SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA ESTÁTICA EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS Departamento: INGENIERÍA CIVIL M.I. SAÚL PORTILLO ARANGURÉ

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Introducción En el capítulo 4 se vio que, en el caso de un cuerpo rígido, el sistema de fuerzas más general se puede expresar mediante una fuerza resultante R y un par resultante C. Por tanto, para que esté en equilibrio un cuerpo rígido deberán anularse la fuerza resultante R y el par resultante C. Vectorialmente: Escalarmente: Estas últimas ecuaciones son condiciones necesarias para el equilibrio de un cuerpo rígido. Cuando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo, serán también condiciones suficientes para el equilibrio.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Las fuerzas y momentos que se ejercen sobre un cuerpo rígido pueden ser exteriores o interiores. - Fuerzas exteriores: Fuerza que sobre un cuerpo rígido ejerce otro cuerpo. Ej.- Peso - Fuerzas interiores: Fuerzas que mantienen unidas las partículas del cuerpo rígido o, si el cuerpo de interés está compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas dichas partes. Las fuerzas exteriores pueden dividirse en fuerzas aplicadas y fuerzas de reacción. - Fuerzas aplicadas: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen agentes exteriores. - Fuerzas de reacción: Fuerzas que sobre el cuerpo ejercen los apoyos y las conexiones. Como las fuerzas interiores son, dos a dos, de igual módulo y recta soporte pero de sentidos opuestos, no tendrán efecto sobre el equilibrio del cuerpo rígido en su conjunto. Por tanto, en este capitulo solo nos ocuparemos de las fuerzas exteriores y de los momentos que esta originan.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Diagramas de sólido libre La mejor manera de identificar todas las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo de interés es seguir el método del diagrama de sólido libre. Este diagrama de sólido libre debe mostrar todas las fuerzas aplicadas y todas las reacciones vinculares que se ejercen sobre el cuerpo. Procedimiento básico: Primer paso: Decidir qué cuerpo o combinación de cuerpos se va a considerar en el DSL. Segundo paso: Preparar un dibujo o esquema del perfil de este cuerpo aislado o libre. Tercer paso: Seguir con cuidado el contorno del cuerpo libre e identificar todas las fuerzas que ejercen los cuerpos en contacto o en interacción que han sido suprimidos en el proceso de aislamiento. Cuarto paso: Elegir el sistema de ejes de coordenadas a utilizar en la resolución del problema e indicar sus direcciones sobre el DSL.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Idealización de apoyos y conexiones bidimensionales A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones utilizados en cuerpos rígidos sometidos a sistemas bidimensionales de fuerzas, junto con las F y M que se utilizan para representar sus acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL. Atracción gravitatoria Peso de cuerpo W. Recta soporte: pasa por el centro de gravedad del cuerpo y dirigida al centro de la Tierra. Hilo, cuerda, cadena o cable flexible Ejerce siempre una fuerza R de tracción sobre el cuerpo. Recta soporte: tangente al hilo, cuerda, cadena o cable flexible en el punto de amarre

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Conexión rígida Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de tracción o de compresión. Recta soporte: dirigida según el eje de conexión. Bola, rodillo o zapata Pueden ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de compresión. Recta soporte: normal a la superficie de apoyo.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Superficie lisa (plana o curva) Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de compresión. Recta soporte: normal a la superficie lisa en el punto de contacto del cuerpo con la superficie. Pasador liso Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de módulo R y dirección θ desconocidos. Debido a ello, la fuerza R suele representarse en el DSL mediante sus componentes rectangulares Rx y Ry.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Superficie rugosa Pueden resistir una fuerza tangencial de rozamiento Rt así como una fuerza normal de compresión Rn. Debido a ello, la fuerza R es de compresión dirigida según un ángulo θ desconocido. La fuerza R suele representarse en el DSL mediante sus componentes rectangulares Rn y Rt. Pasador en una guía lisa Solo puede transmitir una fuerza R perpendicular a las superficies de la guía. Se supondrá un sentido para R en el DSL pudiendo ser hacia abajo y a la izda o hacia arriba y a la dcha.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Collar sobre un árbol liso Conexión con pasador Conexión fija Apoyo fijo Puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R y un momento M. Como no se conoce ni el módulo ni la dirección de R, esta suele representarse mediante sus componentes rectangulares.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Resorte elástico lineal La fuerza R que ejerce el resorte sobre el cuerpo es proporcional a la variación de longitud del resorte. Sentido: dependiendo si el resorte está alargado o acortado. Recta soporte: coincide con el eje del resorte. Polea ideal El pasador que conecta una polea ideal con un miembro puede ejercer sobre el cuerpo una fuerza R de módulo y dirección desconocidos. Como el pasador es liso, la tensión T del cable será constante para satisfacer el equilibrio de momentos respecto al eje de la polea.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Idealización de apoyos y conexiones tridimensionales A continuación se indican los tipos habituales de apoyos y conexiones utilizados en cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas tridimensionales, junto con las F y M que se utilizan para representar sus acciones sobre el cuerpo rígido en el DSL. Rótula Puede transmitir una fuerza R pero no momentos. Esta fuerza suele representarse mediante sus tres componentes rectangulares.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Gozne Normalmente destinado a transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del pasador del gozne. Su diseño puede también permitir transmitir una componente de la fuerza a lo largo del eje del pasador. Ciertos goznes pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares a ejes del pasador. Las parejas de goznes alineadas adecuadamente solo transmiten fuerzas en las condiciones de utilización normales. Cojinete de bolas El cojinete de bolas ideal (liso) tiene por misión transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del cojinete. Si el cojinete tiene la dirección del eje y, la acción del cojinete se representa en el DSL por las componente Rx y Rz.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Chumacera Han de transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular a su eje. Ciertas chumaceras pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol. Las parejas de chumaceras alineadas adecuadamente solo transmiten fuerzas perpendiculares al eje del árbol. Cojinete de empuje Ha de transmitir componentes de fuerza tanto perpendiculares como paralelas al eje del cojinete. Ciertos cojinetes de empuje pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del árbol. Las parejas de cojinetes alineados adecuadamente solo transmiten fuerzas en condiciones normales de funcionamiento.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Articulación lisa de pasador Ha de transmitir una fuerza R en una dirección perpendicular al eje del pasador, pero también puede transmitir una componente de la fuerza según dicho eje. También pueden transmitir pequeños momentos respecto a ejes perpendiculares al eje del pasador. Apoyo fijo Puede resistir tanto una fuerza R como un par C. Se desconocen los módulos y direcciones de fuerza y par por lo que en el DSL se representan las tres componentes rectangulares de cada uno.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 1 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 2 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 3 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 4 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 5 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Equilibrio en dos dimensiones Problema bidimensional: en él, las fuerzas que intervienen están contenidas en un plano y los ejes de todos los pares son perpendiculares al plano que contiene las fuerzas. Las ecuaciones de equilibrio se reducen (vectorialmente) a: Así, tres de las seis ecuaciones escalares independientes del equilibrio se satisfacen automáticamente: Por tanto, sólo hay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas: La tercera ecuación se refiere a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un eje z que pase por un punto cualquiera A perteneciente al cuerpo o no. Esta últimas ecuaciones constituyen las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Hay otras dos maneras de expresar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sometido a un sistema bidimensional de fuerzas. En la primera figura se aprecian la resultante R y el par resultante C de un sistema bidimensional cualquiera de fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo rígido. La resultante puede expresarse mediante sus componentes rectangulares (figura 2). Si se cumple la condición: Si además se cumple que: Para todo punto B del cuerpo o exterior a él, que no se halle en el eje y, la ecuación sólo puede satisfacerse si Así pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en problemas bidimensionales es: en donde los puntos A y B han de tener coordenadas x diferentes. 1

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA 2 Las ecuaciones de equilibrio para un sistema bidimensional de fuerzas se pueden escribir también utilizando tres ecuaciones de momentos. Si se cumple la condición: Además para un punto B del eje x que pertenezca o no al cuerpo (excepto en el punto A), la ecuación podrá satisfacerse sólo si Así pues, Para todo punto C, perteneciente al cuerpo o no, que no esté sobre el eje x, la ecuación solo podrá satisfacerse si Así pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en problemas bidimensionales es: donde A, B y C son tres puntos cualesquiera no alineados.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas El equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas se presenta con bastante frecuencia por lo que se le presta especial atención. Ejemplo: barra de conexión de peso despreciable (figura). Las fuerzas que sobre la barra ejercen los pasadores lisos situados en A y B se pueden descomponer en componentes según el eje de la barra y perpendicular a él. Aplicado ecuaciones de equilibrio: Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si la barra está en equilibrio, por tanto: Así pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio exige que las fuerzas sean de igual módulo y recta soporte, pero opuestas. La forma del miembro no influye en este sencillo requisito. Los pesos de los miembros deben ser despreciables.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas El equilibrio de un cuerpo bajo la acción de tres fuerzas constituye también una situación especial. Ejemplo: DSL de AB Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas las rectas soportes de éstas deben ser concurrentes (pasar por un punto común). Si no fuera así, la fuerza no concurrente ejercería un momento respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas. Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El punto de concurso es el infinito.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Reacciones hiperestáticas y ligaduras parciales Tenemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede sustituirse por uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario A y un par. Para que el cuerpo esté en equilibrio, los apoyos deben poder ejercer sobre el cuerpo un sistema fuerza-par igual y opuesto (ligaduras). Ejemplo: Consideremos los apoyos de la figura a) El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación del cuerpo pero no puede ejercer un momento que impida la rotación entorno a A. La barra B origina una fuerza en y generando así un momento respecto a A que impida la rotación del cuerpo. Cuando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes para determinar las fuerzas incógnitas en los apoyos el cuerpo está determinado estáticamente con ligaduras adecuadas (isostáticas).

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Tres reacciones vinculares para un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanario no siempre garantizan que el cuerpo esté determinado estáticamente con ligaduras isostáticas. Ejemplo 1: El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la traslación del cuerpo, pero como la recta soporte de Bx pasa por A, no ejerce el momento necesario para evitar la rotación en torno a A. El cuerpo está ligado parcialmente (insuficientemente) y las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones incógnitas. Lo mismo ocurre en el siguiente ejemplo.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Ejemplo 2: Sus tres conexiones pueden evitar la rotación en torno a un punto cualquiera y la traslación del cuerpo en la dirección y pero no la traslación del cuerpo en la dirección x. Un cuerpo con un número adecuado de reacciones está insuficientemente ligado cuando las ligaduras estén dispuestas de tal manera que las fuerzas en los apoyos sean concurrentes o paralelas.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Los cuerpos ligados parcialmente pueden estar en equilibrio bajo la acción de sistemas de fuerzas específicos. Ejemplo: Las reacciones RA y RB de la viga se pueden determinar usando Sin embargo, la viga está insuficientemente ligada ya que se movería en la dirección x si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una pequeña componente según x.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA Si en vez de una conexión rígida en B colocamos un pasador, se obtiene una reacción adicional Bx que no es necesaria para evitar el movimiento del cuerpo. Así, las 3 ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan suficiente información para determinar las 4 incógnitas. DSL DSL Los cuerpos ligados con apoyos de más están indeterminados estáticamente ya que serán necesarias relaciones referentes a propiedades físicas del cuerpo (sistemas hiperestáticos). Los apoyos que no son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo se llaman superabundantes. Ejemplos:

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA 6.3.4 Resolución de problemas La aplicación a problemas de equilibrio del procedimiento visto en el capítulo primero para resolver problemas de tipo técnico, conduce a lo siguiente: Pasos para analizar y resolver problemas: Leer atentamente el enunciado. Identificar el resultado que se pide. Preparar un esquema a escala y tabular la información de que se dispone. Identificar las ecuaciones de equilibrio a utilizar para obtener el resultado. Dibujar el diagrama de sólido libre adecuado. Aplicar las ecuaciones adecuadas de fuerzas y momentos. Registrar la respuesta con el número adecuado de cifras significativas y las unidades apropiadas. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable. Como comprobación, escribir otras ecuaciones de equilibrio y ver si las satisface la solución.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.6 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.7 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.8 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.9 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.10 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.11 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.12 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA 6.4 Equilibrio en tres dimensiones Un sistema genérico, tridimensional, de n fuerzas y n pares puede sustituirse por un sistema equivalente constituido por fuerzas concurrentes no coplanarias y un sistema de pares no coplanarios cuyas resultantes se pueden expresar así: La fuerza resultante R, junto con el par resultante C, constituyen la resultante del sistema genérico tridimensional de fuerzas. Así pues, un cuerpo rígido sometido a un sistema genérico tridimensional de fuerzas estará en equilibrio si R = C = 0, lo que exige que 6 ec. escalares de equil. indep. Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio del cuerpo.

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.13 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.14 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.15 DSL

SEGUNDA UNIDAD DE COMPETENCIA CURSO: ESTÁTICA Y DINÁMICA /M.I. SPA PROBLEMA 6.16 DSL