1 Quicksort Agustín J. González ELO320: Estructura de Datos y Algoritmos 1er. Sem. 2004

2 Descripción de Quicksort Quicksort, como Mergesort, está basado en el paradigma “dividir y conquistar”. Pasos: Dividir: el arreglo se particiona en dos sub-arreglos no vacíos, tal que cada elemento de un sub-arreglo sea menor o igual a los elementos del otro sub-arreglo. Conquistar: los dos arreglos son ordenados llamando recursivamente a quicksort. Combinar: Como cada arreglo ya está ordenado, no serequiere trabajo adicional. Algoritmo Quicksor(A,p,r){ if (p<r) { q = Partition(A,p,r); Quicksort(A,p,q); Quicksort(A,q+1, r); } }

3 Partition Partition(A,p,r) { x=A[p]; i=p-1; j=r+1; while(1) { do j--; until (A[j]  x) do i++; until (A[i]  x) if (i A[j]; else return j; } } Quicksort(A,p,r){ if (p<r) { q = Partition(A,p,r); Quicksort(A,p,q); Quicksort(A,q+1, r); } }

4 5 | 3 | 2 | 6 | 4 | 1 | 3 | 7 ij ij 3 | 3 | 2 | 6 | 4 | 1 | 5 | 7 ij i j 3 | 3 | 2 | 1 | 4 | 6 | 5 | 7 i j ij Retorna j Explicación Partition efectúa una tarea simple: poner los elementos menores o igual que A[p] en la región inferior del arreglo y los elementos mayores o igual al otro lado.. i parte del extremo inferior del arreglo y j parte del extremo superior. Cada puntero avanza hacia el extremo opuesto buscando elementos que deba mover hacia el otro extremo. j se acerca primero. ¿Cambia si i lo hace primero? Cuando estos elementos son encontrados, son intercambiados. Si estos elementos no son encontrados, i terminará igual o superior a j.

5 Los índices i y j nunca acceden al arreglo fuera de rango. A[p] debe ser el “pivote”. Si se tomara A[r] y ocurre que éste es el mayor valor, Partition retornaría q=r y Quicksort estaría en un loop infinito. Rendimiento de Quicksort: Partition tiene costo  (n). Partición de peor caso: Ocurre cuando el arreglo es particionado en n-1 y 1 elemento cada vez. En este caso se tiene: T(n)=T(n-1) +  (n) = Partición de mejor caso: Ocurre cuando Partition produce dos regiones de igual tamaño. En este caso se tiene: T(n)=2T(n/2)+  (n), de lo cual resulta T(n) =  (n lg n) (caso 2 teorema maestro) Observaciones

6 n nn/109n/10 n n n/100 9n/100 81n/100 1 nn nn 1 El caso promedio también conduce a tiempos  (n lg n). Observaciones Si consideramos que la partición conduce a arreglos desbalanceados en proporción 9 : 1, de todas formas el algoritmo toma tiempo  (n lg n). En este caso T(n) = T(9n/10) +T(n/10) +  (n)

7 Versión “Aleatorizada” de Quicksort Objetivo: Lograr buen desempeño aún cuando la entrada no sea aleatoria. Idea: Tomar aleatoriamente un elemento dentro del arreglo y usarlo como pivote. Randomized_Partition(A,p,r) { i = random(p,r); /* retorna un valor en el rango [p,r] */ exchange A[p] A[i]; return Partition(A, p, r); } Ramdomized_Quicksort(A,p,r) { if (p < r) { q = Randomized_Partition(A,p,r); Randimized_Quicksort(A, p, q); Randomized_Quicksort(A, q+1, r); } }

8 Partition codificado en C para arreglos de enteros int partition(int a[], int l, int r) { int left = l-1, right = r; int pivote = a[r]; for (;;) { while (a[++left] < pivote) ; while ( pivote < a[--right]) if (right == l) break; if (left >= right) break; exch(a,left], right); /*a[left] a[right]*/ } exch(a, left, r); /*a[left] a[r]*/ return left; } Obs: Esta implementación deja el pivote en la posición retornada.

9 Partition codificado en C para arreglos de enteros int partition(int a[], int l, int r); void quicksort(int a[], int l, int r) { int i; if (r <= l) return; i = partition(a, l, r); quicksort(a, l, i-1); quicksort(a, i+1, r); }

10 Comentarios Finales Ojo que quicksort es O(n 2 ) en el peor caso. Quicksort no debería ser usado en sistemas donde haya vidas en juego (sistemas médicos) o misiones críticas (defensa, monitoreo de planta nuclear). En estos casos mejor usar heapsort!. Lo mejor que podemos conseguir en algoritmos de ordenamiento es O(nlgn). Si sabemos algo sobre los datos es posible encontrar soluciones mejores.

11 Divertimento Sólo uno de estos caminos conduce a ciudad de la abundancia. Un duende siempre miente. El otro siempre dice la verdad. Con sólo una pregunta, ¿cómo sé que camino tomar?