Curso de Bioestadística Parte 8 Inferencias acerca de una media

Presentación del tema: "Curso de Bioestadística Parte 8 Inferencias acerca de una media"— Transcripción de la presentación:

1 Curso de Bioestadística Parte 8 Inferencias acerca de una media
Dr. en C. Nicolás Padilla Raygoza Departamento de Enfermería y Obstetricia División Ciencias de la Salud e Ingenierías Campus Celaya Salvatierra Universidad de Guanajuato México

2 Presentación Médico Cirujano por la Universidad Autónoma de Guadalajara. Pediatra por el Consejo Mexicano de Certificación en Pediatría. Diplomado en Epidemiología, Escuela de Higiene y Medicina Tropical de Londres, Universidad de Londres. Master en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic International University. Doctorado en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic International University. Profesor Asociado B, Departamento de Enfermería y Obstetricia, División Ciencias de la Salud e Ingenierías, Campus Celaya Salvatierra, Universidad de Guanajuato.

3 Competencias Aplicará prueba de Z para obtener inferencias de una media. Obtendrá intervalo de confianza para una media. Aplicará prueba de t para una media en una muestra pequeña. Obtendrá el intervalo de confianza para una media en una muestra pequeña.

4 Introducción Si medimos la estatura de estudiantes de la FEOC, podemos obtener su media y desviación estándar: Número de estudiantes: 269 Media de estatura: cm Desviación estándar: 6.3 cm Mediana: 159 cm Rango: 149 a 185 cm. ¿Cuándo debemos utilizar mediana en lugar de la media? En una distribución sesgada, la media está distorsionada por los valores extremos y por lo tanto debemos usar la mediana.

5 Notación Para parámetros de la población usamos letras griegas, para parámetros de la muestra, usamos letras latinas. Parámetro Población Muestra Media μ _ X Desviación estándar σ s

6 Distribución de muestreo
Si tomamos muchas muestras del mismo tamaño de la misma población, cada muestra puede tener media y desviación estándar diferentes. Si graficamos esas medias de las muestras podemos obtener una distribución de muestreo. Sabiendo que el tamaño de muestra es grande, la distribución de las medias de las muestras es aproximadamente Normal, aunque la distribución de los datos en la población no sea Normal.

7 Distribución de muestreo
Estatura en cm. n % % acumulado 149 2 0.7 150 3 1.1 1.8 152 6 2.2 4.0 154 12 4.5 8.5 155 27 10.0 18.5 157 29 10.8 29.3 158 26 9.7 39.0 159 33 12.3 51.3 163 37 13.8 65.1 164 16 5.9 71.0 165 24 8.9 79.9 168 18 6.7 86.6 169 14 5.2 91.8 171 94.0 174 7 2.6 96.6 175 1 0.4 97.0 177 4 1.5 98.5 179 99.2 184 99.6 185 100.0 Total 269 Datos de estudiantes de la FEOC. Si tomamos otras 999 muestras de estudiantes podemos graficar la distribución de sus medias. Si muestreamos miles de veces, obtendremos una distribución más estrecha y más alta, siendo una distribución Normal. La media de la distribución de muestreo es la verdadera media en la población. Su desviación estándar es la desviación estándar de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. ES = σ/√n Hay que recordar que el error estándar de la media de la muestra es la desviación estándar estimada de la distribución de muestreo. En la realidad, sólo tomamos una muestra. Utilizando la media de la muestra en la lugar de la media de la población y la s de la muestra en lugar de la σ, inferimos como es la distribución de muestreo. Ya que la distribución es Normal, 95% de las medias de las muestras caen dentro de 1.96 veces el error estándar. Entonces el 95% de las medias de las muestras caen en el rango: μ±1.96 (σ/√n)

8 Intervalos de confianza al 95%
Usa la teoría de la probabilidad para extraer conclusiones acerca de una población, a partir de los datos obtenidos en una muestra. Es muy difícil estudiar a toda la población, por lo que estudiamos muestras. Métodos para hacer estimaciones y probar hipótesis son fundamentales para obtener inferencias. Un intervalo de confianza se extiende a cada lado de la media de la muestra por el múltiplo del error estándar. Lo más común es calcular el intervalo de confianza al 95%, que se extiende a 1.96 errores estándar a cada la do de la media de la muestra.

9 Intervalos de confianza al 95% (cont…)
Entonces los intervalos de confianza para una media se calculan así: _ X ± 1.96 (ES) X es el estimado obtenido de la muestra 1.96 es el múltiplo de errores estándar para 95% ES es el error estándar Deberíamos esperar que el intervalo de confianza al 95% alrededor de la media de la muestra incluya la media de la población en el 95% de las veces, si tomamos miles de muestras.

10 Intervalos de confianza al 95% (cont…)
Calculemos el intervalo de confianza al 95% para la primera muestra de 269 estudiantes de la FEOC: _ X = 161.6 ES= 6.3/√269= 0.38 IC95%= ± 1.96 (0.38) = ± 0.74 = a Yo tengo 95% de confianza de que la verdadera media de la población está entre y

11 Intervalos de confianza al 95% (cont…)
Podemos usar intervalos de confianza a otro porcentaje de confianza, sólo debemos cambiar el múltiplo del error estándar: Por ejemplo, al 90% cambia a 1.69. Para el 95.4% cambia a 2. Para el 99% cambia a 3.

12 Prueba de hipótesis para una media
La prueba de hipótesis es comprobar si nuestra estimación concuerda con una valor específico. Nuestra muestra de 269 estudiantes fue de con desviación estándar de 6.3 y error estándar de 0.38. En un estudio similar en los estudiantes de la Facultad de Contabilidad y Administración, obtuvieron una media de estatura de 167 cm. ¿Cómo podemos demostrar si la estatura de los estudiantes de la FEOC es igual o diferente de los estudiantes de la FCA? Media de FEOC 161.6 Media de FCA 167 Podemos ver, obviamente que no son iguales. Pero no sabemos si la diferencia observada es real o es debido a error de muestreo, ya que es una estimación de muchas que pudimos haber obtenido.

13 Prueba de hipótesis para una media
Para evaluar si la diferencia observada es real, se hace lo siguiente: Hipótesis nula señala que las medias de ambas poblaciones es la misma (la primera población es la población de estudiantes de la FEOC y la población de referencia es la de estudiantes de Contabilidad). La hipótesis nula se escribe Ho. Si la media de la hipótesis es μo y la media en estudio es μ, entonces la hipótesis nula se escribe como HO : μ = μo Hipótesis alternativa La hipótesis alternativa es que las medias de las dos poblaciones no son iguales. Usualmente se escribe como H1: μ≠μ0

14 Prueba de hipótesis para una media
Ya que se ha señalado la hipótesis nula, calculamos la probabilidad de obtener los datos observados si la hipótesis nula es verdad. Para obtener esta probabilidad, calculamos una prueba estadística y la comparamos a la distribución implicada por la hipótesis nula. En muchos casos será la distribución Normal.

15 Prueba de hipótesis para una media
La forma general de la prueba estadística compara los valores observados estimados de la muestra y el valor esperado si la hipótesis nula fuera verdad. También toma en cuenta la variabilidad en la población usando el error estándar. Esta prueba estadística se llama Z y es igual a: _ X – μo Z= ES Entonces, la prueba es una diferencia estandarizada entre X y μo. Si la hipótesis nula fuera verdad, todos los resultados de esta prueba que pudieran ser obtenidos de diferentes muestras tomadas de la misma población deberían tener una μo y estar distribuidos como la distribución estándar Normal. Esto es debido a que la media de la muestra, debería estar distribuida Normalmente con media (μo) y desviación estándar, ES. Así, usando las tablas de dos colas de la distribución estándar Normal, podemos obtener un valor de probabilidad para la prueba de Z observada. Esto es conocido como el valor de p. El valor de p es el área bajo la curva que corresponde a los valores fuera del rango (-z, z). El área en las colas de la distribución da la probabilidad de observar valores más extremos. Si el valor de p es grande decimos que la opción de observar un valor tan extremo como el valor de la muestra debería ser elevada si la hipótesis nula fuera verdad. En esta situación variación de muestreo puede ser la razón para la diferencia entre la media de la muestra y la media de la hipótesis, μo. No se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la media de nuestra muestra no es significantemente diferente de μo. Si el valor de p es pequeño decimos que la opción de observar un valor tan extremo como el valor de la muestra debería ser baja si la hipótesis nula fuera verdad. En esta situación, la variación de muestreo es improbable que sea la razón de la diferencia entre la media de la muestra y la media de la hipótesis, μo. Si el intervalo de confianza al 95% incluye la media de la hipótesis es probable que la media de la población de estudiantes de FEOC sea la misma que la media de los estudiantes de Contabilidad.

16 Ejemplo La muestra de estudiantes de la FEOC Media = 161.6 S = 6.3
IC 95% = a La hipótesis nula es que no hay diferencia entre las medias de estatura de estudiantes de la FEOC y FCA Ho: μ = 167cm Necesitamos usar la prueba de z: _ X – μo z = = = ES(X) El intervalo de confianza no incluye a la media de los estudiantes de la FCA de 167 cm, dando evidencia en contra de la hipótesis nula. Recordando como interpretamos los valores estandarizados Normales, estos nos dice a cuantos errores estándares, está la media de la μo, si la hipótesis nula fuera verdadera. Podemos usar la tabla de dos colas de la distribución estándar Normal para encontrar que el valor de p para z= es < (o 0.1%). El valor de p nos dice la probabilidad de observar una diferencia igual o más extrema que la que obtuvimos, si la hipótesis nula fuera verdad. Así la probabilidad de que la media de la muestra esté 5.4 cm arriba o debajo de la media de la hipótesis es menor al 0.01%. Por esta razón es improbable que obtengamos una media de cm si la verdadera media de la población fuera 167 cm. Concluimos que la media de cm es diferente de 167 cm.

17 Muestras pequeñas Si el tamaño de muestra es pequeño, usamos la distribución t. Su forma depende de los grados de libertad, que es una medida de qué tan pequeña es el tamaño de muestra. Los grados de libertad de una distribución t es igual al tamaño de muestra menos 1. Hemos calculado los intervalos de confianza y la realizado la prueba de hipótesis, para sacar provecho de las propiedades de las distribuciones de muestreo. La más importante de esas propiedades dice que todas las distribuciones de muestreo son Normales si el tamaño de muestra es suficientemente grande. Cuando el tamaño de muestra es pequeño, la distribución de las medias de las muestras no es exactamente Normal, aunque sea similar a la Normal. Esta es la distribución t. La forma de esta distribución depende sus grados de libertad, que es una medida de cuan pequeña es el tamaño de muestra.

18 Muestras pequeñas Entre menos grados de libertad, menos probabilidad de estar alrededor de la muestra y altas probabilidad de estar en las colas. Las distribuciones t con los más pequeños grados de libertad tienen las más pequeñas probabilidades a los lados de la media y mayores probabilidades en las colas. Sin embargo, entre mayor el tamaño de muestra y por lo tanto, mayor grados de libertad, más parecida es la distribución t a la distribución Normal. Hay tablas publicadas de valores seleccionados del área bajo la distribución t que usaremos cuando calculemos intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.

19 Muestras pequeñas Así, cuando el tamaño de muestra es pequeño, menos de 100, las fórmulas para el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis, son: 95%IC Prueba de hipótesis Estimación ± multiplicador (error estándar) Para probar Ho: μ=μo Estimación es la media estimada Para probar H1: μ≠μo Multiplicador es el valor de t que _ corresponde a p=0.05 con grados de X – μ0 libertad igual al tamaño de muestra t = menos ES Las fórmulas son las mismas pero el valor de p tiene que ser leído de las tablas de la distribución t

20 Valores de p ¿Una o dos colas?
Ahora sabemos que el valor de p es la probabilidad de haber obtenido un resultado al menos tan extremo como el encontrado con nuestra muestra si la hipótesis nula fuera verdad. Pero, ¿qué significa extremo? Cuando la hipótesis alternativa es H1: µ ≠ µo Luego resultados extremos pueden ocurrir por azar a cada lado de la media de la hipótesis, µo. Debido a esto usamos las tablas para dos colas de las distribuciones Normal y t.

21 Valores de p Hay situaciones menos comunes donde la hipótesis alternativa es H1: µ < µo o H1: µ > µo Entonces, valores extremos podrían ocurrir sólo a la izquierda o sólo a la derecha, de la media de la hipótesis. ¿Cuán pequeño es pequeño para el valor de p? Muchas personas usan el valor de p de 0.05 como punto de corte. Es un valor arbitrario, pero muy sensible. Significa que estamos preparados para rechazar la hipótesis nula al menos una vez de 20 cuando es verdad. Note que cuando el valor de una prueba tiene un valor de p menor a 0.05, el intervalo de confianza no incluye el valor de la hipótesis.

22 Valores de p ¿Si tenemos un valor de p de podemos rechazar la hipótesis nula? ¿Si tenemos un valor de p de no rechazamos la hipótesis nula? Cuando los valores de p estén entre 0.07 y 0.03 deberán ir acompañados del valor real de p, ya que están en los bordes de ser significativos.

23 Presentación de resultados
Presente sus resultados acompañados de los intervalos de confianza Clarifique cuál es sus hipótesis nula y alternativa De el valor de p de cada prueba, pero es suficiente con decir p< cuando sea el caso. No malinterprete los valores de p Un valor pequeño de p da lugar a rechazar la hipótesis nula Un valor de p grande da lugar sólo a no rechazar la hipótesis nula

24 Bibliografía 1.- Last JM. A dictionary of epidemiology. New York, 4ª ed. Oxford University Press, 2001:173. 2.- Kirkwood BR. Essentials of medical ststistics. Oxford, Blackwell Science, 1988: 1-4. 3.- Altman DG. Practical statistics for medical research. Boca Ratón, Chapman & Hall/ CRC; 1991: 1-9.