TEÓRIA DE CONJUNTOS 5º Profesor: LIC. LUIS GONZALO PULGARÍN r lugopul.wordpress.com

DEFINICIÓN DE CONJUNTO Conjunto es una colección o agrupación bien definidas de objetos de cualquier clase. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto. Ejemplo: En las figuras siguientes tienes un Conjunto de Personas. Teoría de Conjuntos Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para nombrar los Conjuntos. Y para nombrar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.

NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN Todo conjunto se escribe entre llaves { } Normalmente se utilizan letras MAYÚSCULAS A, B, X, Y …. para nombrar los Conjuntos. Los elementos se escriben con letras minúsculas(a, b, c, d, h…) y se separan con comas (,) Ejemplo: El conjunto de las letras del alfabeto: a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así: L={ a, b, c, ..., x, y, z} En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir elementos por ejemplo: El conjunto {x, x, x, y, y, z } incorrecto simplemente será { x, y, z }. correcto

DIAGRAMA DE VENN Diagramas de Venn Los Diagramas de Venn Euler son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos. Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Subconjunto y las Operaciones con conjuntos. Diagramas de Venn U A B C El Rectángulo representa conjunto Universal Los círculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.

DIAGRAMAS DE VENN Los diagramas de Venn sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada. Los diagramas de Venn se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) T o a e i u A 7 6 8 4 5 8 1 3 2 4 5 1 M 3 7 6 9 9 2 INDICE

DETERMINACION DE CONJUNTOS Hay dos formas de determinar un conjunto : Hay dos formas de determinar un conjunto POR EXTENSIÓN POR COMPRENSIÓN

DETERMINACION DE CONJUNTOS 1) POR EXTENSIÓN Es aquella forma mediante la cual se nombran cada uno de los elementos del conjunto. Es decir escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves y separados por una coma Ejemplos: El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. ( Comprensión) A = { 6,8,10,12,14,16,18 } ( Extensión) INDICE

VEAMOS OTROS EJEMPLOS POR EXTENSIÓN 1.Expresar por extensión el conjunto de días de la semana. Por Extensión : D = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo } .Sea A el conjunto de las vocales (Comprensión) A= { a, e, i, o, u } ( Extensión) 2. Sea B el conjunto de los números pares menores que 30 (Comprensión) B={ 2, 4, 6, 8, 10,12,14,16,18,20,22,24,26,28} ( Extensión)

2) POR COMPRENSIÓN Ejemplo: Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto. Expresar por comprensión el conjunto de días de la semana. Por Comprensión: D ={ x / x es un día de la semana } P= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.} Veamos otro ejemplo por comprensión y extensión. A = { es un número primo menor que 50} A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} P = { los números dígitos } Ejemplo:

Actividad Determina los siguientes conjuntos, listando sus elementos. o sea (Por Extensión) A = { las cinco primeras letras el alfabeto } A = { ……………………………………………….. } B = { los nombres de los meses del año que comienza con M } B = {…………………………………………… } C = { el nombre de la ciudad y el país donde vives } C = { …………………………………………………………} D = { nombre de tus profesores } D = { ……………………………………………………… } E = { nombre de los miembros de la sagrada familia } E = { ………………………………………………………. } F = {Números naturales mayores que 12 pero menores que 20} F = { } INDICE

2. Determinar los siguientes conjuntos, escribiendo una propiedad característica para todos los elementos. O sea (Por comprensión) Q = { enero, febrero, marzo} Q = { …………………………………………………………………. } R = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} R = { ……………………………………………………………. } S = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } S = {…………………………………………………………………. } T = { perro, gato, vaca, ballena } T = { …………………………………………………………… } P = { La Niña, la Pinta, La Santa María } P = { }

TAREA 1.Determinar los siguientes conjuntos, (Por extensión) listando todos sus elementos. H = {letras de la palabra amistad} H = {…………………………………………………………………. } J = {nombre de las niñas de tu aula} J= {…………………………………………………………………. } K = {nombre del presidente del Colombia y Venezuela} K = {…………………………………………………………………. } L = {animales domésticos } L= { ………………………….. ……………………} A = {números naturales mayores que 9 pero menores que 18} A= 2. Determinar los siguientes conjuntos, (por comprensión) escribiendo una propiedad común para todos los elementos. M = {manzana, plátano, naranja} M= {…………………………………………………………………. } N = {índice, pulgar, cordial, anular, meñique} N = {…………………………………………………………………. } Ñ = {do, re, mi, fa, sol, la, si} Ñ= {…………………………………………………………………. } P = {norte, sur, este, oeste} P= {…………………………………………………………………. } Q = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,…} Q = {…………………………………………………………………. }

Relaciones Entre Conjuntos RELACIONES DE LOS CONJUNTOS SubConjuntos Pertenencia Relaciones Entre Conjuntos Conjuntos Especiales Relaciones Entre Conjuntos Conjunto Vacio Conjunto Unitario Conjunto Finito e Infinito C Conjunto Universal

Relaciones Entre Conjuntos B A B SUBCONJUNTO O CONTENIDO Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí todos los elementos de A son también elementos de B. Se lee : A está incluido en B. A es subconjunto de B. A está contenido en B. A es parte de B Se simboliza así: A no es un subconjunto de B, es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B B Relaciones Entre Conjuntos A A B A B

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTOS Si A= { 1, 2, 3,} B= { 1 } C={ 8,9 } D={ 8} U A B C D Relaciones Entre Conjuntos 2 3 9 8 1 A U C U D U B U B A D C

Relaciones Entre Conjuntos SUBCONJUNTOS Veamos más Ejemplos: Considere los siguientes conjuntos: A ={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B ={ 1, 2, 3, 5, 7 } C ={ 1, 5 } Podemos decir que: Relaciones Entre Conjuntos C A y C B Ya que 1 y 5 los elementos de C, y también son elementos de A y B B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A o sea que no todos lo elementos de B son elementos de A

Relaciones Entre Conjuntos RELACION DE PERTENENCIA Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: 12 H Se lee 12 pertenece a conjunto H Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: y se lee No pertene 5 T Se lee 5 NO pertenece al conjunto T… Ejemplo: Sea M = {2,4,6,8,10} se lee 2 pertenece al conjunto M Relaciones Entre Conjuntos se lee 5 no pertenece al conjunto M

Relación de pertenencia Ejemplo a A (a pertenece a A) b A (b no pertenece a A) Realicemos actividades Relaciones Entre Conjuntos

Realicemos actividades Dado el diagrama completa con el símbolo de pertenece o no pertenece: ∈ ∉ 1....C 2.....C 1......B 2......B 7.....B 3.....B 6......C 7......C 4....B 4....C 5.. C 6....B Relaciones Entre Conjuntos 2. Según el diagrama completa con el símbolo pertenece o no pertenece : ∈ ∉ A= { } B= { } C= { } 3 … B 2 … C 2 … B 4 … A 2 … A 4 … B 1 … C 8 … B 7 …C 1 … B 5 … B 1 … A

Relaciones Entre Conjuntos Conjuntos Especiales CONJUNTO VACIO Es un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: { } o por Ø . A = Ø o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “ Ejemplos: M = { números mayores que 9 y menores que 5 } P = { } 0 P= Ejemplo de conjunto Vacío: Relaciones Entre Conjuntos El conjunto de los hombres que viven actualmente con más 500 años de edad.

Relaciones Entre Conjuntos CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: F ={número que es primo y par a la vez} F= { 2 } G = {primera letra del alfabeto} G={a } CONJUNTO FINITO Es el conjunto con limitado número de elementos. Ejemplos: E = { es un número impar menor que 10 } E= {1, 3, 5, 7,9 } N = { es un número par menor que 20 N= { 2,4,6, 8,10,12,14,16,18} Ejemplo de conjunto Vacio: Relaciones Entre Conjuntos

Relaciones Entre Conjuntos CONJUNTO INFINITO Es el conjunto con ilimitado número de elementos. . Ejemplos: S = {es un número par } S = { 2,4,6, 8,10,12,14.. } R = { Es mayor que (< 6 } R= { 7, 8, 9,10, 11, 12, 13,… } T= { El conjunto de las estrellas del cielo} Relaciones Entre Conjuntos

Relaciones Entre Conjuntos CONJUNTO UNIVERSAL Es un conjunto Referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular. El conjunto Universal se representa con: U Ejemplo: Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTO UNIVERSAL o CONJUNTO REFERENCIAL ={ letras del alfabeto } = { Números naturales } Relaciones Entre Conjuntos

A, B y C son subconjuntos de U CONJUNTO UNIVERSAL Ejemplo Si U=N, el conjunto de los números naturales A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B ={es un numero primo } C = { es un numero natural par } A, B y C son subconjuntos de U Relaciones Entre Conjuntos NOTA: Los números primos menores que cien son los siguientes:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN INTERSECCIÓN Conjuntos DISYUNTOS Diferencia Simétrica COMPLEMENTO Operaciones con Conjuntos DIFERENCIA

CONJUNTOS NUMÉRICOS C R Q I Z N

Operaciones con Conjuntos UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto formado por todos los elementos que están en A o en B o en ambos. Representamos la unión de A y B por A U B Y se lee “ A unión B”. Operaciones con Conjuntos U A B En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B

Gráficamente A U B Veamos otro ejemplo Podemos interpretar la unión de dos conjuntos A y B por el área sombreada . U A B 5 4 2 7 3 6 A U B Veamos otro ejemplo

En un diagrama de Venn quedaría: 1) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 7, 9} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} En un diagrama de Venn quedaría: U B A .2 .7 .1 .1 .3 .3 .5 .5 .9 .4 A U B

2) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6} C = {3, 4, 7, 8} A U B U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} “Tú puedes aprender, simplemente necesitas: dedicación, constancia y muchas ganas”

En un diagrama de venn U A U B U C B A .1 .5 .5 .6 .2 .3 .3 .4 .4 C 4 .8 .7

Operaciones con Conjuntos UNION DE CONJUNTOS Ejemplo Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f } Entonces: A U B ={ a, b, c, d, e, f} Operaciones con Conjuntos U A B a c e b d f A U B

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS B A B A AUB AUB U A B Si A y B son conjuntos disyuntos AUB

Se lee “ A intersección B” A ∩ B La intersección de dos conjuntos A y B es un conjunto formado por los elementos comunes o repetidos que están en A y en B. es decir, por los elementos a ambos conjuntos se simboliza por: INTERSECCIÓN: comunes o repetidos Se lee “ A intersección B” A ∩ B Gráficamente En este diagrama de Venn la región sombreada corresponde al conjunto A∩B. U A B A ∩ B Ejemplo:

1) Sean E = {a, e, i, o, u} a e F = {a, b, c, d, e} a e E ∩ F = {a, e} En un diagrama de Venn U F E .i .b .a .a .e .e .o .c .d .u E ∩ F

2) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 4, 5, 6} C = {3, 4, 7, 8} “No debes tomar las cosas que no te pertenecen, respetar lo ajeno es un valor que se llama Honradez, si te encuentras algo busca sus dueño. A ∩ B ∩ C = {3, 4}

En un diagrama de venn U A ∩ B ∩ C B A .1 .5 .5 .6 .2 .3 .3 .4 .4 C 4 .8 .7

Operaciones con Conjuntos INTERSECCION DE CONJUNTOS Si A={ a, b, c, d } B= { c, d } Si A={ a, b, c, d } B= { m, p, q } A ∩ B = { c, d } A ∩ B = Ø U A B Operaciones con Conjuntos U A B a b a b c d m p q c d A ∩ B = Ø, A y B son disyuntos A ∩ B =B porque B A Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman DISYUNTOS

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS B A B A U A B U A B= B U A B Si A y B son conjuntos disyuntos U A B = Φ

   CONJUNTOS DISYUNTOS C = {1, 3, 5} D = {2, 4} Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA : Como puedes observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISYUNTOS  B A 7 9 4  6 5 3 2 1 8  C = {1, 3, 5} D = {2, 4} C y D son disyuntos.

Relaciones Entre Conjuntos CONJUNTOS DISYUNTOS U B A Relaciones Entre Conjuntos AUB son conjuntos disyuntos A B = Φ son conjuntos disyuntos

DIFERENCIA: A ̶ B Ejemplo: A ̶ B Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y No pertenecen a B. se simboliza aí A ̶ B Y se lee “ A menos B” “A diferenrtes de B” Gráficamente podemos interpretar la diferencia de dos conjuntos A y B por el área sombreada. U A B Ejemplo: A ̶ B

1) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} 2, 4 B = {1, 3, 5, 7, 9} A ̶ B = { } B ̶ A = {7, 9} A ̶ B ≠ B ̶ A En un diagrama de venn U B A .2 .7 .1 .1 .3 .3 .5 .5 .9 .4 A ̶ B

2) Sean M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S = {1, 3, 5} S ̶ M = Ø Es decir S ⊆ M En un diagrama de venn U S M .2 .1 .1 .3 .3 .6 .5 .5 .4 S ̶ M

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Ejemplo 1: Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b } Operaciones con Conjuntos Ejemplo 2: Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6} Ejemplo 3: Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }

REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS B A B A A - B A - B U A B Si A y B son conjuntos disyuntos A - B=A INDICE

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Operaciones con Conjuntos Simbólicamente: A - B ={ } U A B U A B Operaciones con Conjuntos U A B

Y se lee “ complemento de A” El complemento de un conjunto se toma con base en el conjunto universal: U; decimos que el complemento de un conjunto A, es el conjunto de elementos que pertenecen a U y No pertenecen a A. También es el conjunto de elementos que le faltan a A para ser igual a U. se simboliza por: A’ Y se lee “ complemento de A” U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3 5 7 9 A ={1,3, 5, 7, 9} ={2,4, 6, 8, }

COMPLEMENTO: A U Sean .6 .2 U = {2, 3, 4, 5, 6, 7} 5, 6, 7 .5 .3 .4 .7 A’= { 5, 6, 7 } A’ En resumen:“El complemento de un conjunto A, es el conjunto de elementos que No pertenecen a A.

ACTIVIDAD PRÁCTICA

1 Dados los conjuntos: A = { 1, 4 ,7 ,10 , ... ,34} B = { 2 ,4,6,...,26} C = { 3, 7,11,15,...,31} Expresar A, B y C por comprensión A= { } B= { } C= { }

b) Hallar: A B C A, BUC A = {1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34} Sabemos que A B esta formado por los elementos comunes o repetidos de A y B, entonces: A B = { } C A = { } B U C = { } 2. Realiza las gráficas de cada una de las operaciones anteriores entre conjuntos U U

Ejercicios Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3} , B = {1, 2, 4, 5} y C = { 2, 3, 4, 6, 7} Calcular A  B = A  B = A – B = B – A = A  B  C = A  B  C = { 1,2 } { 1, 2, 3, 4, 5 } { 3 } { 4, 5 } { 2 } { 1,2, 3,4,5,6, 7 }

Ejercicio Colorear la parte que representa el conjunto teniendo en cuenta los conjuntos anteriores (A  B  C)= { }

SíMBOLOS UTILIZADOS EN CONJUNTOS IGUAL = U UNION ∩ є ELEMENTO PERTENECE INTERSECCION ___ є ELEMENTO NO PERTENECE DIFERENCIA Relaciones Entre Conjuntos COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO ES SUBCONJUNTO ’ NO ES SUBCONJUNTO N NÚMEROS NATURALES CONJUNTO VACIO { } o Ø U CONJUNTO UNIVERSAL Llaves { } ΄

FIN Profesor:LUIS GONZALO PULGARÍN R lugopul@gmail.com lugopul.wordpress.com