Profesora: Milagros Coraspe Realizado por: Almérida, Gissell C.I.: 25 615 270 Valladares, Angélica C.I.: 25 012 690 Universidad De Oriente Núcleo Monagas.

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2 Profesora: Milagros Coraspe Realizado por: Almérida, Gissell C.I.: 25 615 270 Valladares, Angélica C.I.: 25 012 690 Universidad De Oriente Núcleo Monagas Unidad de estudios Básicos Departamento de Ciencias Sección de matemáticas Matemática I (008-1613) Sección 09

3 MATRIZ

4 Matriz Rectangular Si el numero de filas y de columnas no coinciden, es decir, m n. 2 -1 Ejemplo: A 1 4 es una matriz rectangular de orden 3x2 9 2 TIPOS DE MATRICES Matriz Vertical Es aquella que tiene m á s filas que columnas. Matriz Columna Caso especial de matriz vertical que posee una sola columna. Matriz Horizontal Es aquella que tiene m á s columnas que filas. Matriz Fila Caso especial de matriz horizontal que posee una sola fila.

5 Matriz Diagonal Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos aij. Matriz diagonal, matriz cuadrada donde sus elementos si. La matriz identidad Se llama matriz identidad de orden n y se nota In a una matriz cuadrada de orden n en la que los elementos de la diagonal principal son 1 y el resto 0. La matriz identidad puede ser de cualquier tamaño, siempre y cuando sea cuadrada

6 Matriz Escalonada Es toda matriz en la que el n ú mero de ceros que precede al primer elemento no nulo, de cada fila o de cada columna, es mayor que el de la precedente. Puede ser escalonada por filas o escalonada por columnas. Matriz Triangular superior Se dice que una matriz (cuadrada) es triangular superior, si todos los elementos que est á n por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz Triangular inferior Se dice que una matriz es triangular inferior, si todos los elementos que est á n por encima de la diagonal principal son ceros.

7 Matriz Nula o Matriz Cero Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea, de valor cero. Por lo tanto, una matriz nula de orden mxn es de la forma:

8 Matriz Opuesta Teniendo una matriz determinada, se llama matriz opuesta de la antes mencionada a aquella que tiene por elementos los opuestos de los elementos de la matriz original. Matriz Traspuesta Se llama matriz traspuesta de una matriz A, a una matriz B cuyas filas coinciden con las columnas de A y las columnas coinciden con las filas de A. Para una matriz se define la matriz transpuesta de denotada por Como Es decir, las filas de la matriz A corresponden a las columnas de B y viceversa.,

9 Matriz Simétrica Una matriz es simétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta. Matriz Antisimétrica Una matriz es antisimétrica cuando es una matriz cuadrada, y es igual a su traspuesta de signo opuesto, siendo los elementos de la diagonal principal nulos; de valor cero. Matriz Ortogonal Una matriz ortogonal es una matriz cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. Matriz Normal Sea A una matriz compleja cuadrada, es una matriz normal si y sólo si donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A Matriz Conjugada Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitución de los elementos de una matriz por sus valores conjugados. Es decir, la parte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo. Ejemplo de matrices conjugadas:

10 Matriz invertible Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A −1, tal que AA −1 = A −1 A = I n donde I n es la matriz identidad de orden n; y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz tiene inversa siempre que su determinante no sea cero. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada. Matriz Singular o Degenerada También llamada no regular. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. Matrices iguales Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir,, aij=bij i=1,2,3,...,n j=1,2,3,...,m. Matriz Hermitiana Es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j.

11 Matriz definida positiva Una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo. Matriz Unitaria Es una matriz compleja U, de n por n elementos, que satisface la condición: donde es la matriz identidad y es el traspuesto conjugado de U. Esta condición implica que una matriz U es unitaria si tiene inversa igual a su traspuesta conjugada Una matriz unitaria en la que todas las entradas son reales es una matriz ortogonal. Submatriz A partir de una Matriz M, se llama submatriz (M‘) a toda matriz obtenida suprimiendo p filas y q columnas en M. Si M es de orden mxn, M' será de orden (m-p)x(n-q), es decir con p filas menos y q columnas menos. Es evidente que p < m ; q < n.

12 Suma y Resta de Matrices Para sumar y restar matrices, éstas pueden ser, las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una han de ser igual al número de filas y columna de la segunda. Para la suma, se suman los valores que ocupan la misma posición. El valor que se halla en la posición (1 1) de A con el valor de la posición (1 1) de la matriz B; el valor que se halla en la posición (1 2) de A con el valor de la posición (1 2) de la matriz B; el valor que se halla en la posición (1 3) de A con el valor de la posición (1 3) de la matriz B. De éste modo se hace con el resto de las filas. Para la resta, es lo mismo que en el caso anterior, pero, restando los valores que ocupan las mismas posiciones.

13 Multiplicación de Matrices Se consideran dos casos: 1.Multiplicar una matriz por un escalar: se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar 2.Multiplicar dos matrices: en éste caso, es preciso que la primera matriz tenga tantas columnas como filas la segunda. El resultado será una matriz que tiene el mismo número de filas como tiene la primera y tantas columnas como tiene la segunda. Sólo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el de filas del multiplicador.

14 EJEMPLOS CALCULAR: A + B; A − B; A x B; B x A. Dadas las matrices:

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