@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 3 * 4º ESO E. AC. POLINOMIOS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 3 * 4º ESO E. AC. POLINOMIOS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 3.2 * 4º ESO E. AC. SUMAS Y PRODUCTOS DE POLINOMIOS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 OPERACIONES CON POLINOMIOS Dos formas de sumar polinomios. Una mediante columnas de términos semejantes: P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x Q(x) = 3.x 3 + 5.x - 3 P(x) + Q(x) = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3 La otra, más recomendable, operar en una sola línea los distintos polinomios a sumar o restar: (5.x 4 + 4.x 3 - 2.x) + (3.x 3 + 5.x - 3) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x + 3.x 3 + 5.x - 3 = = 5.x 4 + 7.x 3 + 3.x – 3

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) + (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x + 7.x 3 + 5.x 2 - 3 = = 11.x 3 + 12.x 2 - 5.x - 3 SUMA DE POLINOMIOS

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x y Q(x) = 7.x 3 + 5.x 2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x ) - (7.x 3 + 5.x 2 – 3 ) = = 4.x 3 + 7.x 2 - 5.x - 7.x 3 - 5.x 2 + 3 = = - 3.x 3 + 2.x 2 - 5.x + 3 DIFERENCIA DE POLINOMIOS

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Hay dos maneras de multiplicar polinomios entre sí. Una es, al multiplicar cada monomio de un polinomio por todos los monomios del otro, colocarlos en columnas de términos semejantes, efectuando cómodamente la suma final: P(x) = 5.x 4 + 4.x 3 - 2.x Q(x) = 3.x 3 + 5.x 25.x 5 + 20.x 4 – 10. x 2 15.x 7 + 12.x 6 – 6. x 4 15.x 7 + 12.x 6 + 25.x 5 + 14.x 4 - 10.x 2 Otra, recomendable por rapidez y economía de espacio, realizarlo en hilera de resultados parciales. OPERACIONES CON POLINOMIOS

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x 2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x 2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x 2 + 4.x – 2 ) = = (20.x 3 + 16.x 2 – 8.x) + ( 15.x 2 + 12.x – 6 ) = = 20.x 3 + 16.x 2 – 8.x + 15.x 2 + 12.x – 6 = = 20.x 3 + 31.x 2 + 4.x – 6 PRODUCTO DE POLINOMIOS

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x 2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x 2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x 2 + 4.x ).(x 2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x 2 + 4.x + 7).(x 2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x 2 + 4.x ).(x 3 + x 2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x 2 + 4.x - 5).(x 3 + x 2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto será más difícil omitir o repetir algún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable. Número de términos

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 La POTENCIA de un polinomio es el resultado de multiplicar un polinomio por sí mismo tantas veces como indique el exponente. (x + y - 2) 3 = (x + y - 2). (x + y - 2). (x + y - 2) (x - 2) 5 = (x - 2). (x - 2). (x - 2).(x - 2). (x - 2) ( x + y ) 2 = ( x + y ) ( x + y ) = x 2 + 2.x.y + y 2 ( x - y ) 2 = ( x - y ) ( x - y ) = x 2 - 2.x.y + y 2 ( x + y ) 3 = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) = … = x 3 + 2.x 2.y + 2.x.y 2 + y 3 ( x - y ) 3 = ( x - y ) ( x - y ) ( x - y ) = … = x 3 - 2.x 2.y + 2.x.y 2 - y 3 POTENCIA DE UN POLINOMIOS