Inferencia en Lógica Proposicional INTELIGENCIA ARTIFICIAL Inferencia en Lógica Proposicional Mg. Samuel Oporto Díaz

Mapa Conceptual del Curso

Tabla de Contenido Inferencia. Reglas de Inferencia Formas Canónicas Probador de Teoremas Ejercicios Anexo Bibliografía

Objetivos Exponer los mecanismos de inferencia Presentar las reglas de inferencia. Presentar el concepto del probador de Teoremas

INFERENCIA ¿y ahora qué hago?

Inferencia Según la filosofía existen tres modos básicos de razonamiento: Deducción. inferencia desde las causas hacia los efectos, o desde lo universal hacia lo particular. Inducción. Recorre el camino inverso. Abducción o retroducción. Relacionado con la génesis de la hipótesis Inferencia Deductiva o analítica Sintética Inducción Hipótesis

Mecanismo de Inferencia Realiza razonamiento Verifica la consistencia de una sentencia dada. Es “completo” si puede encontrar una “prueba” para cada sentencia que se puede producir . Es “robusto” si los pasos que se siguen conducen solamente a sentencias que son consistentes con la base de conocimiento Teoría de pruebas: Conjunto de pasos de razonamiento que son “robustos”

Inferencia Razonamiento “robusto”, inferencia lógica, deducción Procedimiento que calcula la validez de sentencias Una sentencia es valida si y solo si es verdadera para todas las interpretaciones en todos los mundos posibles (sentencias analíticas, tautologías) No hay limite en la complejidad de las sentencias No importa la interpretación que se este utilizando Un proceso de inferencia confiable se denomina demostración Δ |=ρ ω desde Δ se obtiene ω ρ : reglas de inferencia Δ : conjunto de fórmulas bien formada Ω: teoremas que se pueden deducir desde Δ

Regla de inferencia Patrón de inferencias que se presenta constantemente Si se prueba su robustez una vez, se puede extender a cualquier caso Se utilizan para hacer inferencias sin tener que construir tablas de verdad

REGLAS DE INFERENCIA Reglas + Observaciones Δ |=ρ ω

Reglas de inferencia Modus Ponens : a  b, a b Modus Tollens: a  b, -b -a Eliminación-y : a1  a2 …. an ai Introducción-y: a1, a2, ….,an a1  a2 …. an Introducción-o:_____ai_________ a1  a2  ….  an Eliminación-doble-negación: ~~a a Resolución Unitaria: a b, ~b Resolución: a b, ~b  c ~a  b, b c a  c ~a  c

Ejercicio 1 ¿Cómo se puede demostrar que una nueva regla de inferencia es válida?

FORMAS CANONICAS

Forma Normal Clausal Un literal es una variable proposicional o una variable proposicional negada (o sea, con el símbolo ¬ delante). En el primer caso diremos que es un literal positivo, y, en el segundo, que es un literal negativo. Una cláusula es una sentencia de la forma: L1 V L2 V Ln donde los Li son literales y están unidos por disyunciones. Una sentencia está en forma clausulada si tiene la forma: (L11 V L12 V...) Λ (L21 V L22 V..) Λ ...

Conversión a Forma Clausal 1. Eliminar condicionales y bicondicionales: A  B ≡ ¬A V B A  B ≡ (A  B) Λ (B  A) ≡ (¬A V B) Λ (¬B V A) 2. Introducir negaciones mediante las equivalencias (1) (doble negación), (2) y (3) (de Morgan): ¬(¬A) ≡ A ¬(A V B) ≡ ¬A Λ ¬B ¬(A Λ B) ≡ ¬A V ¬B 4. Distribuir las Λ con la equivalencia: L1 V (L2 Λ L3) ≡ (L1 V L2) Λ (L1 V L3)

Ejemplo G Λ (R => F) Paso 1: G Λ (¬R V F) Paso 2: no es necesario Paso 2: ¬(G Λ ¬(R Λ ¬F)) ¬G V ¬¬(R Λ ¬F) ¬G V (R Λ ¬ F) Paso 3: (¬G V R) Λ (¬G V ¬F)

Ejercicio 2 Convertir a la FNC las siguientes expresiones: (A Λ (B V C) Λ (EA)) V D [(A(BVE)) Λ (C(DVF))] V [((AVB)E) Λ ((CVD)F)] (A Λ B Λ C Λ D) V (B Λ C Λ D Λ E ) S  (P  (Q V R)) (P  (Q V R)) Λ (P V Q) Λ R (R V Q V P)  (P Λ Q) (R Λ (Q V P))  (P  Q)

PROBADOR DE TEOREMAS

Probador de Teoremas [BD Λ ¬P(x)  Falso]  [BD  P(x)] Conocido como: Refutación. Demostración por contradicción Reducción al absurdo Consiste en que para demostrar P(x), suponemos que P(x) es falsa (se añade –P(x) a la BD) y se demuestra la contradicción [BD Λ ¬P(x)  Falso]  [BD  P(x)]

Ejemplo Supongamos que tu me quieres, si me quieres entonces debemos ser fieles, pero no me has sido fiel, por lo tanto no me quieres. Supongamos que eres un excelente congresista, si eres un excelente congresista entonces debes plantear leyes de alcance nacional, pero siempre te preocupas de los problemas eventuales, entonces eres un pésimo congresista. Si eres un buen hijo, entonces siempre debes de hacerle caso a la mamá, pero nunca le haces caso a la mamá, por lo tanto no eres un buen hijo.

EJERCICIOS

Ejercicio 3 Si pedro le apostó a Pittsburg, entonces se gastó el dinero. Si Pedro se gastó el dinero entonces su esposa no compra joyas y su esposa pide divorcio. Si su esposa no compra joyas, entonces los niños no comen o la esposa está enojada. Pedro le apostó al Pittsburg . Los niños comen por lo tanto su esposa está enojada.

Ejercicio 3 P: Pedro le apostó a Pittsburg Q: Pedro se gastó el dinero. R: Su esposa no compra joyas S: Su esposa pide divorcio T: Los niños comen U: Su esposa está enojada 1. PQ 2. QR Λ S 3. R¬T V U 4. P 5. T  U 7. Q modus ponens (1, 4) 8. R Λ S modus ponens (2, 7) R y – eliminación (8) ¬T V U modus pones (3, 9) 11. T  U ley implicación

Ejercicio 4 Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Para que el país salga adelante, se requiere de empresas. Para hacer una empresa se requiere inversión. Para invertir se requiere dinero Si tengo una empresa entonces tengo dinero Si eres peruano no tienes dinero Si eres extranjero tienes dinero Soy peruano . El país no sale adelante

Ejercicio 5 Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Si quiero bajar de peso, debo comer a la hora, hacer ejercicio, dormir bien y no ver TV más de 1 hora al día. Para dormir bien, debo hacer ejercicios. Para ver TV 1 hora, debo dormir bien. Siempre hago ejercicios No bajo de peso

Ejercicio 6 Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Para que la UNI salga adelante se requiere de buenos profesores y de buenos alumnos. Los buenos profesores aparecen si hay buenos sueldos, buenos laboratorios y capacitación constante. Para tener capacitación constante se requiere buenos profesores. Los buenos profesores generan nuevos proyectos Los nuevos proyectos generan recursos propios Los recursos propios generan buenos sueldos Todos los alumnos son buenos Hay capacitación constante. La UNI sale adelante

Ejercicio 7 Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Para terminar la UNI, debo aprobar todos mis cursos. Para aprobar mis cursos, debo estudiar y ser inteligente. Para estudiar debo tener dinero y tiempo. Soy inteligente Tengo dinero pero no tiempo Termino la UNI

Ejercicio 8 Establezca la siguiente expresión en lógica proposicional y diga si es posible llegar a la conclusión indicada: Si la banda no toca Rock and Roll, o las bebidas no llegan a tiempo, entonces la fiesta se cancela y Alicia está enojada. Si la fiesta se cancela entonces hay que regresar el dinero de las entradas. No se regresó el dinero de las entradas. Por lo tanto, la banda toca Rock and Roll.

Ejercicio 9 Dado los siguientes axiomas: (1). P (2). (P  Q)  R (3). (S  T)  Q (4). T Probar por refutación: R

Ejercicio 9 Convirtiendo a la forma canónica FNC (1). P P (2). (P  Q)  R P  Q  R (3). (S  T)  Q S  Q (4). T  Q (5). T T Introduciendo la proposición a probar (6) ¬R

Ejercicio 9 Aplicando reglas de inferencia (resolución) P  Q  R R T  Q Q  T T nil

Ejercicio 10 Demostrar que (τΛχ),(τν),(χω) |= (vΛω)

Ejercicio 10

Ejercicio 11 ~S11 ~S21 S12 ~B11 B21 ~B12 R1: ~S11  ~W11  ~W12  ~W21 R2: ~S21  ~W11  ~W21  ~W22  ~W31 R3: ~S12  ~W11  ~W12  ~W22  ~W13 R4: S12  W11  W12  W22  W13 S12 = hedor en [1,2] Prueba para encontrar el wumpus: ~S11 y R1 con Modus Ponens (1) (1) con Eliminación-y (2) ~S21 y R2 con Modus Ponens (3) S12 y R4 con Modus Ponens (4) Resolución unitaria con (4) y ~W11 (5) Resolución unitaria con (5) y ~W22 (6) Resolución unitaria con (6) y ~W12 1. ~W11  ~W12  ~W21 2. ~W11, ~W12, ~W21 3. ~W11  ~W21  ~W22  ~W31 4. W11  W12  W22  W13 5. W12  W22  W13 6. W12  W13 7. W13

ANEXO

Forma Normal Conjuntiva Se supone que todas las disyunciones (V) de la BC se agrupan en una conjunción (Λ) implícita grande, por lo que a esta forma se le denomina forma normal conjuntiva (CNF), aún cuando cada oración en particular es una disyunción (V) Forma Normal Conjuntiva ¬P V Q P Forma Normal Implicativa P  Q Verdad  P

Formas Canónicas Forma normal conjuntiva (CNF). Disyunción de literales. Forma normal implicativa (INF). Conjunciones en la izquierda que implica las disyunciones en el derecho. La CNF es más común, pero la INF es más "natural" para el análisis humano. Original KB CNF INF " x P(x) Þ Q(x)  ØP(w)Ú Q(w)  P(w) Þ Q(w)  " x ØP(x) Þ R(x) P(x) Ú R(x) True Þ P(x) Ú R(x) " x Q(x) Þ S(x) ØQ(y)Ú S(y) Q(y) Þ S(y) " x R(x) Þ S(x) ØR(z)Ú S(z) R(z) Þ S(z) A, A Þ B        Û        True Þ A, A Þ B       B                                 True Þ B

Bibliografía AIMA. Capítulo 6, primera edición. AIMA. Chapter 7, second edition.

PREGUNTAS