@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1 PROBABILIDAD COMPUESTA Bloque IV * Tema 169.

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1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1 PROBABILIDAD COMPUESTA Bloque IV * Tema 169

2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 2 Son el resultado de combinar dos o más experimentos aleatorios simples. Ejemplos: Lanzar dos monedas al aire. Lanzar tres dados al aire. Extraer dos bolas consecutivas de una urna. Extraer tres bolas a la vez de una misma urna. Pueden darse dos casos muy importantes: Extracciones CON REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es reemplazar el objeto extraído por otro de distinta modalidad (color, número, etc). Extracciones SIN REEMPLAZAMIENTO. Será cuando lo extraído NO se devuelva donde estaba tras mirar el resultado, antes de la siguiente extracción. Un caso particular, pero muy importante, es cuando se realizan todas las extracciones a la vez, en cuyo caso no podemos hablar de orden en los resultados. EXPERIMENTOS COMPUESTOS

3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 3 Dos o más experiencias son independientes cuando el resultado de una de ellas no dependen del resultado de las demás. Ejemplos: Lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, extracciones con reemplazamiento. Dos o más experiencias son dependientes cuando el resultado de una de ellas influye en el resultado de las demás. En este caso debemos hablar de probabilidad CONDICIONADA. Ejemplos: Extraer dos cartas de una baraja sin reemplamiento, extraer dos bolas de una urna sin reemplamiento, extraer una carta de una baraja y luego una bola de la urna A o de la B según sea la carta extraída. PROBABILIDAD COMPUESTA

4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 4 Ejemplos Ejemplo 1 Al lanzar una moneda al aire y luego un dado, obtengamos Cara y un 5. P(C ∩ 5) = P(C).P(5) = (1/2).(1/6) = 1/12 = 0,0833 Puesto que el resultado del dado no depende del resultado de la moneda. Ejemplo 2 Tenemos una urna con 3 bolas blancas y 2 negras. Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de la otra. Hallar la probabilidad de las dos sean negras. Sea A=“Obtener una bola negra en la primera extracción” Sea B=“Obtener una bola negra en la segunda extracción” 2 1 2 1 P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) = -------- ------- = --- --- = 2/20 =1/10 = 0,10 2+3 1+3 5 4 En la segunda extracción, al suponer que ha resultado negra la primera bola, sólo tenemos una bola negra de las cuatro que quedan.

5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 5 MONEDAS Se lanza al aire dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. ¿Y de obtener una cara y una cruz?. Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX}, vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos. P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5

6 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 6 DADOS Se lanza al aire dos dados exagonales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. ¿Y de obtener un doble? ¿Y de obtener un 7 como suma? ¿Y de no obtener un 4? Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} P(S=12) = Sf/Sp = 1/36 = 0,0277 P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 _ P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = = 0,9167 123456 1234567 2345678 3456789 456789 10 56789 11 6789 101112

7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 7 Se lanza al aire dos dados exagonales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos seises?. ¿Y de obtener un cuatro y un uno? Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} Sea A=Obtener un 6 en un dado. Sea B=Obtener un 6 con el otro dado. Sea C=Obtener un 4 en un dado. Sea D=Obtener un 4 con el otro dado. Sea E=Obtener un 1 en un dado. Sea F=Obtener un 1 con el otro dado. P(A∩B)=P(A).P(B) = 1/6. 1/6 = 1/36 = 0,0277 También P(6∩6)=P(6).P(6) = 1/6. 1/6 = 1/36 = 0,0277 P(C∩F)U(D∩E) = P(C).P(F) + P(D).P(E) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = = 1/36 + 1/36 = 0,0556 P(4∩1)U(1∩4) = P(4).P(1) + P(1).P(4) = 1/6.1/6+1/6.1/6 = = 1/36 + 1/36 = 0,0556

8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 8 BOLAS En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar sin reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9. 4/8 = 8/72 = 1/9 = 0,1111 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9. 3/8 = 9/72 = 1/8 = 0,125 Nota: Al extraer la segunda bola hay 8 en la urna, no 9. P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9. 4/8 + 4/9. 3/8 = 12/72 + 12/72 = 24/72 = 1/3 = 0,3333

9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 9 En una urna opaca hay 5 bolas Blancas, 3 Negras, 2 Rojas y 10 Verdes. Se extraen tres bolas al azar y sin reinserción. a)¿Cuál es la p. de que resulten en este orden: R  B  V?. b)¿Cuál es la p. de que las dos primeras sean B y la tercera R?. c)¿Cuál es la p. de que todas sean N?. d)¿Cuál es la p. de que ninguna sea Roja?. e)¿Cuál es la p. de que las tres sean de un mismo color?. Espacio muestral: E={5xB, 3xN, 2xR, 10xV} a) P(R∩B∩V) = P(R).P(B).P(V) = 2/20. 5/19. 10/18 = 100 / 6840 = 0,01462 b) P(B∩B∩R) = P(B).P(B).P(R) = 5/20. 4/19. 2/18 = 40 / 6840 = 0,005848 c) P(N∩N∩N) = P(N).P(N).P(N) = 3/20. 2/19. 1/18 = 6 / 6840 = 0,000874 d)_ _ _ _ _ _ P(R∩R∩R) = P(R).P(R).P(R) = 18/20. 17/19. 16/18 = 4896 / 6840 = = 0,7158 e) P(BBBUNNNUVVV) = P(B).P(B).P(B) + P(N).P(N).P(N) + P(V).P(V).P(V)

10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 10 BOLAS En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar con reinserción. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? ¿Y de que una sea A y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9. 4/9 = 8/81 = 0,09876 Nota: Al extraer la segunda bola se ha devuelto la primera a la urna. P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9. 3/9 = 9/81 = 1/9 = 0,1111 P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9. 4/9 + 4/9. 3/9 = 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963

11 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 11 Probabilidad compuesta: Resumen Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumplan dos (o más) sucesos: P(A y B) = P(A∩B)= P(A).P(B) Es la llamada Regla del producto. Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumpla alguno de los dos (o más) sucesos: P(A o B) = P(AUB)= P(A)+P(B) Es la llamada Regla de la suma. Para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos se puede utilizar el diagrama del árbol, el cual es imprescindible cuando el experimento presenta cierta complejidad.

12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 12 DIAGRAMA DE ÁRBOL El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. NORMAS 1.-Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento. 2.En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. 3.-Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. 4.-Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es 1

13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 13 URNAS DE BOLAS (1) En una urna opaca, A, hay 2 bolas Blancas y 3 Negras. En otro urna opaca, B, hay 5 bolas Blancas y 4 Negras. Se extrae una bola de la urna A y luego otra de la B. a)¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean Blancas?. b)¿Cuál es la probabilidad de que sea Blanca y Negra, en ese orden?. c)¿Y de que sean de distinto color? 2/5 3/5 B N 5/9 4/9 B N 5/9 4/9 B N P(B∩B) = 2/5. 5/9 = 10 / 45 = 0,2222 (a) P(B∩N) = 2/5. 4/9 = 8 / 45 = 0,1778 (b) P(N∩B) = 3/5. 5/9 = 15 / 45 = 0,3333 P(N∩N) = 3/5. 4/9 = 12 / 45 = 0,2667 0,1778+0,3333 = 0,5111 (c)

14 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 14 URNAS DE BOLAS (2) En una urna opaca hay 3 bolas Blancas y 2 Negras. Se extrae una bola al azar. Si es Blanca se devuelve a la urna; pero si es Negra se devuelve a la urna una bola Blanca. Se extrae otra bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea Negra?. 3/5 2/5 B N 3/5 2/5 B N 4/5 1/5 B N P(B∩B) = 3/5. 3/5 = 9/25 = 0,36 P(B∩N) = 3/5. 2/5 = 5/25 = 0,20 P(N∩B) = 2/5. 4/5 = 8/25 = 0,32 P(N∩N) = 2/5. 1/5 = 2/25 = 0,08 Por la Regla de la suma: P(X∩N)= 0,20 + 0,08 = 0,28