PROBABILIDAD.

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1 PROBABILIDAD

2 OBJETIVOS Definir conceptos de probabilidades, experimento, espacio muestral y evento. Estudiar principios para asignar probabilidad. Utilizar las siguientes reglas de probabilidad: Regla de la Adición Regla de la Multiplicación Teorema de Bayes

3 1.- IMPORTANCIA DE LAS PROBABILIDADES
Las probabilidades están presentes en nuestras vidas más a menudo de que podríamos sospechar. Todos tenemos una gran intuición probabilística. Ejemplos: En días lluviosos, fríos y con mucha humedad es alta la probabilidad de coger un resfrío.

4 Si ingerimos alimentos en lugares poco higiénicos, en ambulantes, es muy probable que contraigamos una infección estomacal. Si escuchamos una predicción de 80% de lluvia, y Ud. tiene planeado un paseo al campo con la familia. ¿Qué hace?. Lo mas racional es que cancele su paseo y se quede en su casa viendo un video.

5 2.- PROBABILIDAD La probabilidad es la posibilidad relativa de que un evento ocurra en el futuro. Puede asumir valores entre cero y uno. Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda. Si A es un subconjunto de , el suceso de A puede ocurrir de “n” maneras y  de “N” maneras igualmente posibles, entonces:

6 3.- METODOS PARA ASIGNAR PROBABILIDADES
3.1.- METODO CLASICO: Cuando se usa la suposición de resultados igualmente probables como una base para asignar probabilidades. Si un experimento tienen resultados posibles, el método clásico asignaría una probabilidad de 1/n a cada resultado experimental. Ejemplo: Experimento de lanzar una moneda. Experimento de lanzar un dado.

7 3.2.- METODO DE FRECUENCIA RELATIVA:
Si A es un evento asociado a un experimento, la frecuencia relativa de A es: Si un evento A se produce  n(A)-veces en un experimento, la probabilidad del evento A es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento, cuándo el número de veces N que se realiza el experimento tiende al infinito, es decir:

8 Ejemplo: Una empresa se está preparando para comercializar un producto nuevo, estima la probabilidad de que un cliente comprara el producto. Se ha realizado una investigación de mercados donde el personal de ventas telefonea a clientes potenciales. Cada llamada de ventas tiene dos resultados posibles: El cliente compra o no compra el producto. En la investigación se contactaron 400 clientes potenciales; 100 compraron el producto, pero 300 no.

9 3.3.- METODO SUBJETIVO: Este método para asignar probabilidades no supone de manera realista que todos los resultados experimentales son igualmente probables y cuando se dispone de pocos datos relevantes. En el uso de este método podemos usar cualquier información disponible, como nuestra experiencia o nuestra intuición, por ejemplo que diferentes personas asignen diferentes probabilidades al mismo resultado experimental.

10 Ejemplo: Tom y Judy acaban de hacer una oferta para comprar una casa
Ejemplo: Tom y Judy acaban de hacer una oferta para comprar una casa. Existen dos resultados posibles: A1 = Su oferta se acepta A2 = Su oferta se rechaza Judy establece: P(A1)=0.8 P(A2) = 0.2 Tom establece: P(A1)=0.6 P(A2) = 0.4 El hecho de que sus probabilidades difieran enfatiza la naturaleza personal del método subjetivo.

11 4.- Conceptos básicos 4.1.- Experimento: Ejecución voluntaria de un fenómeno. Se caracteriza por: Tener varios resultados posibles Existir incertidumbre sobre el resultado Ejemplo: Contar el número de piezas defectuosas producidas por una maquina en un día determinado

12 CLASIFICACIÓN DE EXPERIMENTOS
Experimento Deterministico: Es aquel experimento que esta completamente determinado y puede describirse por una fórmula matemática llamado también modelo determinísticos. Experimento no Deterministico: Es aquel experimento donde no se puede predecir con exactitud los resultados.

13 EXPERIMENTOS ALEATORIOS: Son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento (al azar). Ejemplos: Un lote de  ítems que contienen  defectuosos es muestreado. Un ítem muestreado no se reemplaza, y se registra si el ítem muestreado es o no defectuoso. El proceso continua hasta que todos los ítems defectuosos sean encontrados. En una empresa; de todos sus funcionarios, seleccionan un grupo de contadores previamente certificados para realizar sus pagos de la renta, y dichos profesionistas, harán la aclaración correspondiente  a la deducción por reciclaje de cartones y botellas que fueron canalizadas.

14 4.2.- Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se simboliza por  (omega). En la teoría de conjunto , representa el conjunto universal. Ejemplos: Lanzar una moneda  = {cara, sello} Seleccionar de una empresa privada a un funcionario.  ={contador colegiado, contador no colegiado}

15 Si A es un suceso entonces AC .
4.3.- SUCESO: Subconjunto del espacio muestral, seleccionado de acuerdo a una condición. Se representan por letras mayúsculas (A, B,..) Si A es un suceso entonces AC . Si el resultado de un experimento es un elemento de A decimos que el suceso A ha ocurrido. El suceso A = {a} que consta de un solo elemento se llama suceso elemental. El suceso que ocurre normalmente se llama suceso cierto o seguro. Ejemplo: De 5 personas opositoras al gobierno estatal, se seleccionó aleatoriamente tres personas para formar una comisión de fiscalización.

16 4.4.- AXIOMAS DE PROBABILIDAD
AXIOMA 1: Principio fundamental de probabilidad. No hay probabilidad negativa entonces, para todo suceso A: 0 ≤ P(A) ≤ 1, AXIOMA 2: La probabilidad del suceso seguro o del espacio muestral es: P() = 1

17 5.- REGLAS DE PROBABILIDAD
5.1.- REGLA DE LA ADICION: Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces: P (AUB) = P (A)+P (B) Para tres eventos mutuamente excluyentes A, B y C: P (AUBUC) = P (A)+P (B)+P(C)

18 PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
Ejemplo: Una maquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de frijoles, brócolis y otras legumbres. La mayor parte de la bolsa contiene el peso correcto, pero debido a ligeras variaciones en el tamaño de las verduras, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o mayor. Una verificación de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado reveló: PESO EVENTO NUMERO DE PAQUETES PROBABILIDAD DE OCURRENCIA Menor A 100 0.025 Satisfactorio B 3600 0.900 Mayor C 300 0.075

19 ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado paquete tenga un peso menor o mayor? Solución: A = {Peso Menor} C = {Peso Mayor} P(AUC)=P(A) + P(C)= = 0.10

20 P (AUB) = P (A)+P (B)-P(A∩B)
5.2.- REGLA GENERAL DE LA ADICION: Si A y B no son sucesos mutuamente excluyentes, entonces: P (AUB) = P (A)+P (B)-P(A∩B) Si A1, A2, A3 son sucesos cualesquiera, no mutuamente excluyentes entonces: P(A1UA2UA3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1∩A2) – P(A2∩A3) – P(A3∩A1) + P (A1∩A2∩A3)

21 Ejemplo: La comisión de turismo de florida seleccionó una muestra de 200 turistas que visitaron ese estado durante el año. La encuesta reveló que 120 fueron a Disney World, 100 a Busch Gardens, cerca de Tampa y 60 asistieron a ambos lugares. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya visitado Disney World o Busch Gardens? Solución: P(DisneyUBusch) = P(Disney)+P(Busch)-P(Disney∩Busch) = = 0.80

22 5.3.- REGLA DEL COMPLEMENTO: Si en  se define el suceso A, entonces su complemento es A’, donde: AUA’=  P (AUA’) = P() = 1 P (A) + P(A’) = 1 P (A’) = 1 – P(A)

23 5.4.- PROBABILIDAD CONDICIONAL Definición: Sea B un suceso arbitrario de un espacio muestral , con P(B)>0. La probabilidad condicional de que A ocurra, dado que B ha ocurrido se define como:

24 Ejemplo: Una entidad financiera tienen clientes con diversos tipos de deudas. El 12% de los clientes tienen deudas por hipotecas, el 30% por prestamos personales o comerciales y el 8% tienen los dos tipos de deudas. Se selecciona un cliente al azar. Si tienen deudas por hipotecas, ¿Cuál es la probabilidad que tenga deudas por prestamos personales o comerciales ?

25 Solución: A: Clientes que tienen deudas por prestamos personales o comerciales P(A)=0.30 B: Clientes que tienen deudas por hipotecas P(B)=0.12 A∩B: tienen los dos tipos de deudas P(A∩B)=0.08

26 5.5.- REGLA GENERAL DE MULTIPLICACION
Definición: La probabilidad de ocurrencia simultanea para los sucesos A y B es igual a la probabilidad de ocurrencia de A multiplicado por la probabilidad de ocurrencia de B dado que A ha tenido que ocurrir: Teorema: Para tres sucesos cualesquiera A1, A2, A3 tenemos. P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/(A1 ∩ A2))

27 Ejemplo: 10 rollos de películas hay en una caja, tres de las cuales están defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de escoger un rollo con defectos seguidos de otro también defectuoso? Solución: A: Primer rollo seleccionado B: Segundo rollo seleccionado La probabilidad de que dos rollos defectuosos sean seleccionado es:

28 Se supone que este experimento se realizo sin reposición
Se supone que este experimento se realizo sin reposición. Para el caso de tres eventos: A, B, C La probabilidad de que los primeros tres rollos seleccionado de la caja sean todos defectuosos es:

29 5.6.- REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACION PARA SUCESOS INDEPENDIENTES
Definición: P(B/A) = P(B), la probabilidad de que B ocurra no esta afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de A, entonces decimos que A y B son sucesos independientes, esto es equivalente a: Teorema: Sucesos A, B, C son mutuamente excluyentes si y solo si se cumplen las condiciones: P(A∩B) = P(A)P(B) P(A∩C) = P(A)P(C) P(B∩C) = P(B)P(C) P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)

30 Ejemplo: En una encuesta realizada por la American Automovile Association (AAA) encontró que 60% de sus socios hicieron alguna reservación en una línea aérea el año pasado. Se toman dos integrantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan hecho una reservación en alguna línea aérea? Solución: A: Primer socio seleccionado B : Segundo socio seleccionado

31 5. 7. - TEOREMA DE BAYES Si A1, A2, A3 ,
5.7.- TEOREMA DE BAYES Si A1, A2, A3 , ..., An son sucesos mutuamente excluyentes, de los cuales al menos uno de los Ai (i= 1, 2, …, n) debe ocurrir; y sea B un suceso cualesquiera en , la probabilidad condicional de la ocurrencia de Ai cuando el suceso B ha ocurrido es:

32 Ejemplo: Del total de empleados de una empresa se tiene que el 50% son técnicos, el 30% son oficinistas y el 20% personal de servicio; además se tiene que el 8% de los técnicos, el 9% de los oficinistas y el 10% del personal de servicio son antiguos trabajadores y son “bien remunerados” Supongamos que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser “bien remunerado”. ¿Cuál es la probabilidad de que el trabajador sea tecnico profesional?

33 Solución: B={Trabajador bien remunerado} A1 = {Técnicos} A2= {Oficinistas} A3= {Personal de Servicio} P(A1)= P(A2)= P(A3)=0.20 P(B/A1)= P(B/A2)= P(B/A3)=0.10

34 5.8.- PROBABILIDAD TOTAL El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas. Sea A1 , A2 , ..., An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera que se conocen las probabilidades condicionales P(B/ Ai ), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

35 Ejemplo: Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determine la probabilidad de que un autobús sufra una avería en un día.

36 Solución: Av :"sufrir una avería" en las tres líneas L1 : Servicio de la primera línea L2 : Servicio de la segunda línea L3 : Servicio de la tercera línea

37 MUCHAS GRACIAS