Creadores: Gómez, Carla. Gordillo, Lucas. Gorritti, Rocío. Müller, Bruno. Muñoz Sánchez, Juan. Estudio de los Números Complejos.

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1 Creadores: Gómez, Carla. Gordillo, Lucas. Gorritti, Rocío. Müller, Bruno. Muñoz Sánchez, Juan. Estudio de los Números Complejos

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5 NÚMEROS COMPLEJOS

6 Esquema de Posicionamiento de los Números Complejos El conjunto de forma parte del conjunto de números, podría decirse que los números son con parte IMAGINARIA cero, es decir: Y los números IMAGINARIOS son, también, números con parte nula, lo cual significa:.

7 Opuesto y Conjugado Se denomina OPUESTO DE UN COMPLEJO al que se obtiene de cambia el signo tanto a la parte Real como a la Imaginaria. El CONJUGADO DE UN COMPLEJO se obtiene manteniendo el signo de la parte Real y cambiando el de la parte Imaginaria ComplejoOpuestoConjugado

8 El Plano Complejo Los Números REALES completan la recta numérica; por lo tanto, para representar números no reales hay que salir de la recta real y recurrir al plano, denominado PLANO COMPLEJO. En el Plano Complejo, el EJE DE LAS ABSCISAS es el EJE REAL y el DE LAS ORDENADAS, el EJE IMAGINARIO. El número complejo se representa mediante una FLECHA con origen en (0 ; 0) y cuyo extremo es el punto de coordenada La componente real se representa en el eje real, y la componente imaginaria, en el eje imaginario. La flecha es un vector. Todas las propiedades de los vectores las cumplen también los números complejos..,

9 Así se representa en el plano complejo: Para tener en cuenta: Los números reales se representan en la recta real. Los números complejos se representan como puntos en el plano.

10 Se presentan dos casos: Caso 1: Ninguna de las componentes es nula. Si ninguna de las componentes de un complejo es nula, sus signos determinan el cuadrante en el que se encuentra su afijo. Componente nula: Complejo sobre el eje. Signos Comp: cuadrante Caso 2: Una de las componentes es nula. Si la componente real es nula (0; ± b), y el número representa su encuentro sobre el eje imaginario. Si la componente imaginaria es nula (± a; 0) el número representa su encuentro sobre el eje real.

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12 Un poco de teoría para tener en cuenta… Suma de números complejos en forma binomica: La suma de dos complejos es otro número complejo; su parte real es la suma de las partes reales de los sumandos y su parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d i) La suma de complejos es conmutativa y asociativa La suma de números complejos tiene un elemento neutro que es el complejo (0;0) La suma de un complejo y su opuesto es el elemento neutro z + (-z) = (0;0) Resta de números complejos en forma binómica: La resta de dos números complejo es otro complejo que se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. (a + b i ) – (c + d i ) = (a + b i ) + (-c – d i ) = (a – c ) + (b – d ) i La resta de números complejos, como la de los números reales, no es conmutativa ni asociativa.

13 Un ejemplo para suma y resta en números complejos

14 23 Im Re 1 2 SUMA z1z1 z2z2 Z 1 +Z 2

15 23 Im Re 1 2 z1z1 -z2-z2 Z 1 -Z 2 RESTA 41

16 Teniendo 2 complejos: Z 1 = a + b i Z 2 = c + d i Entonces, la operación nos queda: Z 1 x Z 2 = (a + b i ) x (c + d i ) Aplicamos la propiedad DISTRIBUTIVA: Z 1 x Z 2 = (a + b i ) x (c + d i ) Ahora, comenzamos a resolver: En la diapositiva siguiente, te mostraremos un ejemplo.

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18 El cociente de dos números complejos es otro número complejo que se obtiene multiplicando el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor (proceso similar a la racionalización). Esto es si y, entonces: Luego:

19 EJEMPLOA)

20 EJEMPLO B) Bibliografía: Matemática II – Editorial Santillana – Serie: PERSPECTIVA Apuntes de Clases y Teoría de Carpeta