CONTENIDO CONJUNTOS RELACIONES FUNCIONES

CONJUNTOS

Relaciones entre conjuntos Número de elementos de un conjunto Notación Determinación De un conjunto Conjuntos especiales Conjuntos Relaciones entre conjuntos Operaciones Número de elementos de un conjunto

CONCEPTO Es una colección de objetos. Los objetos de la colección pueden ser personas, números, colores, letras, figuras, etc.

NOTACIÓN Cada conjunto se representa con letras Mayúsculas, tales como A , B , C ... Sus elementos se denotan con letras minúsculas y se separan mediante punto y, punto y coma. Ejemplo: A= {e; u; c; a; l; i; p; t; o } Q = El conjunto de los colores del arcoíris.

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS EXTENSIÓN Cuando se nombran a cada uno de sus elementos. COMPRENSIÓN Cuando existe una propiedad o condición que es común a todos sus elementos. A= {cabeza, tronco, extremidades} B= {x / x es un día de la semana}

CONJUNTOS ESPECIALES Es un conjunto que tiene un número FINITO Es un conjunto que tiene un número limitado de elementos Es cuando sus diferentes elementos no se pueden contar INFINITO UNITARIO Es todo conjunto que consta de un solo elemento VACÍO O NULO Es aquel conjunto que no tiene elementos se denota por:  ó { } UNIVERSAL Conjunto referencial que contiene a todos los elementos de los conjuntos dados. Se representa con La letra “U”

Inclusión y subconjuntos RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Conjuntos Iguales Son los que tienen exactamente los mismos elementos Conjuntos Diferentes Dos conjuntos son diferentes si al menos uno de sus Elementos no son iguales Conjuntos Disjuntos Son los que no tienen ningún elemento en común. Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, sí y solo sí , todos los elementos de A pertenece a B ; es decir : Inclusión y subconjuntos Conjunto Potencia Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Se denota por

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A  B = { x/ x  A  x  B } Propiedades: A B B A B A

INTERSECIÓN DE CONJUNTOS Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A  B = { x/ x  A  x  B } Propiedades: A B B A B A

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Dado dos conjuntos A y B , se tiene : A - B = { x/ x  A  x  B } PROPIEDADES B A A B B A

DIFERENCIA SIMÉTRICA PROPIEDADES: Dado dos conjuntos A y B ; la diferencia Simétrica , denotada por A  B se define así: A  B = (A – B ) U (B – A) = (A  B) - (A  B) PROPIEDADES: B A

COMPLEMENTO Dado el universo U y un conjunto A ; el complemento de A, denotado por A O Ac se define así : Ac = { x/ x  U  x  A } = U – A PROPIEDADES Ac A U

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO Al número de elementos o Cardinal de un Conjunto se denota así: n(A) ó Card (A)

PROPIEDADES

Recuerda: Para encontrar el número de elementos del conjunto potencia se utiliza lo siguiente: Donde: es el número de elementos de A.

RELACIONES

CONCEPTO Sean A y B conjuntos. Una relación de A a B es cualquier subconjunto R del producto cartesiano A×B. A se conoce como dominio y B como rango de R. 

3 es el correspondiente de d Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B b está relacionado con 1 3 es el correspondiente de d

DOMINIO DE UNA RELACIÓN Dom(R) =  x / xA  (x,y)  R  Dom(R) = {b, c, d}

IMAGEN DE UNA RELACIÓN Im(R) =  y / yB  (x,y) R  Im(R) = {1, 3, 4}

EJEMPLO Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis)  R. Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

PROPIEDADES Propiedad reflexiva Propiedad simétrica Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva

R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R PROPIEDAD REFLEXIVA La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x  A, el par (x,x)  R

PROPIEDAD SIMÉTRICA Si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y)  R, el par (y,x) también pertenece a R

EJEMPLO Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

EJEMPLO Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R PROPIEDAD TRANSITIVA La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si x , y ,z , (x,y)  R  (y,z)  R  (x,z)  R

EJEMPLO Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Reflexiva Simétrica Transitiva RELACIÓN DE ORDEN Antisimétrica

FUNCIONES

DEFINICIÓN Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B .

EL DOMINIO Es el conjunto de los primeros componentes de una función El rango Es el conjunto de todos los segundos componentes de una función A B Dominio de f DF={xєA/!yєB^y=f(x)} donde : Y=(x) Rango de f X RF={y=f(x)єΒ/XєA} Df Rf

NO ES FUNCIÓN A f B En este caso no es una función porque el elemento x2 єA le esta correspondiendo dos elementos y єB

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN F es una función de R en R si y solo si toda recta vertical corta a la grafica de f en un punto a lo mas

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