.x 4 – 0,75.x = = 2,33 – 0,33.x 1,66 = 0,4166.x x = 4 y = 4 – 0,75.4 y = 1 B(4, 1) A(0, 4) Región factible B(4, 1) C(7, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

12 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Representamos la Función objetivo: F(x,y) = 5x+7y 5x+7y = 0 Tabla: x y ,14 Y llevamos las paralelas que pasan por cada vértice. La paralela que pasa por el vértice B es la que presenta la menor ordenada en el origen , por lo que el vértice B será el mínimo. A(0, 4) Región factible B(4, 1) C(7, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

13 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
Calculamos el valor de la función objetivo en los vértices. La región factible en abierta. Los vértices son A(0,4) , B(4,1) , C(7,0) F(x,y) = 5.x + 7.y F (A) = = 0+28 = 28 F(B) = = = 27 F(C) = = = 35 El mínimo coste será de 27 €, adquiriendo 4 cajas de A y 1 de B CONSECUENCIA DE LO ANTERIOR Tendremos que comprar: = = 260 u , 160 unidades más de las 100. = = 320 u, las estrictamente necesarias. = = 140 u, las estrictamente necesarias. No compraremos más cajas de las necesarias, malgastando 160 u. que tendremos que comprar pero no consumir. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.