INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS COSMOLÓGICOS Diciembre de 2012

3.3 INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS COSMOLÓGICOS ¿Cómo es el universo? ¿Es finito, o es infinito? Es imposible deducir la forma de un objeto que sólo se percibe desde su interior. Para los griegos el Universo se dividía en ocho esferas, la tierra como centro. Para ellos el universo era infinito y llegaba hasta la esfera de las estrellas fijas (etapa aristetólica, modelo de Ptolomeo).

En la época medieval (Copérnico, Galileo, Kepler, Newton, Leibnitz,…), los modelos cosmológicos se basaron en el Principio de Copernico: La tierra no ocupa ningún lugar privilegiado en el universo y la distribución de las estrellas era “homogénea, isótropa y en eterno equilibrio”. El universo se podía identificar con el espacio Euclídeo tridimensional, de extensión infinita, homogéneo e isótropo. Este es el modelo cosmológico de I. Newton y G.W. Leibnitz.

A finales del siglo XVIII y durante el siglo XIX, se consideraba que las geometrías no euclídeas también podían servir de modelo de nuestro universo, en el mismo rango que la geometría euclídea. ¿Qué modelo tomar? ¿Cuáles son las herramientas, o la teoría matemática que nos permiten dar solución a estas preguntas?

A gran escala la estructura del universo está regida por la gravitación. Teoría de la relatividad general Geometría de Riemann Es necesaria la Topología

Variedades de curvatura constante:

Superficies de curvatura constante: Curvatura nula Curvatura positiva Curvatura negativa

Modelos cosmológicos. El propósito de la cosmología relativista es deducir, de las ecuaciones de Einstein, la forma del universo. El universo, fluido, cada “particula” es una galaxia. El movimiento de cada galaxia es a través de una geodésica del espacio-tiempo. El espacio-tiempo es una variedad de Lorentz (M,g). g debe verificar la ecuación de Einstein. Hipótesis: homogeneidad e isotropía. Soluciones: estudiadas por W. de Sitter, A. Friedmann, G. Lematrie, Robertson. Walker,… Modelo de Friedmann-Lemaitre (Robertson-Walker).

Modelos de Friedmann-Lemaitre (Robertson-Walker)

Modelos de universos

Topología cósmica. Las ecuaciones de Einstein son ecuaciones en derivadas parciales, y describen las características del espacio-tiempo de forma local. La teoría de la relatividad no fija la estructura global del espacio-tiempo, y por tanto la forma del universo. Desde 1917, se sabía que una misma solución puede corresponder a espacios topológicamente distintos (no equivalentes) (De Sitter, Weyl, ,Friedmann, Lemaître,…) Modelo elíptico, no simplemente conexo, con métrica igual que la correspondiente al espacio esférico pero con la mitad de volumen. Este modelo se obtiene a partir de una 3-esfera identificando los puntos diametralmente opuestos. Existen 17 formas de espacios múltiplemente conexos localmente equivalentes al espacio euclídeo, pero topológicamente diferentes. Un ejemplo, el toro tres-dimensional.

La idea de utilizar espacios múltiplemente conexos no atrajo mucho. ¿Por qué el Universo tiene que tener la topología más simple? La simplicidad de nuestro Universo no ha sido establecida por observaciones cosmológicas. El problema de la topología del espacio-tiempo era generalmente ignorado. Hasta 1990, las investigaciones en topología cósmica eran escasas. Comenzó a ser seriamente discutido en la gravitación cuántica. En las últimas décadas, muchos esfuerzos en observación y cosmología teórica han sido realizados para determinar la curvatura del universo.

UNIVERSO MÚLTIPLEMENTE CONEXO

Formas espaciales esféricas:

Formas espaciales euclídeas: Formas espaciales hiperbólicas:

Nuestro Universo podría ser un 3-toro El ejemplo más simple de 3-variedad finita es el 3-toro. Este espacio es plano y finito. Puede ser construido a partir de un cubo (dominio fundamental). Si viajas a la derecha reaparece por a izquierda. Si miras a derecha te ve la espalda. Veríamos infinitas copias (imágenes fantasmas). Mientras pasa el tiempo este universo se va expandiendo (ampliándose), pero es finito. K. Schwarzschild, 1900. Imaginaba que el universo consistía en un número incontable de copias de nuestra Vía Lactea, el espacio infinito podía dividirse en cubos, y en cada uno una copia de la Vía Lactea.

Forma para detectar la topología Buscar copias múltiples en el cielo (imágenes fantasmas), de objetos cósmicos. Investigar sobre radiación cósmica de fondo de microondas (FCM), ese débil resplandor provocado por el “big band”. Detectada en la década de los 60 por Penzias-Wilson). El FCM aparece hoy como una esfera gigante. Si el universo es, por ejemplo, un 3-toro y si el radio de la esfera es suficientemente grande, no cabría dentro del dominio fundamental. Veríamos las esferas intersecarse en círculos. Podríamos detectar la topología buscando esos círculos en el cielo. Deberían de verse tres pares de círculos.

Forma para detectar la topología En el 3-toro tenemos tres posibilidades

El espacio dodecaédrico de Poincaré Los datos obtenidos por la sonda WMAP parecen indicar que el universo podría tener la forma de un dodecaedro. J.-P. Luminet, J.R. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq y J-P Uzan. Nature (vol. 425, octubre 2003). Espacio: interior de una especie de esfera de 12 pentágonos ligeramente curvados. Si se sale por una de las caras aparecemos por la cara opuesta. Espacio finito y sin borde. Podemos viajar indefinidamente. Si nos alejamos en una dirección llegaríamos de nuevo después de 60.000 millones de años-luz. Tendríamos la sensación de vivir en un espacio mucho más extenso, formado por duplicados de dodecaedros, como en una habitación de espejos. Veríamos círculos en el cielo. Este universo sería finito. Su volumen es 120 veces menor que el de la esfera 3-dimensional.

Algunas referencias “¿Cuál es la forma del Universo?”, J. Demaret y D. Lambert Mundo Científico, El nacimiento del Cosmo “Las formas del espacio”, G. P Collins Investigación y Ciencia, Octubre 2004. “Past and Future of cosmic topology”, Jean-Pierre Lumite Acta Cosmologica (1998). “Cosmic Topology” J-P Luminet, M. Lauchièze-Rey, Physics Reports, 1995. “Recent progress on the Poincaré conjecture and the classification of 3-manifolds” , J. W. Morgan. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 42, 1. (2004).