MATEMÁTICA BÁSICA CERO Sesión N°3 TEORÍA DE CONJUNTOS Departamento de Ciencias

EXPLOTACION DE LOS RECURSOS NATURALES El Perú cuenta con una gran variedad de recursos naturales, los cuales constituyen la base de nuestra economía. RECURSOS NATURALES Son aquellos elementos proporcionados por la naturaleza sin intervención del hombre EXPLOTACION DE LOS RECURSOS NATURALES Son el conjunto de bienes y materiales procedentes de la naturaleza que el ser humano utiliza para satisfacer sus necesidades.

ACTIVIDADES PRODUCTIVAS Es el conjunto de acciones y actuaciones de los seres humanos con el fin de obtener bienes que cubran sus necesidades. Para la producción de estos bienes es necesario la existencia de: TIERRA, CAPITAL, TRABAJO, TECNOLOGÍA

CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS ¿Qué entiendes por CONJUNTO? Mencione un ejemplo. 2. ¿Cómo se denomina al número de elementos de un conjunto? 3.¿Cuántos conjuntos de diferentes tipos observaste? 4. ¿Qué operaciones se pueden realizar entre conjuntos?

¿Cuántos estudian los tres cursos ? Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y Química se observó que 280 estudian el curso de Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian Química son 150 y todos aquellos que estudian dos asignaturas son en total 130 estudiantes . ¿Cuántos estudian los tres cursos ?

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante identifica la idea de conjunto, opera y resuelve ejercicios relativos a conjuntos, además de resolver problemas contextualizados aplicados en su entorno. 6

CONTENIDOS IDEA DE CONJUNTO. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO. RELACIÓN DE PERTENENCIA. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO. CONJUNTOS ESPECIALES. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS. EJECICIOS Y PROBLEMAS. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 7

1. IDEA DE CONJUNTO Colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. La Notación de un conjunto se da por medio de LETRAS MAYÚSCULAS. Ejemplo: Conjunto Un conjunto no es más que la agrupación de varios elementos . ¿Has coleccionado fichas, juguetes o láminas para un álbum? pues imagina que los conjuntos son exactamente eso; la colección de varios elementos que pueden clasificarse debido a que comparten características en común (fichas, láminas, etc). 8

2. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO Un conjunto también se puede denotar por medio de LLAVES Del ejemplo anterior, tenemos: A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 } CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: n (A) El número de ELEMENTOS que tiene un CONJUNTO A, se le denomina CARDINAL DEL CONJUNTO A, y se le representa como: n (A) Ejemplo: El CARDINAL del conjunto A es 9 ya que el conjunto A tiene 9 ELEMENTOS 9

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo: Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10} ... se lee 2 pertenece al conjunto M ... se lee 5 no pertenece al conjunto M 10

4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN: POR COMPRENSIÓN: Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto. Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: Ejemplo: A = { Au ; Ag ; Cu ; O } A = { x / x es un elemento químico} 11

A B 5. CONJUNTOS ESPECIALES CONJUNTO VACÍO: CONJUNTO UNITARIO: Conjunto que no tiene elementos. A = {x / x < 6 , x > 8} A CONJUNTO UNITARIO: Conjunto que tiene un elemento. B = {x / xєN, 4<x< 6} B 12

C 8 5 7 6 1 , 2 , 3 … N CONJUNTO FINITO: CONJUNTO INFINITO: Conjunto que tiene un número limitado de elementos. CONJUNTO FINITO: C = {x / xєZ, 4<x<9} C 8 5 7 6 Conjunto que tiene un número ilimitado de elementos. CONJUNTO INFINITO: D = {x / x < 6} 1 , 2 , 3 … N 13

3 1 7 5 D 2 4 6 8 9 U CONJUNTO UNIVERSAL: Conjunto referencial que contiene a todos los elementos. CONJUNTO UNIVERSAL: U = {x / 0<x<10} 3 1 7 5 D 2 4 6 8 9 U 14

6. RELACION ENTRE CONJUNTOS INCLUSIÓN: Un conjunto A está incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B. B A NOTACIÓN : Se lee : A está incluido en B, A es subconjunto de B, A está contenido en B , A es parte de B. 15

IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 } Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B 16

B A 7 9 4 6 5 3 2 1 8 CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes. REPRESENTACIÓN GRÁFICA: B A 7 9 4 6 5 3 2 1 8 17

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos. 1.1 UNIÓN Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 18

A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 1.2 INTERSECCIÓN Ejemplo: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B. 1.2 INTERSECCIÓN Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 19

A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 1.3 DIFERENCIA Ejemplo: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. 1.3 DIFERENCIA Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 20

¿A-B=B-A? El conjunto “B menos A” que se representa: ;es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A. Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 21

A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 1.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA Ejemplo: Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A). Ejemplo: A B 2 1 8 7 7 6 6 3 5 5 9 4 22

También es correcto afirmar que: A-B B-A A B 23

A’ = U - A 1.5 COMPLEMENTO U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9} Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A. 1.5 COMPLEMENTO Notación: A’ o AC Simbólicamente: A’ = U - A Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} y A ={1;3; 5; 7; 9} Entonces : A’ = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } 24

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO U A A 8 2 3 1 7 A’={2;4;6,8} 5 9 6 4 PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO 1. (A’)’=A 4. U’=Φ 2. A U A’=U 5. Φ’=U 3. A ∩ A’=Φ 25

Expresar B y C por comprensión b) Calcular: n(B) + n(A) 8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Dados los conjuntos: A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34} B = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31} Expresar B y C por comprensión b) Calcular: n(B) + n(A) c) Hallar: A ∩ B , C – A 26

Los elementos de A son: ... Los elementos de B son: ... SOLUCIÓN: Los elementos de A son: ... A = { 1+3n / nЄZ  0 ≤ n ≤ 11} n(A)=12 Los elementos de B son: ... B = { 2n / n Є Z  1≤ n ≤ 13} n(B)=13 27

c) Hallar: A ∩ B , C – A A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} Sabemos que A ∩ B esta formado por los elementos comunes de A y B, entonces: A ∩ B = { 4;10;16;22 } Sabemos que C - A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces: C – A = { 3;11;15;23;27 } 28

B B A A C C 2. Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C. A B C A B C 29

A B [(A ∩ B) – C] A C C B B [(B ∩ C) – A] A C [(A ∩ C) – B] C U U SOLUCION: A B [(A ∩ B) – C] A C C B B [(B ∩ C) – A] A C [(A ∩ C) – B] C U U 30

= A C A B C Toda la zona de amarillo es A U B Observa como se obtiene la región sombreada A C A B C Toda la zona de amarillo es A U B La zona de verde es A ∩ B Entonces restando se obtiene la zona que se ve en la figura : (A U B) - (A ∩ B) Finalmente le agregamos C y se obtiene: [ (A U B) - (A ∩ B) ] U C = ( A Δ B ) U C 31

¿Cuántos estudian los tres cursos ? Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y Química se observó que 280 estudian el curso de Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian Química son 150 y todos aquellos que estudian dos asignaturas son en total 130 estudiantes . ¿Cuántos estudian los tres cursos ?

Entonces si estudian Química: 600 – 150 =450 El universo es: 600 SOLUCIÓN: Estudian Matemática: 280 Estudian Física: 200 No estudian Química: 150 Entonces si estudian Química: 600 – 150 =450 F (I) a + e + d + x =280 M (II) b + e + f + x = 200 e a b (III) d + c + f + x = 450 x Dato: Estudian 2 cursos 130 ,entonces: (IV) d + e + f = 130 d f c Q 33

 Sabemos que : a=280-d-e-x Sabemos que : b=200-e-f-x Si a+b+e=150 Sumamos las ecuaciones 280-d-e-x+200-e-f-x+e=150 380-2x-(d+ e + f ) = 150  130 250-2x =150  x = 50 Esto significa que 50 estudiantes estudian los 3 cursos 34

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 521 - 539. SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 444 - 480. MILLER/HEEREN/HORNSBY. MATEMÁTICA RAZONAMIENTO Y APLICACIONES. 2° EDICIÓN. ED. PEARSON. PAG. 49 - 93. 35