Conjuntos Introducción a la Teoría Axiomática de Conjuntos
Motivación Intuitivamente Un conjunto es una colección de objetos. Un conjunto es una colección de objetos. Un conjunto está definido por los objetos Un conjunto está definido por los objetos que contiene. que contiene. A cada conjunto corresponde una propiedad. A la inversa, a toda propiedad le debe corresponder un conjunto la colección de todos los objetos que verifican dicha propiedad. A cada conjunto corresponde una propiedad. A la inversa, a toda propiedad le debe corresponder un conjunto la colección de todos los objetos que verifican dicha propiedad.
En el desarrollo de la teoría de conjuntos se descubrió que esta intuición conduce a contradicciones y que debía descartarse. Paradoja de Russell Sea R el conjunto definido por la propiedad “un objeto pertenece al conjunto R si y sólo si no pertenece a si mismo” En símbolos R={A: A A }.
La pregunta es ¿R R? Si la respuesta es afirmativa, entonces R verifica la propiedad que define a R es decir R R (contradicción). Si la respuesta es negativa, por definición R R (contradicción).
Una forma de evitar esta paradoja es incluir dos tipos de objetos conjuntos y clases propias Clase y pertenencia ( ) no se definen. Un conjunto es una clase que tiene la propiedad de no pertenecerse a si misma.
Ejemplos El conjunto G de todos los gatos no es un gato, esto es G G. El conjunto G de todos los gatos no es un gato, esto es G G. R={A: A A } es una clase propia. R={A: A A } es una clase propia. La clase U formada por todos los conjuntos (clase universal) es también una clase propia. La clase U formada por todos los conjuntos (clase universal) es también una clase propia.
Teoría de Zermelo – Fraenckel ( ZF ) En la teoría no existen las clases propias solo conjuntos. Ejercicio Describir la teoría ZF (esto es enunciar los Describir la teoría ZF (esto es enunciar los componentes de la teoría axiomática de conjuntos ZF ). Demostrar que no existe el conjunto de todos los conjuntos (con la teoría ZF ). Demostrar que no existe el conjunto de todos los conjuntos (con la teoría ZF ).