Propagación DE ERRORES EN MEDICIONES Universidad Nacional de Colombia Fundamentos de Electricidad y Magnetismo Alexander Conde Gómez 153448 acondego@unal.edu.co Diana Paola Romero Márquez 143072 dipromerom@hotmail.com

INTRODUCCIÓN Todo proceso científico, pretende resolver problemas en torno a un fenómeno natural. Esta compuesto por las siguientes etapas: Observación: por la cual se obtiene información sobre el fenómeno o hecho natural. Experimentación: Donde se pretende reproducir el fenómeno o hecho, con el fin de obtener un mayor volumen de información. Razonamiento: Es la solución a un problema o estímulo de acuerdo a lo observado.

INTRODUCCIÓN Para determinar la confiabilidad y calidad del proceso de observación, se ha desarrollado una rama científica, la cual recibe el nombre de Metrología. Esta ciencia, comprende todos los aspectos, tanto teóricos como prácticos que se refieren a las mediciones, cualesquiera que sean sus incertidumbres y sin importar el o los campos de la ciencia y la tecnología en que tenga lugar[1].

INTRODUCCIÓN Pero estas medidas pueden ser tanto cualitativas (criterios de lo observado), como cuantitativas (cantidad). En ellas vienen implícitos errores de medición, los cuales provienen de muchas fuentes y tiene influencia en los resultados obtenidos. En el siguiente trabajo, se hará énfasis en los errores presentes en mediciones y en su propagación, para lo cual se darán las definiciones básicas y algunos ejemplos.

DEFINICIONES La medición cuantitativa, es un proceso mediante el cual se compara cuantitativamente una magnitud con otra de la misma especie, que se ha tomado arbitrariamente como base o patrón[2]. Las unidades patrón tiene como propiedad ser constantes y de fácil reproducción. Estas unidades en conjunto, constituyen el sistema de unidades establecido. Las mediciones se clasifican en: Medición directa: Consiste en comparar una medida experimental con una unidad patrón.

DEFINICIONES Medición indirecta: Consiste en el uso de instrumentos de medición o formulas teóricas. Cualquiera que sea la medición lleva consigo un error, una falla cometida al medir. Estos errores pueden tener diferentes fuentes, como: Errores instrumentales: Son inherentes al instrumento de medición. Se clasifican en: Estático: Valor inexacto presente en cualquier medición. Dinámico: Valor dado por las entradas del instrumento.

Errores Deriva: Valores atípicos por desgaste del instrumento. Exposición: errores por vibraciones o efectos externos al instrumentos. Ejemplo: Radiación eléctrica, vibraciones. Histéresis: Se refiere a la velocidad de ganancia o perdida del instrumento. Defectos de fábrica

Errores Error humano o no instrumental: Asociado al operador del instrumento y sus habilidades, como la alteración de sus sentidos, su conocimiento del instrumento, accidentes, entre otros. Algunos de ellos son: Error de paralaje. Esta asociado a la posición de lectura del operador.

Errores Error circunstancial. Esta asociado a las condiciones atmosféricas al momento de realizar la lectura, como alteración por la temperatura, presión, humedad, polvo, radiación. Error de interacción. Son aquellos que se producen por la interacción entre el observador, el objeto, las superficies y el instrumento de medición. Ejemplo de esto son el exceso de fuerza, puntos de apoyo, medios para sujetar el instrumento.

Errores Error de redondeo. Aproximación de números inexactos a números exactos. Error de calibración. Vencimiento de la calibración o calibración inexacta. Datos poco confiables e inexactos. Error por instrumento inadecuado. Instrumentos que no tiene tamaño, capacidad, forma, etc., adecuada para la medición.

Precisión y exactitud Estos afectan la precisión o valor mas cercano al valor verdadero, y la exactitud o resultado con menor porcentaje de error, las cuales están íntimamente relacionadas entre ellas y con el error.

PROPAGACION DE ERRORES  

Método general para la incertidumbre en funciones de una sola variable Sea 𝒚=𝒇(𝒙) entonces 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝒇 ′ 𝒙 Para valores muy pequeños de ∆𝒙 , es decir ∆𝒙→𝟎, tenemos 𝜹𝒚= 𝒇 ′ 𝒙 𝜹𝒙 𝜹𝒚: incertidumbre absoluta y 𝜹𝒙: incertidumbre absoluta x

Método general para la incertidumbre en funciones potencias: Sea 𝒚= 𝒙 𝒏 Entonces, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1 𝛿𝑦=𝑛 𝑥 𝑛−1 𝛿𝑥 En términos de la incertidumbre relativa 𝜹𝑦 𝑦 = 𝑛 𝛿𝑥 𝑥 𝜹𝑦 𝑦 : incertidumbre relativa de y 𝜹𝒙 𝒙 : incertidumbre relativa de x

Método general para la incertidumbre en funciones logarítmicas: Sea 𝒚=𝑳𝒏 𝒙 Entonces 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝟏 𝒙 𝜹𝒚= 𝟏 𝒙 𝜹𝒙 En términos de incertidumbre relativa 𝜹𝑦 𝒚 = 𝟏 𝑳𝒏 𝒙 𝜹𝒙 𝒙 𝜹𝑦 𝑦 : incertidumbre relativa de y 𝜹𝒙 𝒙 : incertidumbre relativa de x Para valores de 𝒙→∞ y 𝜕𝑦 𝑦 →𝟎

Método general para la incertidumbre en funciones exponenciales: Sea 𝒚= 𝑒 𝒙 Entonces 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒 𝒙 𝜹𝒚= 𝑒 𝒙 𝜹𝒙 La incertidumbre absoluta 𝜹𝒚 es muy sensible a valores de 𝒙>𝟏. EN GENERAL SI y=𝒇(𝒙) ENTONCES 𝜹𝒀= 𝒅𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝜹𝒙

Método general para la incertidumbre en funciones de dos o mas variables: Sea z=𝒇(𝒙,𝒚) entonces 𝒅𝒛= 𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝒅𝒙+ 𝝏𝒇 𝝏𝒙 𝒅𝒚 Para valores muy pequeños de ∆𝒙 , es decir ∆𝒙→𝟎 y ∆𝒚→𝟎 tenemos

Método general para la incertidumbre en productos de dos o mas variables: Sea z=𝒙𝒚 entonces 𝒅𝒛= 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝒅𝒙+ 𝝏𝒛 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝜕𝒛 𝒛 = 𝜹𝒙 𝒙 + 𝜹𝒚 𝒚 La incertidumbre relativa es la suma de las incertidumbres relativas de las variables

Método general para la incertidumbre en funciones potenciales de varias variables: Sea z= 𝒙 𝒂 𝒚 𝒃 donde a, b ∈𝑹 entonces 𝐋𝐧 𝒛=𝒂 𝑳𝒏 𝒙+𝒃 𝑳𝒏 𝒚 𝒅𝒛 𝒛 =𝒂 𝒅𝒙 𝒙 +𝒃 𝒅𝒚 𝒚 𝜹𝒛 𝒛 =𝒂 𝜹𝒙 𝒙 +𝐛 𝜹𝒚 𝒚 Cuando la función sea tan grande y complicada que no se pueda obtener un valor general de 𝜹𝒛, siempre se pueden tomar los valores medidos 𝒙𝒐,𝒚𝒐 , … y encontrar zo se utilizan los valores numéricos propios de xo + 𝜹𝒙, yo + 𝜹𝒚, … o xo - 𝜹𝒙, yo - 𝜹𝒚, … Estos valores se remplazan en la función z=𝒇(𝒙,𝒚) Factores de peso

EJEMPLOS LEY DE OHM: DESCARGA DE UN CONDENSADOR: 𝐼= 1 𝑅 𝑉 Ln 𝐼=𝐿𝑛 𝑉 −𝐿𝑛 𝑅 Se toma el valor absoluto de la contribución de la dos cantidades: 𝑑𝐼 𝐼 = 𝑑𝑉 𝑉 + 𝑑𝑅 𝑅  𝛿𝐼 𝐼 = 𝛿𝑉 𝑉 + 𝛿𝑅 𝑅 La incertidumbre relativa de la corriente en el circuito, es igual a la suma de las incertidumbres relativas de la diferencia de potencial y la resistencia. DESCARGA DE UN CONDENSADOR: I= Io 𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶

Para medir I que depende de cuatro variables Io, t , R, C, todas ellas con incertidumbre absoluta. 𝛿𝐼𝑜, 𝛿𝑡, 𝛿𝑅, 𝛿𝐶 se tiene: 𝑑𝐼= 𝜕𝐼 𝜕𝐼𝑜 𝑑𝐼𝑜+ 𝜕𝐼 𝜕𝑡 𝑑𝑡+ 𝜕𝐼 𝜕𝑅 𝑑𝑅+ 𝜕𝐼 𝜕𝐶 𝑑𝐶 𝑑𝐼 = 𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝐼𝑜+ − 1 𝑅𝐶 𝐼𝑜𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑡+ 𝑡 𝑅2𝐶 𝐼𝑜𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝑅 + 𝑡 𝑅2𝐶 𝐼𝑜𝑒 − 𝑡 𝑅𝐶 𝑑𝐶 Dividiendo entre I, tenemos: 𝑑𝐼 𝐼 = 𝑑𝐼𝑜 𝐼𝑜 + 1 𝑅𝐶 𝑑𝑡+ 𝑡 𝑅2𝐶 𝑑𝑅+ 𝑡 𝐶2𝑅 𝑑𝐶

Para variaciones muy pequeñas de cada una de las variables: 𝛿𝐼 𝐼 = 𝛿𝐼𝑜 𝐼𝑜 + 1 𝜏 𝛿𝑡+ 𝑡 𝜏 𝛿𝑅 𝑅 + 𝑡 𝜏 𝛿𝐶 𝐶 Donde 𝜏=𝑅𝐶 es la constante de tiempo. Para calcular la incertidumbre absoluta, es mejor tomar 𝐼𝑠= 𝐼𝑜+ 𝛿𝐼𝑜 𝑒 − 𝑡+ 𝛿𝑡 𝑅−𝛿𝑅 𝐶−𝛿𝐶 O 𝐼𝑖= 𝐼𝑜 − 𝛿𝐼𝑜 𝑒 − 𝑡−𝛿𝑡 𝑅+ 𝛿𝑅 𝐶+ 𝛿𝐶

BIBLIOGRAFIA RESTREPO DÍAZ Jaime.2010. Metrología aseguramiento metrológico industrial. Tomo II. VEGA MARTÍNEZ Enrique, MELIN CALLEROS Jaime Ramón. 1993. Notas de física I, Ciencias Experimentales. Universidad Nacional Autónoma de México. D.C. Baird. 1991. Experimentacion, una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos. Pearson Educacion. RABINOVICH Semyon. Measurement Errors: theory and Practice. American Institute of physics. 1995 http://www.slideshare.net/win/errores-de-medicion http://www.santiagoapostol.net/FQ/Laboratorio/med ida_del_volumen_de_un_liquido.htm