* Dpto. Física Aplicada UCLM

Presentación del tema: "* Dpto. Física Aplicada UCLM"— Transcripción de la presentación:

1 * Dpto. Física Aplicada UCLM
MAGNETISMO EN LA MATERIA TEMA 3 PROBLEMAS PROBLEMA 1. Energía de configuraciones dipolares . PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano. PROBLEMA 3. Inducción mutua. Espiras en diferente plano. PROBLEMA 4. Autoinducción y energía del campo magnético. PROBLEMA 5. Energía almacenada en el campo magnético. PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido Antonio J. Barbero * Dpto. Física Aplicada UCLM ** C.A. Albacete (UNED) Marzo 2016

2 El dipolo 𝑚 1 y 𝑟 son perpendiculares, su producto escalar es cero.
PROBLEMA 1. Energía de configuraciones dipolares. Consideremos un dipolo magnético 1 orientado según la vertical cuya posición se mantiene invariable. Hay otro dipolo 2 de igual momento magnético y confinado en el mismo plano cuyo centro está situado a una distancia 𝑟 del primero. El dipolo 2 tiene libertad para girar y forma inicialmente un ángulo 𝜃 con el eje horizontal. Explicar razonadamente qué posición final adoptará el segundo dipolo en las dos configuraciones iniciales que se muestran al margen. Módulos iguales Campo magnético que el dipolo 𝑚 1 origina en la posición de 𝑚 2 Configuración El dipolo 𝑚 1 y 𝑟 son perpendiculares, su producto escalar es cero. Energía del dipolo 𝑚 2 en esta configuración: elegimos como referencia de energía = 0 la posición 𝜃 = 0 Punto de vista de energía de la configuración Cuando 𝜃=90º  𝑈 2 >0  máxima energía mínima energía Cuando 𝜃=−90º  𝑈 2 <0  configuración estable Punto de vista del torque ejercido por el campo 𝐵 sobre el dipolo 𝑚 2 El torque del campo magnético sobre el dipolo tiende a orientarlo verticalmente hacia abajo. Cuando 𝜃 = +90º el torque es nulo, pero es una posición inestable (corresponde a máxima energía). En cambio cuando 𝜃 = -90º con torque también nulo, cualquier variación del ángulo origina un torque que tiende a restituir la configuración de mínima energía. Cuando 𝜃→90º  𝜏 2 →0 Cuando 𝜃=−90º  𝑈 2 <0  configuración estable

3 PROBLEMA 1. Energía de configuraciones dipolares (continuación).
Consideremos un dipolo magnético 1 orientado según la vertical cuya posición se mantiene invariable. Hay otro dipolo 2 de igual momento magnético y confinado en el mismo plano cuyo centro está situado a una distancia 𝑟 del primero. El dipolo 2 tiene libertad para girar y forma inicialmente un ángulo 𝜃 con el eje horizontal. Explicar razonadamente qué posición final adoptará el segundo dipolo en las dos configuraciones iniciales que se muestran al margen. Módulos iguales Campo magnético que el dipolo 𝑚 1 origina en la posición de 𝑚 2 Configuración Energía del dipolo 𝑚 2 en esta configuración: elegimos como referencia de energía = 0 la posición 𝜃 = 0 mínima energía Punto de vista de energía de la configuración Cuando 𝜃=90º  𝑈 2 <0  configuración estable Cuando 𝜃=−90º  𝑈 2 >0  máxima energía Punto de vista del torque ejercido por el campo 𝐵 sobre el dipolo 𝑚 2 El torque del campo magnético sobre el dipolo tiende a orientarlo verticalmente hacia arriba. Cuando 𝜃 = -90º el torque es nulo, pero es una posición inestable (corresponde a máxima energía). En cambio cuando 𝜃 = +90º con torque también nulo, cualquier variación del ángulo origina un torque que tiende a restituir la configuración de mínima energía. Cuando 𝜃=+90º  𝑈 2 <0  configuración estable Cuando 𝜃→−90º  𝜏 2 →0

4 PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano.
Flujo a través del sector de corona PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano. Una espira circular de radio a = 1.83 cm está situada en el origen de coordenadas, y hay otra espira en forma de sector de corona circular colocada en el mismo plano tal y como se indica en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ellas. Suponiendo que por la espira de radio a circula una corriente i, lo que la convierte en una fuente de campo magnético, necesitamos calcular el flujo que atraviesa el sector de corona para aplicar la relación Corriente que circula por la espira Si una corriente i circula por la espira, ésta se convierte en un dipolo magnético de momento Este dipolo origina en el espacio que lo rodea un campo magnético Buena aproximación ya que R >> a Área de un elemento de superficie Como la espira y el sector de corona circular están en el mismo plano, los vectores 𝑚 , 𝑟 son perpendiculares y por tanto su producto escalar vale cero. Véase que en el plano donde se aloja el sector de corona circular, el campo magnético es entrante (lo que se indica mediante las aspas en la figura), y su módulo sólo depende de la distancia r. Flujo magnético a través del sector de corona circular Sustitución numérica:

5 PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano (continuación).
G PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano (continuación). Una espira circular de radio a = 1.83 cm está situada en el origen de coordenadas, y hay otra espira en forma de sector de corona circular colocada en el mismo plano tal y como se indica en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ellas. S Mismo cálculo, empleando otro procedimiento: cálculo del potencial vector. Nos basaremos en que el flujo magnético puede expresarse del siguiente modo: Usando el teorema de Stokes, la integral de flujo del rotacional del potencial vector 𝐴 es equivalente a la circulación del vector 𝐴 a lo largo del contorno que delimita la superficie S. 𝑢 𝜑 De acuerdo con la aproximación dipolar, el potencial vector es 𝐴 𝑑 𝑙 Por lo tanto si calculamos el vector 𝐴 en todos los puntos del contorno G, su integración nos dará el flujo, y sabido éste determinaremos el coeficiente de inducción igual que se hizo en el procedimiento anterior. Como el dipolo está orientado según el eje vertical, la dirección del vector 𝐴 será azimutal, sólo tendrá componente 𝑢 𝜑 . (Se han representado los vectores 𝐴 y 𝑢 𝜑 separadamente de 𝑑 𝑙 por claridad del esquema) Véase en el esquema que en los tramos radiales el vector unitario 𝑢 𝜑 y el elemento de longitud 𝑑 𝑙 son perpendiculares, luego su producto escalar valdrá cero. Por consiguiente, sólo habrá circulación no nula del vector 𝐴 en los dos tramos curvos, y la integral de flujo quedará entonces como

6 PROBLEMA 2. Inducción mutua. Espiras en el mismo plano (continuación).
Una espira circular de radio a = 1.83 cm está situada en el origen de coordenadas, y hay otra espira en forma de sector de corona circular colocada en el mismo plano tal y como se indica en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ellas. Borde exterior, 𝑟=𝑅+𝑑 𝑑 𝑙 𝑢 𝜑 𝐴 Borde interior, 𝑟=𝑅 Valor del flujo: Al dividir por la corriente, también obtenemos el mismo resultado anterior:

7 Resolver el problema por dos procedimientos:
PROBLEMA 3. Inducción mutua. Espiras en diferente plano. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras concéntricas de radios r y R (r <<R) cuyos planos forman un ángulo q (véase figura). Resolver el problema por dos procedimientos: I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente. II. Considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa. I. Calculando el flujo que atraviesa la espira interna cuando por la externa circula corriente. Campo magnético creado por la corriente I que circula por la espira grande en su centro geométrico Al ser r << R, podemos suponer que el campo magnético a través de la espira pequeña es constante en todos sus puntos e igual al valor que tiene en el centro común de ambas espiras, y en consecuencia, también podemos suponer que el flujo magnético a través de la espira pequeña es el producto escalar del campo magnético por su vector superficie: Relación entre el flujo  que atraviesa la espira pequeña y la corriente I que circula por la espira grande:  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R donde M es el coeficiente de inducción mutua.  perpendicular al plano de la espira de radio r

8 Potencial vector creado por el dipolo
PROBLEMA 3. Inducción mutua. Espiras en diferente plano (continuación). II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa. Para calcular el coeficiente de inducción mutua hay que determinar el flujo magnético  a través de la espira grande (radio R), flujo que tiene su origen en el campo magnético B producido por la corriente I que circula por la espira pequeña (radio r << R). Una forma asequible (no demasiado complicada) de hacer esto es tratar a la espira pequeña como un dipolo magnético que origina un potencial vector que puede ser calculado con facilidad, y convertir la integral de superficie necesaria para calcular el flujo magnético en una integral de línea de ese potencial vector (que es el rotacional del campo magnético), aplicando el teorema de Stokes.  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R  perpendicular al plano de la espira de radio r Potencial vector creado por el dipolo en un punto genérico de la circunferencia de radio R Véase que Vista de perfil Teorema de Stokes: puesto que Siendo dS el elemento de superficie de la espira grande

9 donde M es el coeficiente de inducción mutua.
PROBLEMA 3. Inducción mutua. Espiras en diferente plano (continuación). II. Calcular el coeficiente de inducción mutua considerando la espira interna como un dipolo magnético y calculando el flujo magnético que éste produce a través la espira externa. Indicación: usar el teorema de Stokes para calcular el flujo magnético a partir de la circulación del potencial vector sobre el contorno de la espira externa.  perpendicular al plano de la espira de radio R  contenido en el plano de la espira de radio R  perpendicular al plano de la espira de radio r Relación entre el flujo  que atraviesa la espira grande y la corriente I que circula por la espira pequeña: Vista de perfil donde M es el coeficiente de inducción mutua. (Igual resultado que el obtenido usando el procedimiento I)

10 circunferencia de radio r que encierra la corriente neta N·I, siendo
PROBLEMA 4. Autoinducción y energía del campo magnético. Un toroide de sección rectangular cuyas dimensiones aparecen al pie de la figura está construido con un material magnético lineal de permeabilidad m = 100 m0. Alrededor del toroide hay un bobinado de 640 espiras conductoras uniformemente distribuidas. (a) Calcular los campos H y B. (b) Determinar el coeficiente de autoinducción del toroide. (c) Calcular la energía almacenada cuando circula una corriente de 500 mA por el bobinado. (a) Cálculo de los campos H y B. El campo H en el interior del toroide puede calcularse aplicando el teorema de Ampère: cuando circula la intensidad I, la corriente total es N·I, y las líneas de campo son circulares. El vector H es tangente a ellas en cada punto: su única componente es de módulo constante y su dirección es la de es el elemento de longitud de C, en dirección tangente y en el sentido antihorario Línea C es la corriente encerrada por la línea C circunferencia de radio r que encierra la corriente neta N·I, siendo Módulo Vector Vector

11 PROBLEMA 4. Autoinducción y energía del campo magnético (continuación).
Un toroide de sección rectangular cuyas dimensiones aparecen al pie de la figura está construido con un material magnético lineal de permeabilidad m = 100 m0. Alrededor del toroide hay un bobinado de 640 espiras conductoras uniformemente distribuidas. (a) Calcular los campos H y B. (b) Determinar el coeficiente de autoinducción del toroide. (c) Calcular la energía almacenada cuando circula una corriente de 500 mA por el bobinado. (b) Cálculo de la autoinducción. Calculamos primero el flujo de B a través de Flujo total (N espiras en el toroide) Autoinducción:

12 PROBLEMA 4. Autoinducción y energía del campo magnético (continuación).
Un toroide de sección rectangular cuyas dimensiones aparecen al pie de la figura está construido con un material magnético lineal de permeabilidad m = 100 m0. Alrededor del toroide hay un bobinado de 640 espiras conductoras uniformemente distribuidas. (a) Calcular los campos H y B. (b) Determinar el coeficiente de autoinducción del toroide. (c) Calcular la energía almacenada cuando circula una corriente de 500 mA por el bobinado. (c) Energía almacenada * Cálculo a partir de la autoinducción * Cálculo a partir de los campos

13 PROBLEMA 4. Autoinducción y energía del campo magnético (continuación).
Un toroide de sección rectangular cuyas dimensiones aparecen al pie de la figura está construido con un material magnético lineal de permeabilidad m = 100 m0. Alrededor del toroide hay un bobinado de 640 espiras conductoras uniformemente distribuidas. (a) Calcular los campos H y B. (b) Determinar el coeficiente de autoinducción del toroide. (c) Calcular la energía almacenada cuando circula una corriente de 500 mA por el bobinado. Resultados

14 PROBLEMA 5. Energía almacenada en el campo magnético.
Un imán permanente de forma esférica (radio 2.5 cm) tiene una imanación uniforme de A/m. Calcular la energía magnética almacenada en el espacio que la rodea. El momento dipolar 𝑚 y el campo 𝐻 alrededor de una esfera uniformemente imanada con imanación uniforme 𝑀 están dados por (consultar problema 1 del tema 1, videoconferencia 25 febrero) El campo 𝐻 es dipolar: lo consideraremos generado por un dipolo de valor La energía magnética por unidad de volumen dV en el espacio que alrededor de la esfera es radio R Elemento de volumen en coordenadas esféricas

15 PROBLEMA 5. Energía almacenada en el campo magnético (continuación).
Un imán permanente de forma esférica (radio 2.5 cm) tiene una imanación uniforme de A/m. Calcular la energía magnética almacenada en el espacio que la rodea. La energía magnética por unidad de volumen dV en el espacio alrededor de la esfera es Los vectores unitarios son ortogonales, por lo tanto los productos escalares entre unitarios distintos son iguales a cero. radio R Elemento de volumen en coordenadas esféricas

16 PROBLEMA 5. Energía almacenada en el campo magnético (continuación).
Un imán permanente de forma esférica (radio 2.5 cm) tiene una imanación uniforme de A/m. Calcular la energía magnética almacenada en el espacio que la rodea. La energía magnética por unidad de volumen dV en el espacio alrededor de la esfera es

17 El campo 𝐵 se extiende en toda la región que ocupa el disco
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT. Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético. Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco. Hallar el momento magnético inducido en el disco. Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre (a) El aumento del campo magnético ocurre a un ritmo constante, así pues lo expresaremos como Para t = 1 s el valor del campo es 500 mT Por lo tanto el vector campo 𝐵 en función del tiempo puede expresarse como donde consideramos la dirección del campo magnético como eje Z positivo El aumento de campo magnético producirá un campo eléctrico inducido en el disco de cobre conductor (ley de Faraday) El campo 𝐵 se extiende en toda la región que ocupa el disco 𝑢 𝜑 Como la derivada de 𝐵 solo tiene componente Z  el rotacional de 𝐸 sólo tiene componente Z y por simetría el campo 𝐸 sólo tiene componente acimutal. Es decir, el campo eléctrico está sobre el plano del disco y en cada punto va en dirección opuesta al vector unitario 𝑢 𝜑 debido al signo negativo introducido por la ley de Faraday. 𝑢 𝜑 El campo eléctrico inducido origina corriente inducida de acuerdo con la ley de Ohm:

18 Corte sección normal al disco
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación) Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT. Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético. Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco. Hallar el momento magnético inducido en el disco. Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre Determinamos el módulo del campo eléctrico a partir de la ley de Faraday Módulo de 𝐸 constante por simetría Se extiende a la superficie encerrada por Γ  Campo eléctrico 𝑢 𝜑  Corriente 𝑑 𝑙 𝑑 𝑙 Corte sección normal al disco 𝑢 𝜑

19 Corte sección normal al disco
PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación) Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT. Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético. Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco. Hallar el momento magnético inducido en el disco. Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre Potencia disipada por el elemento de volumen cilíndrico: anillo de radio r, anchura dr y espesor e 𝑢 𝜑 Volumen del disco 𝑑 𝑙 𝑑 𝑙 Corte sección normal al disco Potencia disipada por m3 𝑢 𝜑 Potencia disipada por el disco 

20 PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT. Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético. Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco. Hallar el momento magnético inducido en el disco. Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre (b) Campo magnético inducido en el centro del disco. Este elemento de circuito, ya que el espesor e del disco es muy pequeño, puede aproximarse a una espira de radio r que generará en su centro un campo magnético inducido igual a La trayectoria cerrada Γ en la que hemos considerado antes la circulación del campo eléctrico constituye un elemento de circuito por el que circula la intensidad Ya hemos visto que el sentido de la corriente 𝑗 es horario, y en consecuencia el vector campo magnético inducido por cada uno de estos circuitos elementales apuntará hacia abajo (sentido negativo del eje Z). La suma de todos los campos elementales nos dará el campo inducido total en el origen, el cual se opone al aumento del campo existente conforme con la ley de Faraday. 𝑢 𝜑 𝐵 𝑖 𝑢 𝜑

21 PROBLEMA 6. Energía disipada y campo magnético inducido (continuación)
Un disco de cobre de radio R = 4 cm y espesor e = 0.2 mm se encuentra situado perpendicularmente respecto a las líneas de un campo magnético constante B0 = 100 mT. En el instante t = 0 el campo magnético empieza a aumentar de modo uniforme hasta que al cabo de 1 s su valor alcanza 500 mT. Calcular la potencia disipada por unidad de volumen debida al incremento del campo magnético. Determinar el campo magnético inducido en el centro del disco. Hallar el momento magnético inducido en el disco. Si en lugar de cobre el disco fuese otro metal menos conductor, ¿cómo cambiarían los resultados de los apartados anteriores? Dato. Conductividad del cobre (c) Momento magnético inducido. Cada elemento de volumen que conduce la intensidad dI es un circuito elemental genera un momento magnético igual al producto de la corriente por el área y orientado según el eje Z negativo, ya que la corriente 𝑗 es de sentido horario 𝑢 𝜑 (d) Si el disco fuese de un metal peor conductor que el cobre, el valor de s sería menor; y puesto que todos los resultados anteriores son proporcionales a s, la potencia disipada, el campo magnético inducido en el centro y el momento magnético inducido serían más pequeños que los que hemos calculado. Evidentemente, ocurriría justo lo contrario si el disco estuviese hecho de un conductor mejor que el cobre: en tal caso los valores numéricos serían mayores. 𝑢 𝜑

22 BIBLIOGRAFÍA LIBROS 1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa. 3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley. 4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall. LIBROS DE PROBLEMAS 1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill. 2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial. RECURSOS EN LA RED VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES 2013  2014  2015  RECOMENDADOS Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws. Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cual puede seguirse sin problemas aunque se tenga alguna dificultad con la comprensión oral. Muy recomendable. Canal de física de Eugene Khutoryansky. Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.