Circuitos acoplados magnéticamente Circuitos Eléctricos 2

Inductancia mutua Autoinductancia M M i1 L1 L2 v2 v1 L1 L2 i2 La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2. La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1. La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.

Convención de los puntos Una corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada en esta segunda bobina. M M i1 i1 + + L1 L2 L1 L2 _ _ M M i1 i1 + + L1 L2 L1 L2 _ _

Voltaje mutuo Para frecuencia compleja V1 = –sL1I1 + sMI2 Para estado senoidal V1 = –jwL1I1 + jwMI2 V2 = –jwL2I2 + jwMI1 M i1 i2 + + L1 L2 v2 v1 _ _ M i1 i2 _ + L1 L2 v2 v1 _ +

Estructura de bobinas acopladas Flujos magnéticos aditivos Flujos magnéticos sustractivos i1 i1 i2 i2

Ejemplo M = 9 H 1 W + V1 = 10/_0° w = 10 rad/s + V2 _ I1 I2 400 W 1 H I1(1 + j10) – j90I2 = 10 I2(400 + j1000) – j90I1 = 0

Gráfico de respuesta en frecuencia

Ejemplo 1 F 5 W + V1 _ I1 I2 I3 3 W 7 H 6 H M = 2 H (5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1 – 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0 2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0

Consideraciones de energía M Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I1 en t = t1. i1 i2 + + L1 L2 v2 v1 La energía almacenada es. _ _ La energía total es. Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hasta I2 de t = t1 a t = t2. manteniendo i1 constante Haciendo el proceso inverso, se tiene La energía entregada del lado derecho es. Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo. Por tanto

Consideraciones de energía (cont) El límite superior para el valor de M es El Coeficiente de acoplamiento se define como

Ejemplo Sea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20 cos(500t – 20°) mA. Evalue las siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el sistema. a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA M i1 i2 b) Para v1 hay que evaluar + + L1 L2 v2 v1 M = kL1L2 = 0.6 H _ _ v1(0) = 0.4[–10 sen(–20°)] + 0.6[–2.5sen(–20°)] = 1.881 V c) La energía es w(t) = ½L1[i1(t)]2 + ½L2[i2(t)]2 + M[i1(t)] [i2(t)] w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)] w(0) = 151.2 mJ

El transformador lineal En un transformador lineal el coeficiente de acoplamiento es de algunas décimas. Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el secundario M R1 R2 + + Vs _ I1 I2 ZL VL L1 L2 Vs = I1Z11 – I2sM 0 = –I1sM + I2Z22 = 0 donde Z11 = R1 + sL1 Z22 = R2 + sL2 + ZL _ La reactancia reflejada tiene el signo contrario al de reactancia X22 Impedancia reflejada:

ejemplo Los valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R1 = 3W, R2 = 6W, L1 = 2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w = 5,000 rad/s, determine Zent para ZL igual a a) 10W, b) j20W, c) 10 + j20W, d) -j20W. a) Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c) 4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 - 2.8205i Z11 = R1 + sL1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10 Z22 = R2 + sL2 + ZL = 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50 = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 + 2.7431i

Red equivalente T M i1 i2 Ecuaciones de malla para el transformador lineal + + L1 L2 v2 v1 _ _ Pueden rescribirse como i1 L1 – M L2 – M i2 + + v2 M v1 _ _ Las cuales corresponden a la red

Ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura 40 mH i1 i2 L1 – M = –10 mH L2 – M = 20 mH 30 mH 60 mH i1 -10 mH 20 mH 40 mH

Red equivalente P A partir de la ecs. de malla Se puede despejar i1 e i2, obteniendo Estas ecs. representan ecs. de nodos de la red de la figura donde i1 LB i2 + + i2(0)u(t) i1(0)u(t) v2 LA LC v1 _ _

ejemplo Determine el equivalente T del transformador de la figura 40 mH i1 i2 = 2x10–4/40x10–3 = 5mH = 2x10–4/20x10–3 = 10mH 30 mH 60 mH = 2x10–4/(–10x10–3)= -20mH i1 5 mH i2 10 mH –20 mH

El transformador Ideal Es una aproximación de un transformador fuertemente acoplado. Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes comparadas con las impedancias de la terminación.

Relación de vueltas V1 = jwL1I1 – jwMI2 0 = – jwMI1 + (ZL + wL2) I2 _ _ Despejando V1: k = 1 Se cumple la siguiente relación: a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N2 / N1

Relación de vueltas (continuación) Dado que L2 = a2L1 Si dejamos que L1 tienda a infinito

Acoplamiento de impedancias Suponga un amplificador con 4000 W de impedancia de salida y una bocina con 8 W de impedancia.

Relación de corrientes Si suponemos que L2 se hace muy grande. Entonces N1I1 = N2I2 Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 mA en el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12 A. La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W. La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W

Relación de tensiones La relación para tensiones es Si a > 1, en transformador es elevador Si a < 1, en transformador es reductor Se cumple V1I1 = V2I2

Ejemplo Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K, 100 W 1: 10 + + + V2 50 V rms _ I1 V1 I2 10 kW _ _ La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2 La impedancia que “se ve” en la entrada es ZL/a2 = 100 W I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.

Relaciones de tensión en el tiempo Ecuaciones de malla para el transformador ideal M i1 i2 + + L1 L2 v2 _ _ v1 Despejando la derivada de i2 en la segunda ec. y sustituyendo en la primera y ya que M2 = L1L2 Dividiendo la primera ec. entre L1 y suponiéndola muy grande