Estructura de Datos En C++ Dr. Romeo Sánchez Nigenda. E-mail: romeo.sanchez@gmail.com http://yalma.fime.uanl.mx/~romeo/ Oficina: 1er. Piso del CIDET. Oficina con Dr. Oscar Chacón Horas de Tutoría: 10am-11am Martes y Jueves, 3:30pm-4:30pm Miércoles, 2:00pm-4:00pm Viernes. Website: http://yalma.fime.uanl.mx/~romeo/ED/2011/ Sesiones: 48

Objetivo General: Conocerá y manejará las estructuras internas de información Temario: Conceptos Básicos La Pila Colas Recursión Listas Árboles Ordenamiento Búsqueda Administración de Almacenamiento Total a calificar: 110 puntos. 40% Tareas 30% Examen Parcial 30% Examen Final 10% Participación

Material de apoyo: Software: Estructura de Datos con C y C++. Yedidyah Langsam, Moshe J. Augenstein, Aaron M. Tenenbaum, Brooklyn College Segunda Edición, Prentice-Hall. Algorithms. Third Edition. Parts 1-4, Fundamentals Data Structures Sorting Searching Robert Sedgewick. Estructura de Datos. Román Martínez, Elda Quiroga. Thomson Learning. Cualquier libro de Estructura de Datos! Software: Compiladores GCC (GNU Compiler Collection) IDEs (Integrated Development Environment): http://www.eclipse.org/downloads/ http://kdevelop.org/ http://www.bloodshed.net/devcpp.html

4. Recursión Objetivo: El alumno comprenderá la representación y manejo de datos en forma recursiva Temario: Definición Ejemplos Factorial de un número Serie de Fibonacci Cálculo de una inversión Funcionamiento interno de la recursión Uso de pilas para simular recursión

Recursividad Es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición. Es evidente que el proceso especificado debe terminar con un resultado definido. Un problema que pueda ser definido en función de su tamaño, sea este N, puede ser dividido en instancias más pequeñas del mismo problema, aplicándose inducción sobre las más pequeñas para resolver el problema en general. Ejemplo: Función Factorial n! Dado un entero positivo n, se define al factorial de n como el producto de todos los enteros entre n y 1. Por ejemplo el factorial de 5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 Entonces: n! = 1 if n==0 Otra manera n! = n * (n – 1) * (n – 2) … * 1 si n>0

Factorial Solución iterativa: Características de una función factorial prod = 1 for(int x = n; x > 0; x++) { prod *= x; } return prod; Características de una función factorial 0! = 1 1! = 1 * 0! 2! = 2 * 1! 3! = 3 * 2! … n! = n * (n-1)!

Factorial y Funcionamiento Interno Siguiendo nuestra definición, el factorial de 5! es: 5! = 5 * 4! 4! = 4 * 3! 3! = 3 * 2! 2! = 2 * 1! 1! = 1 * 0! 0! = 1 0! = 1, 1! = 1 * 1 = 1 2! = 2 * 1 = 2 3! = 3 * 2 = 6 4! = 4 * 6 = 24 5! = 5 * 24 = 120 Internamente, las funciones recursivas utilizan pilas para mantener las generaciones sucesivas de variables locales y parámetros. Cualquier referencia a una variable local se hace través del tope de la pila Cada vez que se introduce una función recursiva se agrega al tope de la pila una nueva asignación de sus variables. old Cuando retorna la función, se remueve la pila, se libera la asignación en el tope, y la asignación previa se convierte en el tope actual de la pila. new

Factorial Función Recursiva Multiplicación de Números Naturales int factorial(int n) { if (n == 0) return 1; else if(n<0) return 0; //Error no existe factorial de números negativos return n * factorial(n – 1); } Multiplicación de Números Naturales El producto a * b se define como a sumado a sí mismo b veces, es decir: a * b = a if b==1 a * b = a * (b – 1) + a if a>1 5 * 3 = 5 * 2 + 5 = 5 * 1 + 5 + 5 = 5 + 5 + 5 = 15 int natural(int a, int b){ if(b == 1) return a; else return natural(a, b-1) + a;

Secuencia Fibonacci Secuencia de enteros en la que cada elemento en la secuencia es la suma de los dos elementos anteriores 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … donde fib(0) = 0, y fib(1) = 1 Definición recursiva Fib(n) = n if n==0 || n==1 Fib(n) = Fib(n-2) + Fib(n-1) if (n>=2) Ejemplo: Fib(6) = Fib(4) + Fib(5) = Fib(2) + Fib(3) + Fib(5) = Fib(0) + Fib(1) + Fib(3) + Fib(5) = 0 + 1 + Fib(3) + Fib(5) = 1 + Fib(1) + Fib(2) + Fib(5) = 1 + 1 + Fib(0) + Fib(1) + Fib(5) = 1 + 1 + 0 + 1 + Fib(5) = 3 + Fib(5) = 3 + Fib(3) + Fib(4) = 3 + Fib(1) + Fib(2) + Fib(4) = 3 + 1 + Fib(0) + Fib(1) + Fib(4) = 4 + 0 + 1 + Fib(4) = 5 + Fib(2) + Fib(3) = 5 + Fib(0) + Fib(1) + Fib(3) = 5 + 1 + Fib(3) = 6 + Fib(1) + Fib(2) = 6 + 1 + Fib(2) = 7 + Fib(0) + Fib(1) = 8

Secuencia Fibonacci Algoritmo iterativo Algoritmo Recursivo int lfib=0, hfib=1, x; for(int i=2;i<=n;i++){ x = lfib; lfib = hfib; hfib = x+lfib; } return hfib; Algoritmo Recursivo int fibonacci(int n){ if (n == 0 || n == 1) { return n; return fibonacciR(n - 1) + fibonacciR(n - 2);

Búsqueda Binaria > < Considere un conjunto de elementos ordenados La búsqueda secuencial checaría elemento por elemento 2 5 8 9 10 20 25 33 45 80 32? La búsqueda binaria reduce los elementos a buscar por la mitad al considerar la primera mitad del arreglo si el elemento a buscar es menor que el elemento intermedio, o la segunda mitad si es mayor intermedio N-1 2 5 8 9 10 20 25 33 45 80 min max < > 32? A considerar

Búsqueda Binaria > < < > > intermedio N-1 intermedio 2 intermedio N-1 intermedio 2 5 8 9 10 20 25 33 45 80 (Min+max) /2 min max 4 > < 32? A considerar 2 5 8 9 10 20 25 33 45 80 7 Descartados! min max < > 32? A considerar 2 5 8 9 10 20 25 33 45 80 5 min max > 32?

Búsqueda Binaria int busqueda_binaria(int a[], int min, int max, int elem){ //No encontramos el elemento cuando los dos extremos se cruzan if(min>max) return -1; //Index intermedio int pivote = (int)(min+max)/2; //Regresa el intermedio si es igual que el elemento que busco if(elem == a[pivote]) return pivote; if(elem < a[pivote]) return busqueda_binaria(a,min, pivote-1, elem); else return busqueda_binaria(a,pivote+1, max, elem); }

Propiedades de un algoritmo recursivo Para que sea correcto no debe generar una secuencia infinita. Debe definirse una función recursiva f en términos que no implique f para algunas secuencias Ejemplos: Factorial: 0! =1 Fibonacci: fib(0) = 0, fib(1) = 1 Búsqueda Binaria: if(min>max) return -1; if(elem==a[pivote]) return pivote; Definir una función recursiva en términos de casos más simples. Por ejemplo, el factorial de un número n! puede definirse como n * (n-1)!

Simulación de recursión usando pilas Motivación: Algunos lenguajes de programación (como Fortran y Cobol) no permiten funciones recursivas. En muchos casos, una solución recursiva es más costosa que una no recursiva, tanto en términos de tiempo como de espacio.

Simulación de recursión usando pilas Qué sucede cuando se llama a una función? Se pasan argumentos Asignan e inicializan variables locales Establecer el control de la función (dirección de retorno) Que sucede cuando retorna una función? Se recupera dirección de retorno Se libera el área de datos de la función (e.g., variables locales) Se restablece el control para la rutina que llama y se guardan valores de retorno de la función Note que la cadena de direcciones de retorno forma una pila. Es decir, la dirección de retorno más reciente es la primera que se remueve de la cadena, y únicamente podemos acceder a la dirección de retorno dentro de la que se ejecuta la función (el tope)

Simulación de recursión usando pilas Ejemplo: Factorial(n) Versión simulada con Pilas int simfactorial(int n) { struct stack s; int x = n; long int prod; s.top = -1; while (x != 0) { push(&s, x--); } prod = 1; while (s.top >= 0) { prod *= pop(&s); return prod; Versión Recursiva Encadenamiento int factorial(int n) { if (n == 0) return 1; return n * factorial(n – 1); } Recursión