Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing.

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1 Facultad de Ciencias Exactas Químicas y Naturales Universidad Nacional de Misiones Cátedra: Fundamentos de Transferencia de Calor Área: Convección Ing. Sandra Hase CONVECCIÓN LIBRE

2 TEMA 9 : TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN V  Ecuaciones para la capa límite en convección libre  Soluciones aproximadas para una placa vertical  Ecuaciones empíricas para convección libre para las geometrías más comunes  Convección libre combinada con convección forzada

3 El mecanismo de transferencia de calor es de Convección Libre o Natural, si el movimiento del fluido se debe principalmente a Fuerzas corporales, producidas por variación de la densidad del fluido, resultante de gradientes de temperatura

4 Como la convección natural es producida por cambios en la densidad debido a gradientes de temperatura en el fluido, la situación física implica que la formulación matemática del problema de transferencia de calor se debe basar en las ecuaciones de los fluidos compresibles Simplificación: Cuando la diferencia de temperatura entre la superficie del cuerpo T  y la del fluido T  no es muy grande se puede suponer que el fluido es incompresible, de propiedades constantes, y el efecto de la variación de la densidad se incorpora en la ecuación de momentum en el término de la fuerza corporal Consideremos: CONVECCIÓN LIBRE LAMINAR ESTABLE EN UNA PLACA PLANA VERTICAL

5 Considérese la placa plana vertical de la Fig. En la pared la velocidad es cero debido a la condición de no deslizamiento; aumenta hasta cierto valor máximo y después disminuye a cero en el borde de la capa límite, ya que las condiciones de “corriente libre” son en reposo en el sistema de convección libre. El desarrollo inicial de la capa límite es laminar; pero a cierta distancia del borde principal, que depende de las propiedades del fluido y de la diferencia de temperatura entre la pared y el medio, se forman corrientes turbulentas y comienza una transición a una capa límite turbulenta. Más lejos en la placa, la capa límite puede volverse turbulenta por completo El perfil de velocidad en esta capa Iímite es bastante diferente del perfil de velocidad en una capa límite de convección forzada. Cuando se calienta la placa, se forma una capa límite de convección libre, tal como se muestra. Placa vertical caliente

6 Para la convección natural desde una placa plana son aplicables las ecuaciones de la capa límite introduciendo la fuerza corporal apropiada en la ecuación de momentum Para ello, tomamos la coordenada x a lo largo de la placa y la coordenada y perpendicular a la placa

7 El término -  g representa la fuerza del peso que se ejerce sobre el elemento. Ec de continuidad: Ec de momentum: El gradiente de presión en dirección x se debe al cambio de altura y NO es cero. Se evalúa aplicando la ecuación del momentum en el borde de la capa límite: el cambio en la presión sobre una altura dx es igual al peso por área unitaria del elemento de fluido

8 La diferencia de densidades puede expresarse en términos del coeficiente de expansión volumétrica  : definido por Ecuación de momentum para la capa límite de convección libre

9 Obsérvese que la solución para el perfil de velocidad exige un conocimiento de la distribución de temperatura La ecuación de energía para el sistema de convección libre es el mismo que el de un sistema de convección forzado a baja velocidad Ec de energía:

10 El coeficiente de expansión en volumen  puede determinarse a partir de las tablas de propiedades para el fluido específico. donde T es la temperatura absoluta del gas.

11 Veamos cuales son los grupos adimensionales apropiados para tratar la transferencia de calor por convección NATURAL Para ello adimensionalizaremos las ecuaciones diferenciales que rigen este proceso físico. Para el caso de :  Flujo estable  Bidimensional (2D)  Propiedades constantes GRUPOS ADIMENSIONALES

12 Para adimensionalizar estas ecuaciones, consideramos las siguientes magnitudes características: L : longitud característica ( de tal manera que L >> longitud de la placa) : por ejemplo la U 0 : Velocidad de referencia ( No hay velocidad de corriente libre) T W : Temperatura de referencia ( Temperatura de la superficie de la placa )  T : Diferencia de temperatura de referencia ( por ejemplo Tw - T  en una placa) T  : Temperatura del fluido lejos de la placa caliente

13 Obtenemos así las llamadas variables adimensionales:

14 Al introducir estas variables en las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, se obtienen los grupos adimensionales. 1.Adimensionalización de la ecuación de continuidad.

15 2.Adimensionalización de la ecuación de momentum en x Sacando factor comúnDividiendo todo por ES un número adimensional

16 Nº de Grasof

17 Las fuerzas de empuje son las únicas impulsoras que generan el campo de flujo, ya que no hay un flujo externo. El Re no puede ser un parámetro independiente porque no existe una velocidad de flujo externo

18 Para gases Pr = 1: Nº de Rayleigh: Ra

19 Para obtener una solución de la ecuación de movimiento usamos el método integral de análisis Para el sistema de convección libre, las ecuaciones integrales son: ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA ECUACIÓN INTEGRAL DEL MOMENTUM

20 Observamos que la forma funcional de las distribuciones, tanto de velocidad como de temperatura, debe conocerse para llegar a la solución. Las ecuaciones de momentum y energía se hallan acopladas Las ecuaciones deben resolverse en forma simultánea Se suponen los perfiles de velocidad y temperatura

21 Perfil de velocidad supuesto: Polinomio cúbico Puede obtenerse una condición adicional a partir de la Ec. De momentum, observando que Cuatro condiciones de frontera son necesaria para obtener los parámetros del perfil de velocidad: donde u 0 es una velocidad ficticia la cual es una función de x.

22 Aplicando las cuatro condiciones, obtenemos el perfil de velocidad: Es una función arbitraria de x, con dimensiones de velocidad

23 Las condiciones siguientes se aplican a la distribución de temperatura: Perfil de temperatura supuesto: Polinomio de segundo grado

24 Aplicando las tres condiciones, obtenemos el perfil de temperatura: A partir de la cual obtenemos:

25 ¿A que distancia de la placa se encuentra el valor máximo de velocidad? Cuando

26 Así el perfil de velocidad puede escribirse como: 0,2 0,40,60,8 1,0 0 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15

27 Los perfiles adimensionales de velocidad y temperatura se grafican junto con los valores calculados exactos de Schmidt y Beckman para aire (Pr = 0,7) La aproximación integral del perfil de temperatura es mejor que la aproximación al perfil de la velocidad, lo cual es beneficioso para determinar la transferencia de calor.

28 Introduciendo los perfiles de velocidad y temperatura en la ecuación integral del momentum : ECUACIÓN INTEGRAL DEL MOMENTUM I II

29 (I)

30 (II)

31 Introduciendo los perfiles de velocidad y temperatura en la ecuación integral de la energía:

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33 Son ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas de las incógnitas: Las ecuaciones se pueden resolver por similaridad

34 Debemos buscar formas funcionales de u 0 y de , tales que cuando se sustituyan en las ecuaciones anteriores, las expresiones resultantes sean independientes de x Con este fin, supongamos que u 0 y  dependen de x, según: y Donde: Son constantes

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38 Si existen soluciones de similaridad, ambas ecuaciones deben ser independientes de x; esto es posible si los exponentes de x tienen el mismo valor en cualquier parte de estas ecuaciones Así:

39 Determinación de C 1 y C 2 SI:

40 ASI:

41 Espesor de la capa límite de velocidad y temperatura (ya que se supusieron iguales) El coeficiente de transferencia de calor puede evaluarse a partir de

42 Nusselt local para la convección libre desde una placa vertical

43 El coeficiente de transferencia de calor promedio puede entonces obtenerse llevando a cabo la integración El coeficiente promedio es Todas las propiedades deben ser evaluadas a : Excepto en gases, dondeSe evalua a

44 El número de Grasof puede interpretarse físicamente como la razón de las fuerzas de flotación a las fuerzas viscosas en el sistema de flujo de convección libre Es la variable fundamental usada como un criterio para transición de flujo de capa límite laminar a turbulenta Para aire en convección libre sobre una pared vertical, el grashof crítico es 4.10 8

45 Ecuaciones empíricas Ecuación de Churchill-Chu La ecuación se aplica para todo el rango de Pr y Ra mostrado en la figura La constante 0,68 es una corrección para bajos Ra, donde las suposiciones de capa límite son inexactas y el Nu promedio ya no es proporcional a Ra L ¼ Todas las propiedades deben ser evaluadas a : Excepto en gases, dondeSe evalua a

46 El problema más agudo con sistemas de flujo de convección libre se debe a que las velocidades son en general tan pequeñas que son muy difíciles de medir. A pesar de las dificultades experimentales, se han realizado mediciones de velocidad usando: Técnicas de burbuja de hidrógeno Anemometría de alambre caliente Anemómetros de fibra de cuarzo Se han obtenido mediciones de campo de temperatura por medio del uso del interferómetro de Zehnder-Mach

47 Un interferómetro indica líneas de densidad constante en un campo de flujo de un fluido. INTERFERÓMETRO Estas líneas de densidad constante son equivalentes a líneas de temperatura constante Así se obtiene el campo de temperatura y puede calcularse la transferencia de calor a partir de una superficie en convección libre usando el gradiente de temperatura en la superficie y la conductividad térmica del gas. Las líneas están más próximas cerca de la superficie de la placa, indicando un gradiente de temperatura mayor en esa región

48 VALIDEZ DE LA APROXIMAXIÓN DE CAPA LÍMITE  El espesor de la capa límite térmica con frecuencia es muy grande y los análisis comunes que consideran a la capa límite como delgada pueden tener un error significativo. Esto es particularmente cierto cuando Gr es muy pequeño.  El Gr es demasiado bajo y la capa limite es más grande que el radio en el extremo final  El Gr = 585, y las suposiciones de capa límite son irrazonables. El cilindro es pequeño en comparación con la región de perturbación térmica

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50 7-3 Relaciones empíricas para convección libre En forma general estas relaciones empíricas tiene la forma: Las propiedades se evalúan a la temperatura de película: Número de Rayleigh: Longitud característica: Placa plana verticalAltura de la placaL Cilindro HorizontalDiámetroD

51 7-4 Convección libre en planos y cilindros verticales Un cilindro vertical se puede tratar como una placa plana si: Donde C y m dependen del Ra Churchill y Chu han porpuesto relaciones más complicadas y se aplican sobre intervalos mayores del Ra Las propiedades para estas ecuaciones se evalúan a la temperatura de la película a. Temperatura de pared constante

52 b. Flujo de calor constante Las propiedades para estas ecuaciones se evalúan a la temperatura de la película Aplicables a agua y aire 7-4 Convección libre en planos ycilindros verticales

53 Ejemplo 7-l En un lugar de una planta cerca de un horno, un flujo de energía radiante de 800 W /m 2 incide sobre una superficie metálica vertical de 3.5 m de alto y 2 m de ancho. El metal está aislado en el lado posterior y pintado de negro de modo que toda la radiación incidente se pierde por convección libre hacia el aire circundante a 30 ºC. ¿Qué temperatura promedio alcanzará la placa? Tratamos este problema como uno de flujo de calor constante en la superficie Como no conocemos la temperatura de la superficie, debemos hacer una estimación para determinar T f, y las propiedades del aire. Un valor aproximado de h para problemas de convección libre es 10 W/m 2 ºC y así, aproximadamente:

54 A 70 ºC las propiedades del aire son: Para x = 3, 5 m

55 El valor de h = 5.41 W/m 2 ºC es menos que el valor aproximado que usamos para estimar T f Recalculando  T, obtenemos Nuestra nueva temperatura de película sería: A 104 ºC las propiedades del aire son:

56 Nuestra nueva diferencia de temperatura se calcula como Otra iteración en el valor de T f, no está garantizada por la mejoría en exactitud que resultaría

57 La temperatura de pared promedio es por tanto

58 7-5 Convección libre a partir de cilindros horizontales Churchill y Chu [70] dan la siguiente expresión:

59 7-6 Convección libre a partir de placas horizontales La dimensión característica L que se usa con estas relaciones es la longitud de un lado para un cuadrado, la media de las dos dimensiones para una superficie rectangular y 0.9d para un disco circular. En superficies horizontales que no son cuadrados, rectángulos o círculos, la dimensión característica puede calcularse con donde A es el área y P el perímetro mojado de la superficie

60 Ecuaciones simplificadas para aire

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62 Convección libre a partir de esferas Yuge recomienda la relación empírica siguiente para transferencia de calor por convección libre a partir de esferas hacia aire: Esta ecuación puede modificarse por la introducción del número de Prandtl para dar Las propiedades se evalúan a la temperatura de la película para valores muy pequeños del producto de los números de Grashof y Prandtl el número de Nusselt se acerca al valor de 2.0. Esto es el valor que se obtendría para conducción pura a través de un fluido estancado infinito alrededor de la esfera.

63 Convección libre en espacios cerrados Sea un fluido contenido entre dos placas verticales separadas por la distancia . En esta figura, el número de Grashof se calcula como: A números de Grashof muy bajos, hay corrientes de convección libre muy pequeñas y la transferencia de calor ocurre principalmente por conducción a través de la capa de fluido

64 A medida que aumenta el número de Grashof, se encuentran diferentes regímenes de flujo

65 Para predecir la transferencia de calor a diversos líquidos bajo condiciones de flujo de calor constante El flujo de calor se calcula como

66 La transferencia de calor en espacios cerrados horizontales involucra dos situaciones distintas. 1. Si la placa superior se mantiene a una temperatura superior a la de la placa inferior, el fluido de menor densidad está encima del fluido de mayor densidad y no ocurrirán corrientes de convección En este caso la transferencia de calor a través del espacio será solamente por conducción y Nu, = 1 2. El segundo caso, mas interesante, ocurre cuando la placa inferior tiene una temperatura mayor que la placa superior

67 Cuando comienza la convección, se forma un patrón de celdas hexagonales La turbulencia comienza alrededor de Gr, = 50 000 y destruye el patrón celular.

68 Convección libre y forzada combinadas Estas circunstancias surgen cuando se fuerza un fluido sobre una superficie caliente a una velocidad bastante baja Hay una velocidad de convección acoplada con la velocidad de flujo forzado que es generada por las fuerzas de flotación que resultan de una disminución en la densidad del flujo en las cercanías de la.superficie caliente. Se esperaría que en una situación de convección forzada que involucra una velocidad de flujo de 30 m/s, por ejemplo, eliminaría la mayor parte de los efectos de convección libre que se encuentran en campos gravitacionales ordinarios, debido a que las velocidades de las corrientes de convección libre son pequeñas en comparación con 30 m/s. Un criterio general para determinar si los efectos de convección libre son dominantes viene dado por: Gr/Re 2 > 1 la convección libre es de importancia fundamental

69 Regímenes de convección libre, forzada y mezclada para flujo a través de tubos verticales

70 Regímenes de convección libre, forzada y mezclada para flujo a través de tubos horizontales,

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