Villahermosa, Tab. 24 noviembre del 2010 ING. INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CATEDRATICO: Zinath Javier Gerónimo UNIDAD 4 CADENAS DE MARKOV.

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1 Villahermosa, Tab. 24 noviembre del 2010 ING. INDUSTRIAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CATEDRATICO: Zinath Javier Gerónimo UNIDAD 4 CADENAS DE MARKOV CADENAS DE MARKOV Clasificación de las cadenas de Markov EQUIPO 5 MONTEJO ZAPATA MARICELA BULOS ZAMORA GRACE ANAHI SALAS ALPUIN LUIS ALFREDO MERCADO GÁMEZ OMAR SÁNCHEZ ORTIZ LUIS MANUEL VÁZQUEZ FLORES LINO MAURICIO CARRASCO SANCHEZ LIZBETH ARACELY

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3 DEFINICIÓN: Dado dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesión de transiciones que comienza en i y termina en j, de modo que cada transición de la secuencia que tenga la probabilidad positiva de presentarse. Figura 6 Representación Grafica de la Matriz de Transición. S1 S2 12 3 4 5

4 DEFINICIÓN: Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria que vaya de i a j. DEFINICIÓN: Se dice que dos estados i y j se comunican si j es alcanzable desde i, e i es alcanzable desde j. Para la matriz P de probabilidad de transición representada en la fig. 6, el estado 5 es alcanzable desde el estado 3 (a través de la trayectoria 3-4-5), pero el estado 5 no es alcanzable desde el estado 1 (no hay trayectoria que vaya de 1 a 5 en la fig. 6) también, los estados 1 y 2 se comunican: podemos pasar de 1 a 2 y de 2 a 1. DEFINICIÓN: Un conjunto de estados S en una cadena de markov es conjunto cerrado si ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S. De la cadena de markov con la matriz F de la fig. 6 tanto S1= (1,2) Como S2 =( 3,4,5) son conjuntos cerrados. Observe que una vez que entramos a un conjunto cerrado no podemos dejarlo nunca. En la fig. 6 ningún arco com9ienza en S1 y termina en S2 o principia en S2 y termina en S1.

5 DEFINICIÓN: Un estado i es estado absorbente S1 p a = 1 S iempre que entramos aun estado de absorción, nunca lo podremos dejar. En el ejem. 1 la rutina del jugador, los estados 0 y 4 son absorbentes. Es natural que un estado absorbente sea un conjunto cerrado que solo contenga un estado. DEFINICIÓN: Un estado i es un estado transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde el estado j. En otras palabras, un estado i es un transitorio si hay manera de dejar el estado i de tal modo que nunca regrese a el. En el ejemplo (fig. 1), desde el estado 2 es posible pasar por la trayectoria 2-3-4, pero no hay modo de regresar el estado 2 desde el estado 4. igualmente, en el ejem. 2,[2 0 0], [1 1 0] y [1 0 1] son estados transitorios. En la fig. 2, hay una trayectoria desde [1 0 1] a [0 0 2], pero una vez que se hayan pintado ambas bolas, no hay manera de regresar a [1 0 1].

6 Después de un gran numero de periodos, la probabilidad de encontrarse en cualquier estado de transición i es cero. Cada vez que entramos aun estado i de transición, hay una probabilidad positiva de dejar i para siempre y terminar en el estado j descrito en la definición de estado transitorio. Así, al final, tenemos la seguridad de entrar al estado j (y en ese caso nunca regresamos al estado i). Así, suponga que en el ejem. 2 nos encontramos en el estado transitorio [1 0 1]. Con probabilidad 1, la bola no pintada la pintaremos finalmente y nunca regresemos a ese estado [1 0 1] (fig.2). DEFINICIÓN: Si un estado no es transitorio, se llama estado recurrente. En el ejem. 1, los estados 0 y 4 son estados recurrentes (y también n estados absorbentes) en el ejem. 2 [0 2 0] y [0 1 1] son estados recurrentes. Para la matriz de transición de la Fig.6, todos los estados son recurrentes.

7 DEFINICIÓN: un estado i es periódico con periodo k es el menor numero tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiple de k si un estado recurrente no es periódico. se llama aperiódico. Para la cadena de Markov cuya transición es: 0 1 0 Q= 0 0 1 1 0 0 Cada estado tiene periodo 3. Por ejemplo, así comenzamos en el estado 1, la única manera de regresar a ese estado es seguir la trayectoria 1-2-3 durante digamos m veces (Fig. 7) por lo tanto, cualquier regreso al estado 1 tomara 3m transiciones, de modo que el estado 1 tiene periodo 3. donde nos encontremos, tenemos la seguridad de regresar allí tres periodos después.

8 Figura 7 Cadena periódica de Markov con k=3 123 DEFINICIÓN: Si todos los estados de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre si, se dice que la cadena es ergódica. El ejemplo de la ruina del jugador no es cadena ergódida porqué, por ejemplo, los estados 3 y 4 no se comunican. El ejem. 2 tampoco es una cadena ergódida porqué, por ejemplo,[2 0 0] y [0 1 1] no se comunican. El ejem. 4, el ejemplo de la cola, es cadena ergódica de markov. De las siguientes tres cadenas de markov,P1 y P3 son ergodicas y P2 no es ergódica.

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