Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C. 2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 1 La concepción pitagórica del universo y el modelo aristotélico  La escuela pitagórica explicó la estructura del universo en términos matemáticos Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.C.  El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números  A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas  El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta  Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente  El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo  El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números)  Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron Antitierra

2 Gravitación 2 El modelo de Aristóteles Física 2º BACHILLERATO 2 El modelo de Aristóteles  El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas  La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra  Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia  Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran perfectos  El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas

Paralaje anual de las estrellas fijas 2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 3 El geocentrismo de Ptolomeo  Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad Paralaje anual de las estrellas fijas Estrella lejana Sol Tierra  ’  Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron: - La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas - Si la Tierra no fuese el centro del universo, a lo largo de su recorrido habría estrellas que tendrían que verse bajo distintos ángulos. Este fenómeno se denomina paralaje de las estrellas fijas  Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y predi-ciendo eclipses de Sol y de Luna

2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 4 El modelo de Ptolomeo. Excentricidad de las trayectorias  Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca Tierra  El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente Luna  Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra t  La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, artificio que denominó ecuante (Ec) Ec Ex  Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria

2 Gravitación 5 El modelo de Ptolomeo. Eclíptica y epiciclos Física 2º BACHILLERATO 5 El modelo de Ptolomeo. Eclíptica y epiciclos  Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste  Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones  El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra  La órbita alrededor de la Tierra se denomina eclíptica y la del planeta epiciclo  Un modelo sencillo de epiciclos no daba respuesta a las caprichosas órbitas de algunos planetas, por lo que hubo que introducir varios epiciclos, e incluso epiciclos dentro de otros epiciclos

2 Gravitación 6 Copérnico. Movimiento retrógrado de los planetas Física 2º BACHILLERATO 6 Copérnico. Movimiento retrógrado de los planetas  Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol I H G C D F E B A  Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos

Galileo nació en Pisa en 1564 2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 7 Galileo  Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano Galileo nació en Pisa en 1564  Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa  En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo  En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo  Un año después fue procesado por la Inquisición

2 Gravitación 8 Las leyes de Kepler. Primera ley Física 2º BACHILLERATO 8 Las leyes de Kepler. Primera ley  Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico Sol Foco  Perihelio  Afelio  Eje menor  Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas b Eje mayor  Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario  La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio a  La posición más cercana, es el perihelio Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos

2 Gravitación 9 Segunda ley de Kepler Física 2º BACHILLERATO 9 Segunda ley de Kepler 1 de enero  Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita 30 de enero 30 de julio 1 de julio Sol A Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales  El módulo del producto vectorial de 2 vectores es el área del paralelogramo que forman. Para un triángulo:  Como en el sistema podemos considerar que no hay fuerzas externas, entonces y por tanto . A partir de aquí se deduce que la velocidad areolar también es constante ya que es: siendo dA/dt la velocidad areolar

2 Gravitación 100 Tercera ley de Kepler Física 2º BACHILLERATO 100 Tercera ley de Kepler  Sirvió como base de la ley de Newton de la gravitación universal, y permitió calcular la masa de los planetas  Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe  Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (a), T 2 = Ka 3 siendo K una constante igual para todos los planetas  Como el sistema solar es un sistema aislado de fuerzas,  = 0, por tanto se conserva el momento angular = cte  La conservación de la dirección y el sentido obliga a que los planetas siempre giren en el mismo sentido y en órbitas planas  La conservación del módulo justifica la ley de las áreas

2 Gravitación m h r R 111 Newton y la gravitación universal Física 2º BACHILLERATO 111 Newton y la gravitación universal  La atracción de la esfera actúa como si toda su masa estuviese concentrada en el centro m h R r  Si M es la masa de la Tierra y R su radio, la fuerza ejercida sobre un cuerpo de masa m situado a una altura h sobre su superficie responde a la ley de Newton:  A partir de esta ley, Newton pudo explicar fenómenos tales como: - las protuberancias de la Tierra y de Júpiter a causa de su rotación - el origen de las mareas - las trayectorias de los planetas - la variación de la gravedad con la altura - el cambio en el eje de rotación de la Tierra, etc

2 Gravitación 122 Aplicaciones de la ley de la gravitación Física 2º BACHILLERATO 122 Aplicaciones de la ley de la gravitación  H. Cavendish verificó experimentalmente el valor de la constante G, y a partir de su valor, se puede deducir la tercera ley de Kepler de la gravitación universal de Newton  En el sistema formado por un planeta en su giro en torno al Sol, la única fuerza que mantiene a los planetas en su órbita es la fuerza centrípeta (1)  Despejando v resulta: que es la velocidad de un planeta o satélite girando en una órbita de radio r alrededor de un cuerpo de masa M (2)  Como v es aproximadamente constante:  Igualando (1) y (2):  Este resultado permite calcular la masa de cualquier planeta conocido el período y el radio de uno se sus satélites  Si M es la masa del Sol, el valor de la constante coincidirá con el valor que calculó Kepler

2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 133 Aplicación al cálculo de la fuerza ejercida sobre cada masa Cuatro masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras Datos: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2  Por la geometría de la figura, se cumple que: m 1 m F1 = F2 cuya suma es F’ = F1  La primera fuerza es: y por tanto: F’ = 4 G  La tercera fuerza es: luego: F3 = 2 G  La fuerza total será: FT = F’ + F3  FT = 4 G + 2G = 7,66 G FT = 7,66 G (N)

2 Gravitación Física 2º BACHILLERATO 144 Deducción de la ley de Newton a partir de las leyes de Kepler  Se supone que las órbitas descritas por los planetas en torno al Sol son circulares, sin que ello suponga cometer un gran error puesto que en realidad son prácticamente así  Velocidad angular del planeta:  Sol Tierra  Su aceleración centrípeta: a = 2 R R  Por la 3ª ley de Kepler (T2 = kR3):  La fuerza F ejercida sobre un planeta de masa m es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia  Dicha constante incluye la masa del Sol es decir: cte = GM  Ley de la gravitación universal La ley de gravitación universal indica que la fuerza de interacción entre dos partículas materiales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia