Dimensión (instancia) Dado un esquema s, una dimensión de tipo Ƭ ∈ d es una tupla D = (C D, ⊏ ) donde: C D = {C j, j = 1,…,k} es un conjunto de categorías (niveles) Cada categoría C j tiene un único tipo de categoría correspondiente C j,es decir, se tiene una función Type(C j ) = C j Signatura Type: C D  C Ƭ

Una categoría (o nivel) C j es un conjunto de valores de tipo C j ⊏ es un orden parcial en ∪ j C j (unión de los valores de todas las categorías) De ahora en adelante se escribirá Dim en vez de ∪ j C j

Ej: Sea una dimensión LOCATION de tipo Ƭ loc dada por D loc = (C loc, ⊏ ) donde C loc = {Coordinate, Roadway, District, City, Province, Country, IPAddres, Cell, ⊤ } Donde, por ejemplo: Type(Coordinate) = C coordinate, Type(Roadway) = C roadway, etc.

Dado un par de valores (e i, e j ) ∈ C i x C j tal que Type(C i ) ⊏ Ƭ Type(C j ), e i ⊏ e j significa que e i está totalmente incluido en e j Ej: Si C city ⊏ C province, Type(City) = C city, Type(Province) = C province, (city12, province23) ∈ City x Province entonces: city12 ⊏ province23 Ƭ loc

city12 province23

La definición anterior se generaliza así: Dado un par de valores (e i, e j ) ∈ C i x C j tal que Type(C i ) ⊏ Type(C j ), e i ⊏ d e j significa que e i está parcialmente incluido en e j d representa el grado de inclusión: d ∈ [0;1] –Si d = 1, la inclusión es total –Si d = 0, indica que e i podría estar incluido en e j (P)Ƭ(P)Ƭ

Algunas reglas Supóngase que C i ⊏ Ƭ C j ⊏ Ƭ C k y que Type(C i ) = C i, Type(C j ) = C j, Type(C k ) = C k entonces se cumple que ∀ (e i, e j, e k ) ∈ C i x C j x C k : Inclusión total

a) Transitividad f-to-f (full to full) ((e i ⊏ 1 e j ) ∧ (e j ⊏ 1 e k )  (e i ⊏ 1 e k )) Gráficamente: ekek eiei ejej

Supóngase que C i ⊏ C j ⊏ C k, entonces: b) Transitividad p-to-f (partial to full) ∀ d ∈ [0;1) ((e i ⊏ d e j ) ∧ (e j ⊏ 1 e k )  (e i ⊏ d e k )) Gráficamente: (P)Ƭ(P)Ƭ (P)Ƭ(P)Ƭ

ejej ekek eiei Nótese que si e j está contenido totalmente en e k y e i tiene una parte en e j, entonces obligatoriamente e i tendrá una parte contenida en e k que como mínimo será d d

c) Transitividad f-to-p (full to partial) ∀d ∈ [0;1) ((e i ⊏ 1 e j ) ∧ (e j ⊏ d e k )  (e i ⊏ 0 e k )) Gráficamente:

ekek eiei Nótese que si e i está contenido totalmente en e j y e j tiene una parte en e k, no necesariamente e i tendrá una parte contenida en e k (safe approach) ejej d

d) Transitividad p-to-p (partial to partial) ∀ d1,d2 ∈ [0;1) x [0;1) ((e i ⊏ d1 e j ) ∧ (e j ⊏ d2 e k )  (e i ⊏ 0 e k )) Gráficamente:

ejej ekek eiei Nótese que si e i está contenido parcialmente en e j y e j tiene una parte en e k, entonces no se puede asegurar que e i tenga una parte contenida en e k (safe approach nuevamente) d2d1

Considérese el siguiente ejemplo donde se aplican las reglas de transitividad anteriores para deducir las relaciones entre otros niveles:

¡Imprecisión! a) Tipo y b) dimensión (instancia) Ƭ loc a) b) En la Figura b) las líneas punteadas indican los valores inferidos (no indican inclusión parcial)

Hechos Para definir formalmente los hechos sea e i ⊑ 1 e j ≡ ( e i ⊏ 1 e j )∨ (e i = e j ) Sea un conjunto de hechos F de tipo f y sea una dimensión D = (C D, ⊏ (P) ). Una relación hecho-dimensión se define como R ⊆ F x Dim Cada hecho debe estar relacionado con al menos un valor de cada dimensión

Un hecho f ∈ F se dice que es caracterizado por un valor de dimensión e k : f ⇝ e k Si ∃ e i ∈ Dim ((f, e i ) ∈ R ∧ e i ⊑ 1 e k )) Esta definición se extiende para inclusión parcial así:

Un hecho f ∈ F se dice que es 0- caracterizado por un valor de dimensión e k : f ⇝ 0 e k Si ∃ e i ∈ Dim (((f, e i ) ∈ R) ∧ (e i ⊑ d e k ) ∧ (d < 1)) Y es 1-caracterizado: f ⇝ 1 e k Si ∃ e i ∈ Dim (((f, e i ) ∈ R) ∧ (e i ⊑ 1 e k ))

Dpto Z Camino 33 f8 d = 0.6 f8 ⇝ 0 País W Dpto K f4 d = 1 f4 ⇝ 1 Ejemplos de caracterización 0 y 1 (f8, Camino 33) ∈ R (f4, Dpto K) ∈ R

Relaciones entre hechos y los valores de una dimensión A B C E D Las letras rojas en mayúscula simbolizan hechos A ⇝ 0 City1 D ⇝ 1 City1 Las flechas punteadas indican los valores inferidos

Algunas propiedades del modelo Sea un objeto multidimensional (MO) M= { s, F, D M, R M } donde: - s = ( f, d ) donde: f es un tipo de hechos d = { Ƭ i, i = 1,..., n} es un conjunto de tipos de dimensiones - F es un conjunto de hechos de tipo f - D M = {D i, i = 1,..., n} es un conjunto de dimensiones cada una de tipo Ƭ i - R M es un conjunto de relaciones de hechos- dimensiones: R M = {R i, i = 1,..., n}

Por ejemplo, si hay n dimensiones entonces R M se compone de n relaciones* donde se detalla como los hechos se relacionan con los valores de cada una de las n dimensiones * Aunque la cardinalidad de R M podría ser mayor al número de dimensiones si hay un hecho que, por ejemplo, está asociado más de una vez con una misma dimensión.

Algunas propiedades Dadas dos categorías C i y C j donde C j ∈ Anc (P) (C i ) se dice que la transformación de C i a C j es de tipo onto si: ∀ e j ∈ C j ( ∃( e i,d) ∈ C i x [0;1] (e i ⊏ d e j )) Informalmente: todos los elementos del nivel superior (j) están relacionados con al menos un elemento del nivel inferior (i) Gráficamente:

País 1País 2 Dpto z Dpto w Dpto k País 3 Dpto a Dpto c Dpto b Dpto d La transformación de Dpto a País es onto porque todo país se compone de al menos un Dpto. Otro ejemplo: Día a Mes es onto porque todo mes se compone al menos de un día

Sean las categorías C i, C j y C k donde C i ⊏ C j ⊏ C k se dice que la transformación de C j a C k es covering con respecto a C i si: ∀( e i,d) ∈ C i x [0;1] ( ∀ e k ∈ C k ((e i ⊏ d e k )  ∃( e j,d i,d j ) ∈ C j x [0;1] x [0;1] ((e i ⊏ e j ) ∧ (e j ⊏ e k )))) (P)Ƭ(P)Ƭ (P)Ƭ(P)Ƭ didi djdj

Informalmente: para todo elemento del nivel i (el más inferior) que esté relacionado con un elemento del nivel k (el más superior de los tres) deberá existir el “puente” a través de algún elemento del nivel j. Gráficamente:

Carretera 99 Coordenada 124 Distrito 876 Coordenada 843 Debido a que no todas las coordenadas están relacionadas con alguna carretera y dado que algunas de ellas se relacionan directamente con un distrito, la transformación de carretera a distrito con respecto a coordenada no es covering. En la dimensión tiempo, en las categorías año, mes y día la transformación de mes a año es covering con respecto a día

Dadas dos categorías C i y C j donde C j ∈ Anc (P) (C i ) se dice que la transformación de C i a C j es estricta si: ∀( e i, d i1,d i2 ) ∈ C i x [0;1] x [0;1] ( ∀( e j1, e j2 ) ∈ C j x C j ((e i ⊏ e j1 ) ∧ (e i ⊏ e j2 )  (( e j1 = e j2 ) ∧ ( d i1 = d i2 )))) d i1 d i2

Informalmente: un elemento de un nivel inferior solo puede tener un elemento “padre” en un nivel superior específico. Gráficamente:

11 Ago 1998 Agosto de Ago Oct 1997 Octubre de 1997 La transformación de Día a Mes es estricta (un día solo pertenece a un mes específico)

Se dice que una jerarquía es de agregación estricta si es estricta (todas las transformaciones son estrictas) o si se cumple que: si C j ∈ Anc (P) (C i ) y el mapeo de C i a C j es no estricto entonces Anc (P) (C j ) = ∅; de lo contrario es de agregación no estricta Gráficamente:

Carretera 99 Distrito 876 Coordenada 843 Carretera 89 Distrito 806 Como la transformación de Coordenada a Carretera es no estricta y como Anc (P) (Carretera) = {Distrito} ≠ ∅ entonces la jerarquía es de agregación no estricta. La jerarquía Día, Mes y Año es de agregación estricta porque es estricta (todas sus transformaciones son estrictas).

Se dice que una dimensión está normalizada si todas sus jerarquías son onto, covering y de agregación estricta. Una dimensión normalizada facilita y evita ambigüedades en la agregación de los hechos. Se proponen técnicas para normalizar una dimensión. Por ejemplo, si una jerarquía no es covering, se pueden introducir elementos artificiales (placeholders) para cubrir los “puentes” faltantes, si una jerarquía no es onto se pueden introducir hijos artificiales, etc.

Se dice que un objeto multidimensional está normalizado si todas sus dimensiones están normalizadas y si: ∀ R i ∈ R M (((f,e) ∈ R i )  (e ∈ ⊥ )) Es decir, todos los hechos se relacionan solo con elementos pertenecientes al nivel más inferior ( ⊥ ) de cada dimensión. DiDi