@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 12 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 Tema 12 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 Tema 12.6 * 1º BCS REGRESIÓN LINEAL

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 Regresión lineal En el caso de variables bidimensionales, como las de los ejemplos ya estudiados, al representarlas gráficamente nos saldrá una nube de puntos. Cuando los puntos se condensan en torno a una recta, nos interesa conocer la ecuación de la misma. Esa recta será la que más se ajuste a la nube de puntos. Esa recta significativa es tal que la suma de distancias de todos los puntos de la nube a dicha recta es la menor posible. Es la llamada Recta de Regresión, o Recta de Ajuste. De ecuación y = a.x + b Una vez que obtengamos la ecuación de dicha recta, tendremos la función lineal: y=f (x), pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi,yi ) que no estaban en la nube de puntos.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 La suma de los cuadrados de las distancias de todos los puntos a la recta yi = a.xi + b es : Σdi 2 = Σ[yi – (a.xi + b)] 2 Para que una recta ajuste lo máximo posible a una nube de puntos, o sea pase por la mayoría de los puntos o por su cercanía, se debe cumplir que la suma anterior sea la menor posible. Para que dicha suma sea la menor posible, derivamos la ecuación y la igualamos a cero, pues es un problema de máximos y mínimos. Como tenemos dos variables, a y b, derivamos dos veces, una con respecto a a y la otra con respecto a b, obteniendo dos nuevas ecuaciones igualadas a cero: Σyi – a. Σxi – n.b = 0 Σxi.yi – a. Σxi 2 – b. Σxi = 0 Resolviendo el sistema, queda: V xy _ ___ a = ----------  b = y – a.x  y = a.x + b s 2 x

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 Ejemplo 1: Regresión lineal xiyixi 2 yi 2 xi.yi 11111 ……….….. …… 78496456 33,543147,75249190 xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=3,35 ; y = 4,30 ; Vx = 3,35 ; Vy = 6,61 ; Vxy = 4,595 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo)

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Ejemplo 1 ( Y sobre X ) m = 4,595 / (1,9) 2 = 1,27 y – yo = m.(x – xo) y - 4,30 = 1,27.( x – 3,35) La ecuación será: y = 1,273.x + 0,036 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 1  y = 1,31 x = 5  y = 6,44 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas Nota = f (horas)

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 EJEMPLO 1 ( X sobre Y ) m = 4,595 / (2,57) 2 = 0,70 x – xo = m.(y – yo) x – 3,35 = 0,70.( y – 4,30) La ecuación será: x = 0,70.y + 0,34 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 1  x = 1,04 y = 6  x = 4,54 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas Horas = f (notas)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 RECTA Y sobre X y = 1,273.x + 0,036 RECTA X sobre Y x = 0,70.y + 0,34 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Si el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. Por el contrario, cuando el ángulo es grande la correlación es débil o muy débil (hasta casi 90º). Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas Horas = f (notas)

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejemplo 2: Regresión lineal xiyixi 2 yi 2 xi.yi 171497 ….. ……. 4316912 20405821691 xi=Precio de un producto (en €). yi=Miles de unidades vendidas. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=2,5 ; y = 5 ; Vx = 1 ; Vy = 2 ; Vxy = – 1,125 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo)

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Miles unidades 7 6 5 4 3 0 1 2 3 4 Precio Ejemplo 2 ( Y sobre X ) m = – 1,125 / 1 = – 1,125 y – yo = m.(x – xo) y – 5 = – 1,125.( x – 2,5) La ecuación será: y = – 1,125. x + 7,8125 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 1  y = 6,68 x = 4  y = 3,31 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2,5, 5)

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 EJEMPLO 2 ( X sobre Y ) m = – 1,125 / 2 = – 0,5625 x – xo = m.(y – yo) x – 2,5 = – 0,5625.( y – 5) La ecuación será: x = – 0,5625. y + 5,3125 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 3  x =3,60 y = 7  x = 1,40 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2,5, 5) Miles unidades 7 6 5 4 3 0 1 2 3 4 Precio

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I12 RECTA Y sobre X y = – 1,125. x + 7,8125 RECTA X sobre Y x = – 0,5625. y + 5,3125 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Como el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. Miles unidades 7 6 5 4 3 0 1 2 3 4 Precio

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I13 Ejemplo 3: Regresión lineal xiyixi 2 yi 2 xi.yi 15372251379555 ….….. ……. 18433241849774 1152791899111794587 xi=Edad de un joven (años). yi=Nº de calzado. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=16,43 ; y = 39,85 ; Vx = 1,24 ; Vy = 7 ; Vxy =0,15 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo)

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I14 Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad Ejemplo 3 ( Y sobre X ) m = 0,15 / 1,24 = 0,121 y – yo = m.(x – xo) y – 39,85 = 0,121.( x – 16,43) La ecuación será: y = 0,121. x + 37,86 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 15  y = 39,67 x = 18  y = 40,04 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16,43, 39,85)

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I15 EJEMPLO 3 ( X sobre Y ) m = 0,15 / 7 = 0,0214 x – xo = m.(y – yo) x – 16,43 = 0,0214.( y – 39,85) La ecuación será: x = 0,0214. y + 15,5772 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 39  x = 16,40 y = 43  x = 16,50 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16,43, 39,85) Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I16 RECTA Y sobre X y = 0,121. x + 37,86 RECTA X sobre Y x = 0,0214. y + 15,5772 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Como el ángulo que forman ambas rectas es muy grande, casi de 90º, la correlación es muy débil. Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad