17/08/03Jorge Baralt-Torrijos1 Teoría Axiomática General de Agregados (VI) Jorge Baralt-Torrijos Universidad Simón Bolívar Agosto 2003

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos2 Contenido Axioma de Membresía Ax. de Clausura de Apareamiento Axioma de Herencia de Elementos Teorema General de Clases Teoremas de Conjuntos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos3 Axioma de Membresía

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos4 Df. Mbrs Mbrs = x =a EsRelacion(x)   y (y  x   a  b (y = ParOrd(b)(a)  b  a)) Mbrs =s la relación de membresía

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos5 Ax. de Membresía  x Mbrs = x

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos6 Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos7 Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos8 Ts. Mbrs x  Dom(Mbrs)  EsElemento(x)   a a  x x  Rng(Mbrs)  EsElemento(x)  a x  a EsClase(Dom(Mbrs)) EsClase(Rng(Mbrs))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos9 Axioma de Clausura de Apareamiento

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos10 Ax. de Clausura de Apareamiento EsElemento(Par(b)(a))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos11 Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos12 Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos13 Ts. Clausura de Apareamiento (1) EsConjunto(Par(b)(a)) EsElemento(Atm(a)) EsConjunto(Atm(a)) EsNatZ(x)  EsConjunto(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos14 Ts. Clausura de Apareamiento (2) EsElemento(ParOrd(b)(a)) EsConjunto(ParOrd(b)(a)) EsClase(PrC(Y)(X)) EsClase(Mbrs) EsElemento(x)  a x  a x  Rng(Mbrs)  EsElemento(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos15 Df. Elems Elems =a Rng(Mbrs) Elems =s el universo de elementos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos16 Ts. Elems x  Elems  EsElemento(x) EsClase(Elems) EsParte(Elems)(x)  EsClase(x) Dom(Mbrs)  Elems Union(Y)(X) =UnEn(Elems)(Y)(X) EsClase(Union(Y)(X)) EsClase(Intsc(Y)(X)) EsClase(Dif(X)(Elems)) Dif(Elems)(X) = 0Z

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos17 Df. Cmp Cmp(X) =a Union(Rng(X))(Dom(X)) Cmp(X) =s el campo de X

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos18 Ts. Cmp Cmp(X) = Cmp(Nucleo(X))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos19 Axioma de Herencia de Elementos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos20 Ax. de Herencia de Elementos x  a  EsElemento(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos21 Resumen de Axiomas (1) 1. Extensión (Op. 2) 2. Existencia (Op. 2) 3. Diferencia 4. Apareamiento (Op. 2) 5. Producto Cartesiano 6. Rotación 7. Transposición 8. Dominio

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos22 Resumen de Axiomas (2) 9. Reemplazo 10. Membresía 11. Clausura de Apareamiento 12. Herencia de Elementos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos23 Ts. Herencia de Elementos EsAgrupacion(x)  EsElemento(x)  EsClsX(x) EsAgrupacion(x)  EsElemento(x)  EsConjunto(x)  EsAgrupacion(x) EsElemento(x)   a a  x   EsConjunto(x)  EsAgrupacion(x) x  Dom(Mbrs)  EsConjunto(x)  EsAgrupacion(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos24 Herencia de Elementos 0Z Integrantes MinimalesAgrupaciones Maximales Clases Agregados Individuos Elementos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos25 Df. Cnjnts Cnjnts =a Union(1Z)(Dom(Mbrs)) Cnjnts =s el universo de conjuntos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos26 Ts. Cnjnts EsClase(Cnjnts) x  Cnjnts  EsConjunto(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos27 Ts. de clases (1) EsClase(Dom(X)) EsClase(Rot(X)) EsClase(Trp(X)) EsClase(Inv(X)) EsClase(Rng(X)) EsClase(Nucleo(X))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos28 Ts. de clases (2) EsClase(RstrP(x)(X)) EsClase(RstrS(x)(X)) EsClase(Rstr(x)(X)) EsClase(Img(Y)(x)) EsUnvc(a)(X)  EsElemento(Img(X)(a)) EsClase(ImgP(Y)(x)) EsClase(PImg(Y)(x)) EsClase(PImgP(Y)(x))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos29 Teorema General de Clases

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos30 Df. PtC PtC(1)(x) =a Dom(PrC(x)(x)) PtC(Suc(Suc(n)))(x) =a PrC(x)(PtC(Suc(n))(x)) PtC(Suc(n))(x) =s la potencia cartesiana Suc(n) de x

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos31 Ts. PtC EsClase(PtC(Suc(n))(X))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos32 Df. Cmpl Cmpl(Suc(n))(X) =a Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems)) Cmpl(Suc(n))(X) =s el complemento de la potencia cartesiana Suc(n) de X

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos33 Ts. Cmpl EsClase(Cmpl(Suc(n))(X)) EsClase(Cmpl(1)(X))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos34 Df. { |  (x n ) …(x 2 )(x 1 )} { |  (x n )…(x 2 )(x 1 )} =a {x |  x 1  x 2 …  x n (x =  (x n )…(x 2 )(x 1 ))} { |  (x n )…(x 2 )(x 1 )} =s el agregado de políadas de adicidad n que satisfacen 

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos35 Ts. de clases (1) Mbrs = { | a 2  a 1 } Inv(Mbrs) = { | a 1  a 2 } PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs) = { > | a 2  a 1 } Rot(PrC(PtC(m1)(Elems))(Mbrs)) = { | a 2  a 1 } X = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}   PrC(Elems)(X) = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}   Rot(PrC(Elems)(X)) = {,a n > |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}   Trp(Rot(PrC(Elems)(X))) = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos36 Ts. de clases (2) X = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}  Y = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}  Intsc(Y)(X) = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )  (a n )…(a 2 )(a 1 )}  Union(Y)(X) = { |  (a n )…(a 2 )(a 1 )  (a n )…(a 2 )(a 1 )}  Dif(X)(PtC(Suc(n))(Elems)) = { | ¬ (a n )…(a 2 )(a 1 )}  Dom(X) = { |  a n  (a n )…(a 2 )(a 1 )}

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos37 Ts. de clases (3) X = {a 1 | a 1  X} PrC(Elems)(X) = { | a 1  X} PrC(X)(Elems) = { | a 2  X}

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos38 Df. IdE IdE = x =a EsAgregado(x)   y (y  x   a  b (y = ParOrd(b)(a)  a = b) IdE =s la identidad de elementos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos39 Ts. IdE (1) Mbrs = { | a 2  a 1 } PrC(Elems)(Mbrs) = { | a 2  a 1 } Rot(PrC(Elems)(Mbrs)) = { | a 3  a 2 } Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs))) = { | a 1  a 3 } Inv(Mbrs) = { | a 1  a 2 } PrC(Elems)(Inv(Mbrs)) = { | a 1  a 2 } Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs))) = { | a 2  a 3 }

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos40 Ts. IdE (2) Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) = { | a 1  a 3  a 2  a 3 } Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) = { |  a 3 (a 1  a 3  a 2  a 3 )} Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) ) = { |  a 3 (a 1  a 3  a 2  a 3 )} Cmpl(2)(Dom(Dif(Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) ) = { | a 1 = a 2 }

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos41 Ts. IdE (3) IdE = Cmpl(2)(Dom(Dif (Rot(PrC(Elems)(Inv(Mbrs)))) (Rot(Rot(PrC(Elems)(Mbrs)))) ) )  x IdE = x EsClase(IdE) EsUnvc(x)(IdE)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos42 Ts. IdE (4) Img(IdE)(x) = {a | a  x} Img(IdE)(X) = X EsParte(IdE)(x)  EsClase(x) EsParte(IdE)(x)  EsUnvc(y)(x) EsParte(IdE)(RstrP(x)(IdE)) EsClase(RstrP(x)(IdE)) EsUnvc(y)(RstrP(x)(IdE))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos43 Ts. IdE (5) Img(RstrP(x)(IdE))(y) = {a | a  x  a  y} EsElemento(Img(RstrP(x)(IdE))(a)) EsElemento({b | b  x  b  a}) EsElemento(Intsc(a)(x)) EsParte(a)(x)  Intsc(a)(x) = x EsParte(a)(x)  EsElemento(x) EsParte(a)(x)  EsConjunto(x)

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos44 TG. de clases  x (EsAgregado(x)   y (y  x   a 1  a 2 …  a n (y =   (a n )…(a 2 )(a 1 ) ) ) ) EsClase({ |  (a n )…(a 2 )(a 1 )}) EsClase({a |  (a)}) EsClase({x | EsElemento(x)   (x)}) EsClase({x | x  Elems   (x)})

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos45 Teoremas de Conjuntos

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos46 Ts. de Reemplazo (1) Nucleo(a) = { |  a} PrC(Elems)(Nucleo(a)) = { |  a} IdE = { | a 1 = a 2 } PrC(Elems)(IdE) = { | a 1 = a 2 } Rot(PrC(Elems)(IdE)) = { | a 2 = a 3 } Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE))) = { | a 3 = a 1 } Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE)))) (PrC(Elems)(Nucleo(a))) = { |  a  a 3 = a 1 }

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos47 Ts. de Reemplazo (2) x = Intsc(Rot(Rot(PrC(Elems)(IdE)))) (PrC(Elems)(Nucleo(a)))  x = { |  a}  EsClase(x)  EsFuncion(x)  EsUnvc(y)(x)  Img(x)(a) = Dom(a)  EsElemento(Img(x)(a))  EsConjunto(Dom(a))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos48 Ts. de Reemplazo (3) Nucleo(a) = { |  a} PtC(2)(Nucleo(a)) = { > |  a   a } Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))) = { > |  a} Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a)))) = { > |  a}

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos49 Ts. de Reemplazo (4) x = Trp(Intsc(IdE)(PtC(2)(Nucleo(a))))  x = { > |  a}  EsClase(x)  EsFuncion(x)  EsUnvc(y)(x)  Img(x)(a) = Inv(a)  EsElemento(Img(x)(a))  EsConjunto(Inv(a))

17/08/03Jorge Baralt-Torrijos50 Ts. de Reemplazo (5) EsConjunto(Rng(a)) EsConjunto(RstrI(x)(a)) EsConjunto(Img(a)(x))